學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)19平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示（1）認(rèn)識(shí)平面向量的基本定理及其意義.(2）掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4）理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。一、平面向量基本定理若是e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么關(guān)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.二、平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，關(guān)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a=xi＋yj，這樣，平面內(nèi)的任向來量a都可由x、y唯一確定,我們把(x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x，y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精上的坐標(biāo).三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．向量坐標(biāo)的求法1)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2)，則AB=（x2－x1，y2－y1）。2．向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a=（x1，y1）,b=（x2，y2），則a＋b=（x2+x1,y2+y1)，a－b=（x1－x2，y1－y2）,λa=（λx1，λy1）,｜a｜=x12+y12，｜a＋b｜=(x1+x2)2+(y1+y2)2.3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2,y2），則a∥b?x1y2－x2y1=0.4．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b，作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。若是向量a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直，記作a⊥b。考向一平面向量基本定理的應(yīng)用1．應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精邊形法規(guī)或三角形法規(guī)進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算,共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用．當(dāng)基底確定后,任向來量的表示都是唯一的．2．應(yīng)用平面向量基本定理的要點(diǎn)點(diǎn)1）平面向量基本定理中的基底必定是兩個(gè)不共線的向量．2）選定基底后,經(jīng)過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．3）重申幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等．3．用平面向量基本定理解決問題的一般思路1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算．(2）在基底未給出的情況下，合理地采用基底會(huì)給解題帶來方便，別的,要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典例1在中，OC4，OD2，與交于點(diǎn),△OAB1OA1OB??????????設(shè)????=???，?????=??，請(qǐng)以??、??為基底表示??????．m1n所以4，即4??+??=1,1141m2n1m37，由4mn1，解得n7所以O(shè)M1a3b．77學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．如圖,在△OAB中,??為線段????上一點(diǎn),????=???????+??????,且???=?3??????,則A．C．

x2,y131,y344

B．D．

x1,y233,y144考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算主若是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法規(guī)來進(jìn)行求解的,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．學(xué)。2．解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，經(jīng)過列方程（組)來進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用。牢記:向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)地址相關(guān)系．兩個(gè)相等的向量,無論起點(diǎn)在什么地址，它們的坐標(biāo)都是相同的．典例2已知??(-3,0)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB??(0,2)??內(nèi)，且∠??????=45，設(shè)??????????∈，則的值為°??=??????+(1-??)????(????)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A．B．C．D．

15132523【答案】C【剖析】∵，設(shè)，則=(??,-??)，∠??????=45°??(??,-??)?????又,，依照向量的坐標(biāo)運(yùn)算知?+(1-??)????=??(-3,0)??(0,2)??????????(-3??,2-2??)，x352。所以x22典例3已知A(2,4)，B(3,1)，C(3,4)，設(shè)ABa,BCb,CAc。1)求3ab3c；2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n。2．已知平面向量a(1,2)，b(2,m)，且a∥b，則2a3b學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A．(5,10)B．(3,6)C．D．(4,8)(2,4)考向三向量共線（平行）的坐標(biāo)表示1．利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí),可設(shè)所求向量為a(R），爾后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入a即可獲取所求的向量．2．利用兩向量共線求參數(shù)．若是已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a(x1,y1)，b(x2,y2)，則a∥b的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便．3．三點(diǎn)共線問題．A,B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于AB與AC共線．4．利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)變成三角方程，再利用三角恒等變換求解.典例4已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，?????=2e1+e2,????=?-e1+λe2,????=-2e1+e2,且A，E，C三點(diǎn)共線。1)求實(shí)數(shù)λ的值；2)若e1=(2，1),e2=(2，-2），求????的坐標(biāo)；學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（3)已知點(diǎn)D（3，5）,在（2)的條件下，若A，B,C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針序次構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).∵e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，1+2k=0且1+λ-k=0，解得k=-1,λ=-3.22故實(shí)數(shù)λ的值為-23.?????3，（2)由（1)知，=-e1-2e2則??+??=-3e1-11(2,-2）=(-6,-3）???????????（1，-1)=（-7，-2）.（3)∵A,B,C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針序次構(gòu)成平行四邊形,????=???????。設(shè)A(x,y)，則????=?(3-x，5-y）。由（2）知，???=（-7,-2)，∴3x7，解得x10，5y2y7∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10,7）.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．已知向量??=(1?,?2),??=(-2,???)。若??+??與??-??平行,則實(shí)數(shù)??的值是A．4B．1C．-1D．-41．已知向量??=(2,1),??=(-3,4)，則??+??=A．(6,-3)B．(8,-3)C．(5,-1)D．(-1,5)2．已知????????????且??????????????+=(2,5),??=(3,4),=(1,6),??=,則A．??+??=-1B．??+??=0C．??+??=1D．??+??=23．已知向量??=(2cos??,2sin??),??=(3,√3)，且??與??共線，??∈[0,2π),則??=A．π3B．6πC．3π或23πD．6π或76π4．如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量?????????????????,????,????與的夾,其中角為,與的夾角為,且=2，3,OC23,30°120°??|????2若????????∈則????=?+????????,????(）,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A．??=4，??=2B．C．，4D．23

8，3323，4235．設(shè)OA=（1,－2），OB=（a，－1），OC=（－b,0），a>0，b>0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則1a+2b的最小值是A．2B．4C．6D．86．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP2PC，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)。若PA4,3,PQ1,5，則BC__________．(用坐標(biāo)表示）7．如圖，在6×6的方格中,已知向量??,??,??的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn),且滿足向量??=????+????(??∈,??)，那么??+??=_______。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．已知向量a=（2,0）,b=(1,4)。(1）求2a+3b，a-2b;（2）若向量ka+b與a+2b平行,求k的值.9．已知向量a(cos,sin)，b(cos,sin)，0π。(1）若|ab|2，求a,b的夾角的值；（2）設(shè)c(0,1),若abc，求,的值.1．（2016新課標(biāo)全國Ⅱ理科）已知向量a(1,m)，b=(3,2)，且(a+b)b，則m=A．-8B．-6學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精C．6D．82．（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科)在矩形ABCD中,AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若APABAD,則的最大值為A．3B．22C．5D．23．（2015江蘇）已知向量a=(2,1),b=(1,2),若manb(9,8)(m,nR）,則mn的值為______。4．（2017江蘇）如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為，且tan=7，OB與OC的夾角為45°．若OCmOAnOB(m,nR),則mn▲．變式拓展1．【答案】D學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2．【答案】C【解析】a∥b,1m22,m4,2a3b21,232,44,8.故選C。3．【答案】D【剖析】??+??=(-1,2+??),??-??=(3,2-??),由??+??與??-??平行,得3(2+??)+(2-??)=0，解得??=-4．故本題正確答案為D.考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】D【剖析】因?yàn)橄蛄??=(2,1),??=(-3,4)，所以??+??=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)。2．【答案】C【剖析】∵?????，∴(3,4)=α（2,5）+β（1,6）??????+??????==(2α+β，5α+6β）,∴23，解得2，故α+β=1．56413．【答案】D【剖析】因?yàn)??與??共線,所以2cos??×√3-2sin??×3=0，cos??=tansin3，??∈[0,2π)π，所以6或√3sin??學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精7π6。4．【答案】C因?yàn)???，所以有3,323,33，即4，=????????????+所以??=2.應(yīng)選C.5．【答案】D【剖析】由題意可得，OA=(1，－2），OB=(a，－1），OC=（－b，0），所以AB=OB－OA=（a－1，1）,AC=OC－OA=（－b－1，2）.∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB∥AC,即（a－1)×2－1×(－b－1)=0，∴2a＋b=1.∵a〉0，b>0，∴1+2=(1+2)(2ab)=4+(b+4a)ababab

4＋4=8(當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取“="，）應(yīng)選D。6．【答案】6,21【剖析】依題意BC3PC，因?yàn)辄c(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，所以PAPC2PQ，所以PC2PQPA2,7,故BC3PC6,21．7．【答案】3學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精8．【剖析】（1)∵a=（2，0），b=（1,4),2a+3b=2(2,0）+3(1，4）=（4,0）+（3，12)=（7,12）,a-2b=(2，0）-2(1,4）=（2，0)-(2,8）=(0，-8)。(2）依題意得ka+b=（2k,0)+（1，4)=(2k+1，4),a+2b=（2,0)+（2,8)=(4,8）,∵向量ka+b與a+2b平行，1∴8(2k+1)-4×4=0，解得k=2.【易錯(cuò)警示】本題的易錯(cuò)點(diǎn)是進(jìn)行平面向量加、減運(yùn)算時(shí),易把橫、縱坐標(biāo)的加、減搞混,必然要注意兩平面向量相加、減時(shí),應(yīng)當(dāng)是對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)進(jìn)行加、減。9．【剖析】（1）由acos,sin，b(cos,sin)，得abcoscos,sinsin，由|ab|2cos2sin222coscossinsin2，cossin得coscossinsin0，則ab0,故a,b的夾角為90.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（2）由abcoscos,sinsin0,1，得coscos0①，sinsin1②①2②2得cos1。2∵0π0π2π2π，，∴，∴3，3代入②得sin2πsin3cos1sinsinπ1，3223∵ππ4ππππ56π.333，∴32，6，綜上所述，56π，π6。直通高考1．【答案】D【名師點(diǎn)睛】已知非零向量幾何表示模|a|＝aa夾角abcosaba⊥b的充要ab0條件

a(x1,y1),b(x2,y2)：坐標(biāo)表示x12y12x1x2y1y2cosx12y12x22y22x1x2＋y1y2＝02．【答案】A【剖析】以下列圖，建立平面直角坐標(biāo)系。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精所以z的最大值是3,即的最大值是3，應(yīng)選A.【名師點(diǎn)睛】(1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法規(guī)或三角形法規(guī)進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算。2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再經(jīng)過向量的運(yùn)算來解決.學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3．【答案】3【剖析】由題意得2mn9,m2n8m2,n5,mn3.4．【答案】3【剖析】由tan7可得sin72，cos2，依照向量1010的分解,易得即得

ncos45mcos22n2m25nm10，即210，即，nsin45msi