§12.1事件與概率、古典概型最新考綱考情考向分析1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.3.理解古典概型及其概率計算公式.4.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.以考查隨機事件、互斥事件與對立事件的概率為主，常與事件的頻率交匯考查．本節(jié)內(nèi)容在高考中三種題型都有可能出現(xiàn)，隨機事件的頻率與概率的題目往往以解答題的形式出現(xiàn)，互斥事件、對立事件的概念及概率常常以選擇、填空題的形式出現(xiàn).1．事件(1)不可能事件、必然事件、隨機事件：在同樣的條件下重復(fù)進行試驗時，有的結(jié)果，它稱為不可能事件；有的結(jié)果在每次試驗中，它稱為必然事件；有的結(jié)果，也，它稱為隨機事件．(2)基本事件、基本事件空間：試驗連同它出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，它是試驗中不能再分的最的；所有構(gòu)成的稱為基本事件空間，基本事件空間常用大寫希臘字母Ω表示．2．概率與頻率(1)概率定義：在n次重復(fù)進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)，當n很大時，總是在某個附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個叫做事件A的概率，記作P(A)．(2)概率與頻率的關(guān)系：可以通過頻率來“測量”，是的一個近似．3．事件的關(guān)系與運算名稱定義并事件(和事件)由事件A和B所構(gòu)成的事件C互斥事件不可能的兩個事件A、B互為對立事件不能且的兩個事件A、B4.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：.(2)必然事件的概率P(E)＝.(3)不可能事件的概率P(F)＝.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝．(5)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝．5．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和．6．古典概型的兩個特點(1)有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的；(2)等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是．7．如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某個事件A包括的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).8．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(事件A包含的基本事件數(shù),試驗的基本事件總數(shù)).概念方法微思考1．隨機事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系？2．隨機事件A，B互斥與對立有何區(qū)別與聯(lián)系？3．任何一個隨機事件與基本事件有何關(guān)系？4．如何判斷一個試驗是否為古典概型？題組一思考辨析1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．()(2)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．()(3)兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．()(4)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能的．()(5)從市場上出售的標準為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型．()題組二教材改編2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶3．袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5)D.eq\f(2,3)4．同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為________．題組三易錯自糾5．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是()A．必然事件 B．隨機事件C．不可能事件 D．無法確定6．安排甲、乙、丙、丁四人參加周一至周六的公益活動，每天只需一人參加，其中甲參加三天活動，乙、丙、丁每人參加一天，那么甲連續(xù)三天參加活動的概率為()A.eq\f(1,15)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)7．(2018·沈陽模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為______．題型一隨機事件命題點1隨機事件的關(guān)系例1(1)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡(2)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出兩個球，事件A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”．下列判斷中正確的序號為____________．①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．命題點2隨機事件的頻率與概率例2(2017·全國Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．命題點3互斥事件與對立事件例3一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．跟蹤訓練1(1)某保險公司利用簡單隨機抽樣的方法對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120①若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；②在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率．(2)(2016·北京改編)A，B，C三個班共有100名學生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表(單位：小時)：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5①試估計C班的學生人數(shù)；②從A班和C班抽出的學生中，各隨機選取1人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學生的鍛煉時間相互獨立，求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率．題型二古典概型例4(1)(2017·全國Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)(2)袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中1個白球，1個紅球，2個黃球，從中一次隨機摸出2個球，則這2個球顏色不同的概率為________．(3)我國古代“五行”學說認為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”將這五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件A發(fā)生的概率為________．引申探究1．本例(2)中，若將4個球改為顏色相同，標號分別為1,2，3,4的4個小球，從中一次取2個球，求標號和為奇數(shù)的概率．2．本例(2)中，若將條件改為有放回地取球，取兩次，求兩次取球顏色相同的概率．跟蹤訓練2(1)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)(2)在1,2,3,4,5,6,7,8這組數(shù)據(jù)中，隨機取出五個不同的數(shù)，則數(shù)字4是取出的五個不同數(shù)的中位數(shù)的概率為()A.eq\f(9,56)B.eq\f(9,28)C.eq\f(9,14)D.eq\f(5,9)題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例5空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；>300為嚴重污染．一環(huán)保人士記錄了某地2018年某月10天的AQI的莖葉圖如圖所示．(1)利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)；(按這個月總共有30天計算)(2)若從樣本中的空氣質(zhì)量不佳(AQI>100)的這些天中，隨機地抽取兩天深入分析各種污染指標，求該兩天的空氣質(zhì)量等級恰好不同的概率．跟蹤訓練3從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155,160)，第二組[160,165)，…，第八組[190,195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組比第七組多1人，第一組和第八組人數(shù)相同．(1)求第六組、第七組的頻率并補充完整頻率分布直方圖；(2)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名，記他們的身高分別為x，y，求|x－y|≤5的概率．1．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個黑球與都是黑球B．至少有一個黑球與都是紅球C．至少有一個黑球與至少有一個紅球D．恰有一個黑球與恰有兩個黑球2．(2016·天津)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.eq\f(5,6)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)3．對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上的為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取一件，則其為二等品的概率為()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.454．(2018·撫順期中)根據(jù)某醫(yī)療研究所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型病人需要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為()A．15%B．20%C．45%D．65%5．袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1,2,3；藍色卡片兩張，標號分別為1,2.從以上五張卡片中任取兩張，則這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,3)6．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數(shù)f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數(shù)的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)7．從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取兩個不同的數(shù)，則其中一個數(shù)恰是另一個數(shù)的3倍的概率為________．8．(2018·大連模擬)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)a1a2a3a4a5，當a1<a2，a2>a3，a3<a4，a4>a5時稱為波形數(shù)，則由1,2,3,4,5任意組成的一個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)是波形數(shù)的概率是________．9．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為________．10．10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________．11．海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進口的某種商品進行抽樣檢測，從各地區(qū)進口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機抽取2件送往甲機構(gòu)進行進一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．12．一個盒子里裝有三張卡片，分別標記為數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標記的數(shù)字外完全相同．隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a＋b＝