第3章水文統(tǒng)計(jì)原理橋梁工程的水文計(jì)算任務(wù)：根據(jù)水文資料用水文統(tǒng)計(jì)方法確定橋涵工程的設(shè)計(jì)流量及設(shè)計(jì)水位。本章內(nèi)容：幾率與頻率、頻率分布、重現(xiàn)期、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線、統(tǒng)計(jì)參數(shù)、頻率適線法、相關(guān)分析。1.水文現(xiàn)象特性1.周期性2.地區(qū)性3.不重復(fù)性（偶然性）第1節(jié)水文現(xiàn)象的特性和分析方法2.水文分析方法1.成因分析法

推理公式、經(jīng)驗(yàn)公式等

2.地區(qū)歸納法

水文手冊(cè)3.數(shù)理統(tǒng)計(jì)法頻率分析法1.隨機(jī)事件隨機(jī)試驗(yàn)：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀測(cè)。隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果?？煞譃?種：（1）必然事件每次試驗(yàn)中一定會(huì)出現(xiàn)的事件（2）不可能時(shí)間任何一次試驗(yàn)中都不會(huì)出現(xiàn)的事件（3）隨機(jī)事件一次隨機(jī)試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件簡(jiǎn)單隨機(jī)事件：試驗(yàn)的可能結(jié)果是有限的，而且所有事件出現(xiàn)的可能性都相等。第2節(jié)幾率和頻率2.隨機(jī)變量隨機(jī)變量：多次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件出現(xiàn)的種種結(jié)果。

水文統(tǒng)計(jì)法即是利用流量、降雨量等實(shí)測(cè)水文資料作為隨機(jī)變量，推求水文現(xiàn)象（隨機(jī)事件）的客觀規(guī)律——統(tǒng)計(jì)規(guī)律。連續(xù)型隨機(jī)變量不連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量系列：許多隨機(jī)變量組成的一列數(shù)值。某河流年最大流量值組成的隨機(jī)變量系列

年最大流量系列第2節(jié)幾率和頻率3.幾率（概率）和頻率幾率：在一定條件下，隨機(jī)事件客觀上出現(xiàn)的可能程度（可能性大?。?。

簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的幾率，按幾率的古典定義計(jì)算：

P（A）——一定條件下，隨機(jī)事件A出現(xiàn)的幾率

n——實(shí)驗(yàn)結(jié)果的總數(shù)m——隨機(jī)事件A出現(xiàn)的總數(shù)。必然事件（幾率=1）、不可能事件（幾率=1）、隨機(jī)事件（0<幾率<1）第2節(jié)幾率和頻率頻率：一系列重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)中，某一事件出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值。

設(shè)事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)了m次，則事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率為m/n。試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，頻率具有明顯的偶然性，隨著次數(shù)的增多，頻率將趨于穩(wěn)定，最終接近于幾率。第2節(jié)幾率和頻率幾率是隨機(jī)事件客觀上出現(xiàn)的可能程度，是理論值；頻率是利用有限的試驗(yàn)結(jié)果推算得到的，是經(jīng)驗(yàn)值。4.總體和樣本總體：隨機(jī)變量系列的全體。隨機(jī)樣本：從總體中隨機(jī)抽取的一部分隨機(jī)變量系列。樣本是總體的一部分，反映了總體的特征，因此可以借助樣本具有的規(guī)律推求總體的規(guī)律。推斷結(jié)果的可靠性由樣本對(duì)總體的代表性決定。第2節(jié)幾率和頻率第2節(jié)幾率和頻率如：從一個(gè)水文站的歷年流量觀測(cè)資料中，每年選取一個(gè)洪水成因相同的最大洪峰流量，n年的觀測(cè)資料選出n個(gè)年最大流量值，組成一個(gè)n項(xiàng)容量的隨機(jī)樣本。水文中利用實(shí)測(cè)水文資料組成的有限的隨機(jī)變量系列（樣本）推求無(wú)限總體的規(guī)律，以解決工程中的水文計(jì)算問(wèn)題。常用抽樣方法為“年最大值法”第3節(jié)頻率分布頻率分布、頻率曲線、累積頻率頻率分布：隨機(jī)變量和其出現(xiàn)頻率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。工程中，隨機(jī)變量系列容量n足夠大時(shí)，常把隨機(jī)變量的頻率分布近似地作為幾率分布來(lái)看。當(dāng)然，這對(duì)分析系列要有一定的要求，如系列長(zhǎng)度（即容量）。一.頻率分布某水文站1975年最大流量實(shí)測(cè)資料流量出現(xiàn)次數(shù)頻率（%）累積出現(xiàn)次數(shù)累積頻率（%）1400-130011.31.01.31300-120011.32.02.71200-110022.74.05.31100-100034.07.09.31000-90056.712.016.0900-800810.720.026.7800-7001418.734.045.3700-6002026.754.072765.086.7500-40068.071.094.7400-30034.074.098.7300-20011.375.0100.0組距：區(qū)間間隔（根據(jù)實(shí)測(cè)資料等區(qū)間劃分）頻率：各組中年最大降雨量出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值累積頻率：各組累積出現(xiàn)次數(shù)與總次數(shù)的比值。表示大于和等于該組所在區(qū)間年最大降雨量值出現(xiàn)的可能性大小。流量與頻率關(guān)系的直方圖以流量為橫坐標(biāo)，區(qū)間頻率為縱坐標(biāo)，表示年最大流量的頻率分布。分布曲線與密度曲線的關(guān)系圖累積頻率：水文統(tǒng)計(jì)中，大于等于某一流量值出現(xiàn)的次數(shù)（累計(jì)出現(xiàn)次數(shù)）與總次數(shù)的比值，稱為該流量的累積頻率，簡(jiǎn)稱為該流量的頻率。

如：P=1%或1/100重現(xiàn)期P：在很長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)，平均若干年遇到一次

T=1/P

P=1%或1/100，百年一遇。

P=2%或1/50，50年一遇。2.累積頻率和重現(xiàn)期公路橋涵設(shè)計(jì)洪水頻率（公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范JTGD60-2004）公路等級(jí)特大橋大橋中橋小橋涵洞及小型排水構(gòu)造物高級(jí)公路1/3001/1001/1001/1001/100一級(jí)公路1/3001/1001/1001/1001/100二級(jí)公路1/1001/1001/1001/501/50三級(jí)公路1/1001/501/501/251/25四級(jí)公路1/1001/501/501/25不作規(guī)定3.設(shè)計(jì)洪水頻率經(jīng)驗(yàn)頻率曲線：根據(jù)實(shí)測(cè)水文資料直接點(diǎn)繪的頻率曲線。理論頻率曲線：為了配合經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群外延頻率曲線而提供的一種用數(shù)學(xué)方程式表示的頻率曲線。第4節(jié)經(jīng)驗(yàn)頻率曲線頻率曲線1.經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算我國(guó)水文計(jì)算中廣泛采用的是維泊爾（Weibull）公式，即：P——統(tǒng)計(jì)系列中第m項(xiàng)（按遞減順序）隨機(jī)變量的經(jīng)驗(yàn)頻率；

m——統(tǒng)計(jì)系列的容量；

n——計(jì)算隨機(jī)變量的序號(hào)（遞減次序）.2.經(jīng)驗(yàn)頻率曲線的繪制繪制步驟：

1）將實(shí)測(cè)水文資料按從大到小的順序排列；

2）利用經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算系列中各項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率；

3）以水文變量x為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗(yàn)頻率P為橫坐標(biāo)，點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)群趨勢(shì)繪出一條平滑的曲線，稱為經(jīng)驗(yàn)頻率曲線。有了經(jīng)驗(yàn)頻率曲線，即可在曲線上求得指定頻率P的水文變量值x。

經(jīng)驗(yàn)頻率曲線繪制簡(jiǎn)單，查用方便。

但受實(shí)測(cè)資料所限，往往難以滿足設(shè)計(jì)上的需要。因?yàn)椋涸O(shè)計(jì)洪水流量均為小頻率的特大洪水流量，必須將經(jīng)驗(yàn)頻率曲線向上外延。而在等分格紙上，經(jīng)驗(yàn)頻率曲線成S形，兩端陡，中間平緩，外延時(shí)任意性較大。3.經(jīng)驗(yàn)頻率曲線存在的問(wèn)題海森幾率格紙的特點(diǎn)：（1）縱坐標(biāo)按均勻分格或?qū)?shù)分格（2）橫坐標(biāo)以50%為中心對(duì)稱分格，中間密兩邊疏（依據(jù)正態(tài)分布的頻率曲線在坐標(biāo)紙上呈直線確定）

4.解決措施——在海森幾率格紙上繪制經(jīng)驗(yàn)頻率曲線：根據(jù)實(shí)測(cè)水文資料直接點(diǎn)繪的頻率曲線。理論頻率曲線：為了配合經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群外延頻率曲線而提供的一種用數(shù)學(xué)方程式表示的頻率曲線。我國(guó)：皮爾遜Ⅲ型曲線

耿貝爾曲線第5節(jié)理論頻率曲線頻率曲線皮爾遜Ⅲ型曲線是一條一端有限一端無(wú)限的不對(duì)稱單峰、正偏曲線（見(jiàn)右圖），數(shù)學(xué)上常稱伽瑪分布，其概率密度函數(shù)為:

1.皮爾遜Ⅲ型曲線的概率密度函數(shù)式中：Γ(α)——α的伽瑪函數(shù)；

α,β,a0——曲線參數(shù)，

1.皮爾遜Ⅲ型曲線的概率密度函數(shù)——均值、變差系數(shù)、偏差系數(shù)（1）均值

均值表示系列中變量的平均情況。設(shè)某水文變量的觀測(cè)系列（樣本）為x1，x2，……,xn

，則其均值為:模比系數(shù)K：（2）變差系數(shù)Cv

水文計(jì)算中用均方差與均值之比作為衡量系列的相對(duì)離散程度的一個(gè)參數(shù)，稱為變差系數(shù)，或稱離差系數(shù)、離勢(shì)系數(shù)，其計(jì)算式為:（3）偏差系數(shù)Cs

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中采用偏態(tài)系數(shù)作為衡量系列不對(duì)稱程度的參數(shù)，其計(jì)算式為:水文計(jì)算中，一般需要求出指定頻率P所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量取值xp，也就是通過(guò)對(duì)密度曲線進(jìn)行積分，即:2.皮爾遜Ⅲ型頻率曲線及其繪制將密度函數(shù)代入，推導(dǎo)得頻率曲線的分布函數(shù)：——頻率為p的隨機(jī)變量、流量——離均系數(shù)，通過(guò)離均系數(shù)表查閱——模比系數(shù)，通過(guò)模比系數(shù)值表查閱附表

皮爾遜Ⅲ型頻率曲線的離均系數(shù)

值表（摘錄）P/%Cs

0.1152050

8095

99

99.90.03.092.331.640.840.00

-0.84-1.64-2.33-3.090.13.231.672.0

0.84

-0.02

-0.85

-1.62

-2.25-2.950.23.38

2.471.700.83-0.03

-0.85-1.59

-2.18-2.810.3

3.522.541.730.82-0.05

-0.85-1.55

-2.10-2.670.43.672.621.75

0.82-0.07

-0.85-1.52-2.03

-2.540.53.812.681.770.81-0.08-0.85

-1.40-1.96

-2.400.63.962.751.800.80-0.10

-0.85-1.45-1.88

-2.270.74.102.821.820.79

-0.12-0.85-1.42-1.81

-2.140.84.242.89

1.840.78-0.13-0.85

-1.38

-1.74-2.020.94.392.961.860.77-0.15

-0.85-1.35-1.66-1.90

4.53

3.021.880.76-0.16-0.85

-1.32-1.59-1.79附表

皮爾遜Ⅲ型頻率曲線的模比系數(shù)KP值表（摘錄，Cs=2Cv）P/%Cs0.1152050759095990.05

1.161.121.081.041.00

0.970.940.92

0.890.10

1.341.251.17

1.081.000.930.870.84

0.780.20

1.731.521.351.160.990.86

0.75

0.70

0.590.30

2.191.831.541.240.970.780.64

0.56

0.440.40

2.702.151.741.310.950.710.530.450.300.50

3.272.511.941.380.920.640.440.340.210.60

3.892.892.151.440.890.560.350.26

0.130.70

4.563.292.361.500.850.490.270.18

0.080.80

5.303.712.571.540.800.42

0.210.120.040.90

6.084.152.781.580.750.350.150.080.021.00

6.91

4.613.001.610.69

0.290.110.050.01實(shí)例分析【例3-6-1】已知：某水文站有22年的年最大流量觀測(cè)資料。試：（1）繪制該站年最大流量系列的經(jīng)驗(yàn)頻率曲線；（2）計(jì)算三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)，繪制理論頻率曲線（P-Ⅲ曲線）（3）并推算百年一遇的洪水流量。（一）經(jīng)驗(yàn)頻率曲線繪制1）將實(shí)測(cè)水文資料按從大到小的順序排列；

2）利用經(jīng)驗(yàn)頻率公式計(jì)算各項(xiàng)流量的經(jīng)驗(yàn)頻率；

3）繪制經(jīng)驗(yàn)頻率曲線。以流量為縱坐標(biāo)，以經(jīng)驗(yàn)頻率為橫坐標(biāo)，在海森幾率格紙上點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)群，根據(jù)點(diǎn)群趨勢(shì)繪出一條平滑的曲線。（二）計(jì)算統(tǒng)計(jì)參數(shù)序號(hào)

按年份序列排列按流量大小排列經(jīng)驗(yàn)頻率（%）Ki(Ki-1)^2(Ki-1)^3年份流量年份流量P=m1/(n+1)*100%1234567891195520001959

29504.31.7350.5400.3972195623801958

26008.71.5290.2800.1483195721001961

250013.01.4700.2210.1044195826001956

238017.41.4000.1600.0645195929501966

225021.71.3230.1040.0346196125001971

217026.11.2760.0760.0217196210001957

210030.41.2350.0550.0138196311001955

200034.81.1760.0310.0059196413601979

190039.11.1170.0140.00210196514801976

185043.51.0880.0080.00111196622501982

170047.81.0000.0000.0001219696001972

165052.20.9700.0010.00013197015301970

153056.50.9000.010-0.00114197121701965

148060.90.8700.017-0.00215197216501964

136065.20.8000.040-0.00816197513001975

130069.60.7650.055-0.01317197618501963

110073.90.6470.125-0.0441819779001980

108078.30.6350.133-0.04919197919001981

101082.60.5940.165-0.06720198010801962

100087.00.5880.170-0.07021198110101977

90091.30.5290.222-0.10422198217001969

60095.70.3530.419-0.271合計(jì)

37410

22.0002.8450.159

1700

0.3680.168

均值

變差系數(shù)偏差系數(shù)（三）理論頻率曲線繪制按上式計(jì)算指