大學(xué)文科數(shù)學(xué)第二版

習(xí)題答案精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除大學(xué)文科數(shù)學(xué)第二版課后習(xí)題答案（含解答過程）HIGHEREDUCATIONPRESS大學(xué)文科數(shù)學(xué)第二版課后習(xí)題答案（含解答過程）HIGHEREDUCATIONPRESS4 <一L鹿廣八一不$求小T），舊）"⑺T）.分析函數(shù)）表示>勺a之間的對立枕則，V=〃？）就像一部由散加工器.將麻利/T?"植入加[_器｛/巴就可生育出：r這是求解此類同電的思想方法.般由了邑f｛上）-丁，一可知￥與？之間的樹應(yīng)法則為y-/（7）-產(chǎn)；1=#]2一設(shè)/⑺=一『『""’求⑴及函教的定義域?并作函班的!O.i?l圖像一分析對于分段函數(shù)fJ）,求/（5）時亶圳明不屬于分段函數(shù)的哪一段，不落在不I可的區(qū)間,箋選用所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.睇因為點工二0落在分段函數(shù)上一次達(dá)式的定義域中，所以f（0"打|=1.同理 /《1）=0.定義城為（-8,IB）.其函數(shù)圖像略.F列函數(shù)的反函數(shù)；(】).￥=31-2-牌由3=3i-2得I=4遂,所以原函數(shù)的反函數(shù)為w=W^(xGR).1fc? 1*/mj:+J⑵y-J'L]解由中=**|知AfLvHL解海一二”;,所以原函數(shù)的反函依為t—1 y—iy=-―I,yfl.^=xa-L解困為_r〈。時，該函數(shù)單調(diào)速減，,\0時，該函數(shù)單調(diào)遞增，所以原函數(shù)在(-m,+8)內(nèi)不存在反函數(shù).但當(dāng)i<0時，反函數(shù)為了--/E(x>一1)；當(dāng)尸〉。時，反函數(shù)為詢:1).y=cotj-.解讀函數(shù)在區(qū)間(我叫(我+1KM疝￡刃內(nèi)單調(diào)遞減,均存在反函數(shù)，稱為反余切函數(shù)但我們5!取區(qū)間(。,通內(nèi)的反函數(shù)，稱為反余切函數(shù)的主值，筒林為反親切函數(shù)a記作y=arcmt/(一e,+?)?>€(0Px);y=vit+4arcsmx. .解函數(shù)下=的定義域為口W-￥，1,值域為yE[0?V『5i],從了=■/人+4山resin#中解出工=sin 一村)，所以反函數(shù)為y=彝一M曲根君的事時和胡更玲霰r城口)(比'-/)**￡彝一M曲根君的事時和胡更玲霰r錯解分析」一不是基本初等函數(shù)，分解不匐底,LU3R

whiliiC.i■+2).~1nw*w-=In廿，t=.『+2，y二討口一二.解v"hE…工，v-#-1.■ V解v=2"."=Cretank.甘=JT.5.求下列闌額的定義域.y=see.（1,解 ?「所以原函數(shù)的定義域為十],r￡R|dWZ）. rvw.y 2y/t.解由3sq0猾凜函數(shù)的定義域為K&r-￡.2隹-5]20.y— —+In.r.“I-J-解由1-工*QH可知,原函毅的定義域為g,l）1」。，+e}.6-我國解散初期恩格爾系數(shù)為68,至，如5邱緩慢降至81J文革.期間又上升為65.7。年代末改革開放后又逐年走低,至90年代末又凱樞在50上下.研究報告演剜，到狗為年可筆降至4U,試粗略循出我國恩格爾系數(shù)隨年代變化的曲線限髀圖時.要造個舊林形無蓋的樣水池，容旗為配。mL底而（單位）的造怖是惻面（單位）造橋的2倍，設(shè)樹面軸平方米遭排為"兀，試格整個蓄水池的巡僑;v表示為底而串和尸的函數(shù).斷恭水池底面積為nF,韶面而根為3”?其次人而側(cè)面每平方米:房價為m元，底面每平方米造物為2〃元所圖整個蓄水池的氈價為y-[2irr'+*：°卜（尸>0）..據(jù)海外時根1999隼4flmFl報道jqg年我國人口總數(shù)為12一瑞億,每年凈增A口數(shù)均為1加。萬，人口出生率已從1曾。柴的33.43%降到1998中的16川“中國城市已基本實現(xiàn)向低出生、俄死亡和低增長的現(xiàn)代人口再生類型善變.農(nóng)村人口也正向這一關(guān)壁近潰，但中國的人口情況仍然足嚴(yán)峨的在新的世紀(jì)中，中國將曲臨雙應(yīng)的人I」壓力巨大的人口規(guī)蟆和人口的老齡化預(yù)計

到WMO年60歲以上人口將達(dá)到L4億據(jù)加洲，未來20年中國人口還簽增加3億害才能穩(wěn)定下來.蛆以1%9年初我國人口總數(shù)12.48億為基數(shù).推而測.假定20%年初我國人口總敷為15..S5億，問我國入口年平均增代率麻棒制在多少(精確到。一如第］?解設(shè)花闡人口年平均增長率應(yīng)除制在工.由題意可將12.48(1+j)21-15.55,(j+x)31=u皿12.4B*兩邊取自然時數(shù),市21lii(l+T)=ln15.55-In12.48,1^1+^)=--^--"至~0005,苴反對數(shù)在 I#=LQIO,解得 h=0.UL所以我同人口年平均增長率應(yīng)控制在L0%..已知水渠的橫斷面為等腰梯形,如班圖II所小，斜角為外當(dāng)過水?dāng)嗝孀匀×Φ年]積為定值品時，求濕周1」匕二月日+BC十UD)與水深h之間的函救關(guān)系式,井說明定義域一地圖1.1地圖1.1第一章第一章盧根隆的作璉和玨光時京①②解如圖所R.AU-OA/AJK二苧,設(shè)址二二3則=lA(BC1ADy,h—(7Dsin中?AD=內(nèi)+2cDoo*審.從而hj h t5"=1('*"?siny00*.)=_{b+.cot.)一又由于 L=A￡iiBC+CO=b^2CD-b+7

,1sin中由①，②7

,1從而行 L-段；義--癡t%h中口中 1r即得郁周L與水深力之間的函數(shù)關(guān)系式L今中S^fE,

力MD;甲由題章可知,其定義域由，>。和心>u所痛定，由中式知鼻h—不—hcot7>D.從而 h2<S?tan中，所以 BV〃之，&u〔wn千?故所求定義域為(。，JSuUm浦.成本.收入和利潤函數(shù)設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品,生產(chǎn)產(chǎn)件的總成本C=C3)稱為總成本函數(shù).銷貨,件的總收益R=RG)稱為收益函數(shù).收益函數(shù)和忌成本函數(shù)之差L(》)=K(i)」C(i)稱為利潤函數(shù)這些函數(shù)的定義域是具有經(jīng)濟(jì)意義的宓柒0的值設(shè)該企業(yè)的成本函數(shù)為c(￡)3:/t2Uj+900”收益函數(shù)為K：上)上306"-5』工，寫出利潤函數(shù)，并求精賃10件時的利潤一第由已知得L()■ft(j)-C(j)=306jt-5,r?-jr'i20jti91M)j.即 L(」)=-5,5jz+2S6t-900(了注0),銷貨10件時的利潤為L(10)=l410.rm觀察法判斷下列各數(shù)列是否收斂？如果收斂，極限是什么？(1)(2)2-1j;(3) +(-l)ffI; (4)8|解{I)收斂，0; (2)收斂.2：⑶KfiK； (4)發(fā)散.2,用二-歹定義證明下列極限：(1)12(3上+1)=4.J?I .證任給e>0.由L/O)*A[-|3r+l-4|=|3_r-3[=3|j：-l|<fAS九即出|工—求九取》.所以對任給的￡>0.存在3=+>0,當(dāng)0<|工一1|<才二3時*有|打+1-4|<3^y-e恒成立，所以岬[￡+1)7一⑵啊宗…證當(dāng)時由 =|x-l-(-2)|=第一堇外幡內(nèi)容X+I T+1第一堇外幡內(nèi)容|工十1|<E,取a=E*所以對任給的E>0,存在#=E+當(dāng)0<|工一(-1)|<3土底時，有=^-(-2)=]]+1|<￡恒成立廝以lim至-2.

JT*1 L7M十1⑶.駕落=工39~(4)limr=4.J-i將證任母e〉0,由l--4l=li十2||*-Z|<e求丸只要li-2l<「Jr取a= 斤以當(dāng)?！段?2l《8工廠三^時，恒育-4|V￡lx*2(Lr+21 I”21鼠上?鼓得住一錨在分析必由I”—4|=|i+2||^-2|<￡#占時,史用為|H—2|之二工7是借送的，因為此時所率的4=廠二■「當(dāng)w固定時河域ifZ的變化而更化T正磷的取法座境是8中僅含。，而茶餐工，應(yīng)前F艮制T的變化庖圃，用技大法,耿效代替Ik+2LE-刊/T|=|#TH工.I.限制不甘令1±-2|<h而此式等價于1C#《3.取工力五則［r+2l<5,用5代替|工十2|,于是有3+2|以-2|<“』一2|<3對任給的￡》0.六看阜5-min 皆0<Lr=21Vd時，信南|--4|成立，所以口lim.x2=4-j：-*2第二盤融權(quán)萬的上耀基礎(chǔ)注意在上面的證法中，胤為文f2,斯式可艱限利m-2|V1,網(wǎng)塞教5破大支生I#*2L從而旗到3=M*).這蟀的證法和為防大法一第二盤融權(quán)萬的上耀基礎(chǔ)&求卞別展報也惠益=。處的左粗限在去杈風(fēng)二(l)/(T)-fjrl+l.分析懸照T的不同承做苞國.去停奧時值符號.將/(#】裳而為分段國觥.而后求分界點杜時點土發(fā)限解國力網(wǎng)上)…-1/1土|,上2"1+1.*V0,所以，_(口)=liEJUJ-1g1(一1T)V1,1屋 工-0，+to)=limfQ)=lim(J-+1)I_h ?乂■* F—Q―———h.39(2)/(j^)=-IsgnJ-1,解因為/G)=■|?tH|N*l>t￡=0nLl.T<0,所以/-(0)=lim/(*)=litnC_Isgnj1I)=1im(1)=1,f,(0>=lim/(*)=lim(-I駕nrI)=1im(-I)=-I.尸加1r 『*，4.作幽數(shù)/(X)-卜"的圖像，并證明該函數(shù)在If0時不存在.T-1,J"<。極限.分析域函敕是分段南敝，分界，爸是T=0,要證明該分段函敷在分界，鼠丁=0處不存在極限，應(yīng)根據(jù)“國數(shù)在一意處存在破限的充要條件是左右極限存花且相等的定理，證國修如轄困2」.TOC\o"1-5"\h\z/.(0)=limJ〈.r)=lim(je+1)—lt j.r-?O" .r—t>' If.(0)=lim/(j-)-lim(j-1)--1, /fTF /因為limfC)#Um/Q),所以不存在. 1YQi屋 j-D J?0 一—一s.下列變墻在紿定的變化過程中，哪整是無窮小 ”盤，哪些是無窮大量？ 7⑴N二(u-0),解因為時,分子1-才一】，分母/f。，乂無答圖2/客小量的倒數(shù)是無窮大量，所以當(dāng)if。時寧是無窮大量一⑵J<=^4GTL,T"I2 ?liiTi(.rJ—1)「解因為㈣2君式1e=s=o,而無方小量的倒數(shù)是無窮大量,,.*1所以V"與二是1-1時的無窮大1LH11*=Mn—(W因為8時Lf(),即有l(wèi)imsin2=0,所以>=sin■^是1fg時的無-T 工 工窮小量.y=31r-1(工一。).解國為!嗯(3?-1)=:?。?5)一1：—1—1-0,所以行L—】是『f仆時的無窮小艇(5)廠1“口』)?)解因為I叩In.r=-8,所以3=1gx星r-HT時的無窮大量.小一1YT)1 、,口= * <8)*解因為00時，分子11+(-1VIS2是有界變量，分母刀是無旁大景,又無窮大楊的倒數(shù)是無窮小國、所以工”=l_L￡i)一是同一g時的無窮小串

6,當(dāng)if。時.討■論下列無窮小最關(guān)于無窮小幫x的階的比較:⑴x\解因為lim工=lim，=O,所以J—。（工）,上?一HXL">-->--?瀛枳分的工攜基礎(chǔ)——極限解由于”f0時I為無窮大量，從而使得⑹丘上不存在極限，但I(xiàn)蜻口工［<M JCI，是有界變貴，又因為有界變量與無窮小量的乘積是無窮小量，所以2. 1,rsin一Em--———=】im工點n——0,

1 xT工于是 上"sinL=n（H）.Jr.rzi解因為lini—=linn 所以，工為上的較低階無窮■小員.5 **o￥x（4>■/xco?x,解因為呵一.三二Vlttl-7=^=+ 所以Gms上為上的較低階無I-ft X-***V-T藥小量.7-假話受重、世眼，尢塞小盤之問的關(guān)系定理證明：若兩個函數(shù)的極隈都存在，則兩個函數(shù)之積的極限等于根時之稹一證設(shè)1詁］『（工）=Atliiu用（&）=B.J**n所以j{jr}=Ara,*（.）=R+R,其中or。,產(chǎn)一o（{*心）?---- 一-41于是/（/）3（"）=（A+a）（H+P）=AH+人F+/54而 Ap-U,Ba-。，口―0（。一。,川―。）t所以由空Bt.極限，無窮小量之間的美系定理，證得Imi/（.r）x（*-）=AH= 1由1隊才）._r■. *? J">W.

H.求卜.丹假限二(I)lim("f+2)一?“解hmOJ3-ri2)= )一lim+Iim2"3-I+2=4.r-I 」。*Il ■F1 ，T(2)lim紅=普⑸㈣—(5…產(chǎn)—*3 ..(217產(chǎn)(31)2產(chǎn)H， ["] /,i■\W… (51+1).[以(加產(chǎn)(-3廠+仁(5叱7)???+(7產(chǎn)】]息(10呀+匕(31)力412*]■器~~ 值而嚴(yán)短兩行而! ~~,.產(chǎn)?3押?一+…+3知?戶_hmcWTWi,_ ~■解二分子，分做同除以JI解二分子，分做同除以JIJi興修內(nèi)容/八I-2 -OOSuT(oJlim」——一.,一*jr3r2,r-COShTi，個a,CO?JT個M hm———-~―&lini2-hm =2.#trH i-**?JT佳*3 iI+2+3+…十打 rrI .2, ▲用1nL/、」in八HIM hni 5 Lini(—< +—r+.…+-7t)=(}+(J+…+0—0t*2 jT 4*?tl］廣 甘般解分析當(dāng)升fg時，處子為無窮名項，上述解法是實利用了“無男子個無窮小量之和是無窮小量”的錯誤命胭一應(yīng)該對分子先求前〃項利的公式，再求極限.蟲-I)解hro j =liin- ］ =lim=T】irr(l+一)=百，nr2 ff &P舞 k-HN* LM--y 甘 ￡(S)limQ-/j+1- ).上fTM分析當(dāng)：一4必時,該極限為“a-a”型不定式，可用分子有理化方法來求帙限.錯解lini(分Imi區(qū)產(chǎn)1rzice^年)錯解= 二L =0.lim(一才:1+ZT)“f*-?錯解分析上式中.瓦^■耳\門j3的后詼顯錯誤的，因為分母的段限4tqnr不存在，不等使用商的極限法則.正確的作法是匕第解im.^rn-zT}-iim"TTLw工nZZUtg第一g ,… /TT+/7分析當(dāng)rf1時.該極限為型不定式分析當(dāng)愕限為零的因式.而后求規(guī)限li1n 卜2—73)(小?42+J3)if(-r-L)(/jFT2^/3)

1 _ ?J5,—I1ni ~———-；―陽/E+627369.求Kxh雪花的面積當(dāng)rr 時的極限值.卜冏公］卜,所以？V=A?,t+3；4"1G廠A，］-A|^3r-^-A1+3'4'V)■A14…卜3?4"一,聘7閨…道門所以limA,一12_~4-g卜冏公］卜,所以？V=A?,t+3；4"1G廠A，］-A|^3r-^-A1+3'4'V)■A14…卜3?4"一,聘7閨…道門所以limA,一12_~4-g_27310.求下列極限之Emj-?sin,rt，sin之上liml"51r(3)litlix(x>t1-」一?limtuB工解hra；rcotx=lim 1.t—ii j-nsilljen_n工lirnj-*ciJ二弁莆.「書■T二弁莆.「書■TSJ11亍lim—rF211-求下列極限與lin;(I+a)7,w解令看工，則Q-0附（Qlini(1』=lin】(1+1)■ff口 一如\ f/linJJ+-V,牌fMl 打解一作變量代換.令￡=4■，則"二2f,當(dāng)打f8時，ff8*于是TJ[P(r>1十2『二|血(1十工『二.TRIHI'EIfJP(r>注意熟練以后可不引進(jìn)新的變覃記號，相原式向iim『GA例。的公式變頓即可.

12.求下列函數(shù)在定義城12.求下列函數(shù)在定義城X內(nèi)某點八處的增早；⑴尸/(f)=/+1.解設(shè)函數(shù)在巾八?十g)處自立星她增信為“，于是Av-1/(J(r+Ar)-L/(J-q}-Cru+△才—「j_f/；*i)=2t.Ah』(dr/⑵J(X)=7TJ解設(shè)函數(shù)在點；rL€X=(-?.I)U(L1R)姓門變黃的增陵為△」.于是△i八2)7<q>=.+1T-S=- -3=/(x)-sin解設(shè)函數(shù)在定義域X=(-b,*8)內(nèi)某點小處自變量的增置為白工.于是⑷*)=I唯J解設(shè)嗡觸桿手W域*=(k+8]內(nèi)整鈍八"向酬信的增洞為心『.干是?-1/F0+Aj)-lcg,rr(jrlog.[I+土J.13月定義I或定義之證明下列函皴在其市定因的區(qū)間內(nèi)連域工{1)/￡>)=/7.分新要證明函數(shù)荏定義域內(nèi)連域，第一當(dāng)任取一點門三股證明/Q)在與處捶縫：第二生由4的任點性.便Lit明了〃才)在其上建城.桂證明在；■?處連城的T有哆函賬可以用定義I也可以用定義2但有比函數(shù)艮能用定義I,不能用定義2,或者相反應(yīng)報據(jù)具悖函妙凡體分折，片用定義I址亂任職一素獷.W(-2.十3).甚為linn(--E)- -11/I小),*-**所以由定義1可知該函敗在點心處在狹，再由力的任意性，所以八工「一』I在其定義區(qū)間內(nèi)建陵精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔精品文檔47收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除47收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除證在函數(shù)的定義區(qū)間（-g「2）U「2t+81內(nèi)任取一點也…因為llTQ-]不"7 ??r=-一」--=f（rJ工十2!im（j+2）工,+2八一-“所以由定義L核函數(shù)在網(wǎng)處連續(xù)再由心的任意性，所以人工）止33在其定義區(qū)間我連續(xù)，注意本周f也可以用定義2來證明，讀者不妨一試.（3），｛-『）=OOS.L錯證在函數(shù)八萬=^的定義域（—g,+g）內(nèi)任取一點判，因為Umf（jr）=limcosj-=cosj'u=f（步。）t所以由定義1及4的任意性便證明了該函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù).例證分析上述證明中Jmm彝r=oos4的依攜是連續(xù)函數(shù)取極限的法J"，則.但此胸中正是要證明口后*在（-2.+8）內(nèi)是連續(xù)的.這一證法是把結(jié)論當(dāng)條件，托未知當(dāng)已知，犯了逆輯錯誤.因而此造不能用定義1來證明.證用定義2來證明一任取一點-R.+g）,給心一個增量△工，相應(yīng)的函數(shù)增量為△y=/Jn 」fGiJ工由由（5*△工）一網(wǎng)上。一-2號由卜口十竽卜演竽，因為由*u4誓）崎n華W"1所以：△￡=2卜in卜”+竽j!由於竽顯然.當(dāng)4上一0時MvfO由定戈2,所以esf在點心處連續(xù).再由小的任做性，可知/（1）=j在定義區(qū)間（—8,干8）內(nèi)連續(xù).（4）/（X）=/^.悌在〃工）二右的定義區(qū)間工20內(nèi)任取一點小.給旃一個增量,相應(yīng)的函數(shù)惜量為 IId￥=Gc堤-n*-..^5_-、VJo4△#+V”顯然，當(dāng)"fJ時Qv-T）,由定義2及.rfl的任意性，所以八用在定義區(qū)間[g*g）內(nèi)連級， !注意在證明過程中JimG_TZ7=55+4工"=工」,利用了再函ia-fl 共數(shù)求飯限的法則一

4破函教|應(yīng)者怎樣選擇數(shù)立，使得國數(shù)在&1八」H(r8心+8)內(nèi)連集解由初等函數(shù)的連續(xù)性可知.，(])在(-8,口)和(。，43)內(nèi)是連續(xù)的.下面僅對論工=0處的連擄性一/⑹:0,人(0)?lim/(j)-li嗎("+1)=a..r?也 a-tl1jf,(0)—lim/(,)=LimcJ=I..r-II j-*ll -?要使人了)在懸了=。處連續(xù)，必航/.(U)=/」0)=/(U),即0=1.俄選攆心二】外,根使得義上)題為「8「8》衿的連續(xù)品鼓,15.付論下列函數(shù)在點4-0處的連讀性；⑴了二％腓y=-j在m=U處無定叉，所以y=與在T(,=U處同附，(2)3=tanxI.tanH,0WhH丁,-tanJr.-](工<U,由于/*(0)=limIUmr|=lin)tftnt=0,iaHI-b I-|l*f-(0)=JlulLun二一limtanx=0?.iTKJ(0)=|。處連續(xù)，值「工,=*-o,a宥_/；(())=/一〔。)二八。)，所以KJ(0)=|。處連續(xù)，一T，_1J=T解由于4不是域弁段函數(shù)的分界點，散有l(wèi)i加竽=1=1且JB)二?-uLl—\14工’一】 ,\2r-11之“所以N=i 在X,=U姓隹越.2? X-y

工20,工20,*<6解由于/?(0)==Lm(x1+2)=2./.(0)=1皿。=%印?一A(0)-啊—*￡(0)工用r所以3=1' 上’。'在工口=。處同慚.[0, JE<01?.長沙馬王堆一號慕于1972年8月出土.測整尸體“C含量為整78%,求尸體的埋葬年代.解根據(jù)敕材P33的例4所建立的,'C含境的函數(shù)模型p=〃”r*7w,其中也是尸體當(dāng)初死亡時“C的含虻"為尸體的死亡年代”為f時的“C含量,所以有07gp0土中“已74/誨%兩邊取白然對數(shù)?得 In().76=-0.0001209f.于是__ln_0+7? ?于是__ln_0+7? ?001)()7209-0.24840.000J209^205上聚聚」?.整和萬的應(yīng)展4礎(chǔ)所以尸體已埋戴的2(155年.17證明方程在I和2之間至少存在一々實推,分析證明某方程在某區(qū)間內(nèi)存在實根的問題，應(yīng)該用介僮定理峋推他，即報附存在定理關(guān)被是姜找到一個輔岫函數(shù)3="工)，討查它是否滿足年花的余件，刀要犯所瞧的方程變明為右端為。的形式，那么左端的做板式就.是要我的林財麗皴.證將所給方程變形為i—3上=]=0,伴輔助科數(shù)y=/—3,r一1.因為拉函敷最初等的數(shù)，且走區(qū)間[1,2]上亦定義，所低它在閉區(qū)間q,2]上連續(xù)./(1)=1-3-1=-3<O,/(2)=2J-3X2-l=i>0.可見的觸〃;r)=r」TrT璃尾推沖狗事件.于是南護(hù)淪可抽，在開出間門，2)內(nèi)差少存注一小內(nèi)晟聿.曼/《外士口，即U- —J30,這就證明T方程/一3片-i=。衣<],工)內(nèi)至獷存在一個次樵1?利用過續(xù)唱數(shù)求畿陽的法則求F列報限：⑴lim[cos工-gmi"上。L J!+1」分期函數(shù)八出三8$上一1m42是初等函數(shù)…三。是)q)有定義的一― i49

點.所以/Jr）在#=o處連續(xù)，可根據(jù)連續(xù)函數(shù)極限的法則求極限.解.. ln(j-+I)kmcn?r-n—,呻I j+IJ,. ]lti(J'+1)干11.IJ1ODSJ-lim --r^lmiln(.r-t1)lim(j-111 {vCr- {vCr-1—2)(-/j-1+2)lim , . 」7(r5)(a/j—1+2)■-□⑵limI萬士lim。-lintftrclitn■/[_(■十](3)lim?r分析函數(shù)八*）二旺\二2在h=5處不連縫.但在『f5的過程中，因為工爐5,所以可用分母有理化的方法消去極限為零的公因式.化為在點工二5連續(xù)的函數(shù)，而后應(yīng)用連續(xù)函數(shù)取極限的法則求極限.…工tanj1—cos(]十舌)]舶l(fā)imaiC4ri!-y_uint-on^"+加50-AnwinJTxt\n亍-cos(:+4 14金)]=arcsia(-1)--y.草草二靠瀕枳/軸直摸蕓咄——極暇1.人-amd,tx<U.以設(shè)=y及(常數(shù))，i=0.問上為何佚時，函理：八丁)在具定義城內(nèi)xsin—+1,jr>0,工連爆?分析函敷，(1)是分段洪數(shù)，分界點為1=0,除分界點外，算命不同于區(qū)間上的曲鼓均為劃等昌奧，因而在它所之北的區(qū)間上均為連續(xù)用數(shù)，因而鬲藪/(5)在其定義區(qū)闿1-3,+81內(nèi)是否連縫,歸結(jié)于/Q)在分界點工=0處是否連線.解片論函數(shù)/(6=1.注意在證明地糕中,因為wfiT舒內(nèi)是無客小支"in工雖然不存再極6=1.注意在證明地糕中,因為wfiT舒內(nèi)是無客小支"in工雖然不存再極X移，俚sin；是有累變量r即sin—W1.所以lint工4工工-0. 1 i, 工因為/-(。)=lim—sinjc=lim-=11-t -rr—a ..v if4(0)—hn】'Hain—+]1—limjrsin+lim1=1,

lu'LJ」lM-re'又 /U))5.柒長j(*)在分界點_r=0處旌續(xù)，則填lini/(,t)=lim/(jr)=〃0)=￡,肝以

].根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義證明；分所要求知定義征明.就應(yīng)讀按質(zhì)導(dǎo)放定義的三個步舞來證一證令3—"**)=『，住取*E{—?，十8］，蛤*—個增〉心』,求得A*-f(r+Aj-)/(x)-(x+^y-=7<z_|aj7<?T(ji-Di-'(^,r)21…十(as”、*="""-'+"("-1)工"2A.r+…+{△1}"-',.所以y'=hm +n(w_I)Ar+十十(心工)Jh-1]=m11rk-HJZi-T注費對于較締單的網(wǎng)題，可不完全技圉求導(dǎo)數(shù)的三十步第未作?可方接寫出/=K黑=5K工f中73山一事△工 出l? △工67第三章xt文止國<與局部改定量怯11向題《2)(cosr)'="sin67第三章xt文止國<與局部改定量怯11向題注意'①證明中使用了公式UJ3.4-tx&H==2sin1；，3.2”.②因為SLR才在點七斑連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)求極限的法則，所以Umsin/工4-2工)—sinlitn(丁十烏9)-nin工.AiDIL/ Z/J③使用了公式lim變1-1.JrFT⑴仕)’M?l力v￡分析奪尸一人工}一上,佳聃*fR,給工一個增量3工，則通檢,有地*35于是

口+4萬=口+4萬=/（j+A工）一〃r）=r 1 ..△號u'--tim—； —hm7———一j-.d.f*安+七?△XI0.U.'F 2注意當(dāng)Ar-。時，工固定不動t所以”(才)是常教，又因為后數(shù)鄲Q)在上可導(dǎo),所以1/(x)在點]連續(xù)，根據(jù)連坎性定義21因為Aj-*0就Aw—O,于是有第-篇此修內(nèi)容第-篇此修內(nèi)容68注意①I軻用公式=Ind,將lim世向極限著式Gmft+1V=Ar-n△工 r-??l工J方向變形，其中作了變形白”"(=5,部1T=臥1中&]②因為InH在重二七處娃續(xù),再以巾連續(xù)的效展板照的法則+有2.用史義討論葩藁,<工）=I+I在京分析當(dāng)工>0射］（工）=I工I+1二工+r-（1處的逐域性和可導(dǎo)性.JT+I.當(dāng)工=0時JQ）=匕所以〃工）是分段函數(shù).分界點為*=*于是討論f{x）在懸上40處的連嫉性時要用到更理：左右板隆存在且利署,井且第十運志處的函*:值；當(dāng)討論晶裝在分界點處的可導(dǎo)姓時要用到定理：左右導(dǎo)敲存在旦相等解將人工》寫成分發(fā)后抵，即4一1*1,IV0.（1）詁論晶敷在點上=。處的連續(xù)性.當(dāng)工>。時，木梃取為f.(01七lim/(.r)父lim(x41)=L當(dāng)#<n時，/機網(wǎng)為/_h（（?）所以函羲在工M。處連續(xù)，CO)二liniJHID-L京燕-/-?*)=/((1)=L（2）時鐐函數(shù)在“工=。處樹可尋性.當(dāng)1>0時，給j=C一個增量Aw>0」于是否導(dǎo)敷為/：（0）=1向黑XT3上-(04At)+I1△h當(dāng)工<0時，的-(04At)+I1△hft(0)=Lim—limAr^-O" 2T'因為f［（0）戶/；（Q）,所以的教/（J）花點J-=0處不可導(dǎo).可見，的敗，（h）=Ij|+1在點工=0處連域但不可導(dǎo).3.已知加物線>=儲+3.已知加物線>=儲+21+3,（1）乘輒楊蛭把點M￡2,l】）處林如姚才程將修戰(zhàn)才程.（2）撤物Q上部一忐處的初戰(zhàn)斗疔于直散y--2M.分析點啾KJL蝮方和為了一?三乂工-工.），/MKh.,*）處如級的斜K*?『'（工/,點Md1.，、,）處的法畿的鼾率為K**■亡.解⑴K如=廣（2）=（xJ+2z+3） Q才+2）|」7=6.法鰻斜率為k*三-!所以切我方雙為jj-11-6（j-2）F化崎得 6j—>-［-0.法媒方槎的,v-11=-9（*-2）.化防將 j+6、—68—0.（2）談平行于巴知直線的切線與拋物微的交點為（.「了）,利由通設(shè)如此切線的斜率為-2,所職令/'（不）=工r+2=-2,解壽±--2.代入趣物效方衽,得y不3,所以在楣物蛙,上點［-2.3）處的切線平行于直現(xiàn)y=-2工.4,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)V,i,J-cut*x.解*'=(Jj-cosJ?P=Jr*”-(cos浦'=+sinx.y片*inj*+Inj+2.解y'=fain上+in￡?2)'-u?a*i—,.r第-藁汕幡內(nèi)容.v— +In第-藁汕幡內(nèi)容錯解分析1力尤是常數(shù)，不是變黃，所斑（出五）’錯解$*~(#h+In工廠"(錯解分析1力尤是常數(shù)，不是變黃，所斑（出五）’70y?？诳诠?+at+…+口…r1?！?fy'=界仃*j~i+-at(n-I)K…+…+2口/ifq….v=#'(3重十5).解yf=；V(3w+5)r-(3tj+5,rJ)"-12y+15，Vn『hlHk解/={1)'In*+J(EI廠=2/1。*+3二z(21uT+1).(7)y-wsiiixln上分析三個閃數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù).可組合為兩個因數(shù)乘積的形式，胸次使用索粗求導(dǎo)數(shù)的公式.解A'-卜工端口H）L1范］/=《xsin工”ln4+工后皿*（1口.「）”=（而X+_rcr審r）］nx-+疝口.r.注意（NVW}=［（修口）蟆/-+41暫濾/二uVW4北下'切*.研/,所以 （以口IS）—U中舊+W1"+VUW"

(IDy丁Cnwta旦啟齊1)-(12)y二(,tTIn2)1碣了.解y"=1(jti-hi2)log?jr］'=1*』4pL>JIt』(13)j；=sec工tanj.My'=Gecxum#''(瑪￡1一皿工十勺［m*二］，%包1COSN/ flOS,JF -COS3J：或『'=<secjrtsnJt)'-(seejf)tanjt+see^unx，二sec工+seeq皿聿二文xfcan1j+sec2j).t14)y=escjccot上.，―/aum』丫—一漸【『文?2ntM■'r3nj;__I+cmzj， \sin1Jt/ sin1,r 端t/工C16)y=Jr1In_rcomh.解》'=(/In工工)'=(l)'lnrcost十(b?/}N'cosH+(00S1'In1二2r\ntcoh1*xeosx-,r'sinrln工=x(21n,TeosJ-+cosx--rsinjrltijt),

5,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)iU)>=v1一工錯解錯解錯解分析錯解分析3=/T7?是』的復(fù)合函數(shù)，中間變量現(xiàn)=1此解鉗在只求出￥對中間變殳■的導(dǎo)數(shù)，丟掉了中間變晶”二1一工工對源的導(dǎo)致.注意①解一是直接會用求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)焦?，酢二是從注意①解一是直接會用求?fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)焦?，酢二是從外向里層層求?每次求出外層變量對里層變量的導(dǎo)數(shù)，乘以里層變鼠對鼻的導(dǎo)數(shù)，常常使用解.-葬一篇興修內(nèi)尋②在求V=4的導(dǎo)數(shù)時可以將寫成耳函數(shù)的格式儲而后求導(dǎo)數(shù).但（O,='應(yīng)詼接公式記憶,對于中間座量也建國.即了工心.H、.=2/7擊.（2'.'y=hsinr.解v=。涵力j）-要上=COTJ-vinj72~y-8s(上'+土十I).解 y'--sin(j：14h+1)(，+jt+I)，=-(2j-+1)sin(M+芷41).y=(3,r2-&鼻+1)’.解/=5(3￡-6*+1)*(3--6m+1/=3。(工-1)(3--6工+1)*,(5),『Jn(jr4八二刀.

錯解分析結(jié)果雖然是正確的,但第一個等號后面的式子寫法是錯的，情荏客寫下中間變量子對H的導(dǎo)致；，因為［皿宏）‘井不表示0口以對過的導(dǎo)數(shù)（?二屈，而是表示夏令函數(shù)mn左對立的曾JK,后面再乘以（右）二9僦是非余的.i|…乂F卜備（吟）、叁?圖’ |注意以上情識是學(xué)生最易發(fā)生的錯諛-（9）y-Ln|I+2|*分析遇到維對值符號,一般采用零點區(qū)分法劃定r的他（E,去掉葩時值符號,將原來的函數(shù)寫成分段函數(shù)『而后分別求導(dǎo)致解顯然解顯然了二代工）InCx+2),Jr>-2i1n(—2-Jr)<—2.當(dāng)N>-zot.*‘二+2)r=—k當(dāng)JT《-2時ijf'=[ln(-當(dāng)JT《-2時ijf'=[ln(-2-----2^7綜上，『一［川』』2|］'=…二（x于2）.(10)y=sin(sinjc),解y'=posfsin1r)(4n.r)'=ms.±cns(wiTijc.).{11)y-arcsiM1-2”Myr=[fiicauC1—2i)]’=/ .1.一——-2j)'=-,^ =71-(1—2hP vCt-t2112))-1x(h+(/-J；.解t'=[ln(x+ -~a)J'= 1,Ax+?上’-螳’)工-4E-a2(13)y-arcco5/x.y'=(arccosV<x)'=門_He+1)(上+2》,F3)QW分析或承敷為連素、逢膾、蒙方、開方的方式，斫以應(yīng)錢用索利教求導(dǎo)法.解兩邊取時塾，得Iny=-g-[in(jt+1)4-ln(x+2^—tn(h+3)-ln(x+4)]P兩迦號H來導(dǎo)數(shù),得J_/Q+l)G+2"1 1 ] 2、(x+3)(j+4)\j+1x+2 H+3ji4/

解兩邊取好救，得Iny--y[In（1+sm*解兩邊取好救，得Iny--y[In（1+sm*）ln（1-sinz）1,兩邊對工束尋歙，得yf】「@十點0：1)# (1-sin)*1-sinjf3I]Iaiii,r十oot>x\_ 21—5口jr/3cci!_r1所以.￥(IS)j=(11jt)\分析速禹蒙是幕巖后款.可以用和舒教求導(dǎo)法，也可以用公式#=M一接下面的方法來作./=[u+]廠r=（丁=小田”工，[aln(L十工)]'（1+工）'[ln（1+比）+（19）>=（Inx）J.Myf=（e遍2）」=1jFHnlnjr）'= "（Inin*+沖工）\ Inx工（Injt『（inln.w+J,.據(jù)測定，某種第葡的布敷了醯片間“天)畸啜it規(guī)律為y=400武巾，束(1)開后時的仙函個班;(2)第5天的繁枝連魔.解(1)*v=400^口可知.當(dāng):二Q時了二400,所以開蠟時的創(chuàng)黃個數(shù)為400―(2)因為了,=0.17x400Mr"e,所以第§天的繁疸途度為了‘I”,=U.17x400Xd七159(個/天)，.由方程*—工』1口.￥求h分析這是由二元方程FJ,3)=口確定瞪函數(shù)3=/(.T)的類型.應(yīng)使用隱函數(shù)求導(dǎo)法，兩端對N求導(dǎo)敷時應(yīng)注意尸是X的函數(shù).解方程兩端計H求導(dǎo)數(shù)，得V二]十二y所以 晨■*.宿求下列方程所般定的隱函數(shù)y=/(.r)在給定點處的導(dǎo)致:(1)y3+y一2工=0,(1J).解方程前端對］求導(dǎo)數(shù)，有’+2加’-2=0.解得/"昌”，即省/"小=|jj?十工［ jyt2yum3(2)y-r+siny=0.(0,CH解方程兩端對工求導(dǎo)數(shù),看baytow解得y=I卜:；9'即有》’匕?⑶y=.rlny+It<0J).baytowy'==1口3+h*—十0,3=0-**—念，即=0-(4)*+In3=1M方程兩端對工求導(dǎo)數(shù)，有■得八一忐『即有也…-丹9.(1)驗證函數(shù)￥但也+win1滿足/一步"4心二()4(3)驗證函數(shù)N二八-7滿足關(guān)系式J/+1-0.分析包含的等式稱為微分方程，滿足微分方程的函數(shù)y二/(二)稱為微分方程的解，關(guān)于澈分方程問題將在第九章中介綃，此處僅作為求高階導(dǎo)數(shù)的好習(xí)?因為激分方程中包含下斗’和，.應(yīng)該求用/和/，而后將以，’和/代人微分方程的左端，檢驗代入后是否等F方程的右蟠.證(I)國為，'二(cosCJ+等mcf)'r(-Sjn屋)—+(cosa)E「—(<ca&e，-sine*)eJ?^*=［(cose'-sineJ)e*Y二：(一Sin/九*- 4-I(3/-sinE),所以y"~y+y^1=-cJl(costeJ+sin電］)+<00毋『+sin=0'故函數(shù).y=件e1十sineJ滿足關(guān)系式/-,'+3/=仇Q)因為『=B小Q--父'=」二』.2 '/l.r.-75s_[2._y+n_ ]『 -17-Jy一~~~"?(2j-jV'所以 丁，『十i=/E.—工一—*—二[一+i=oj京二?尸故函數(shù)J工2二1南足美系式y(tǒng)y+1=m1。求下列函數(shù)的鞘階肆數(shù)：(0y工J1.解因為y'=3/,了’=集"，/=由此歸納知y['J』3"/\(2)>=?r.解困為/=晨e*/,n，『"廣=mi'q,，由此可知y->:aJ(In?)".>=cos±.■累了，=.疝口比?『=-cosJT，^"=sin*,y⑷=tttejj,不蹴看出,再作下去又會循環(huán)往復(fù)，那么，如何由特殊到一般，號求n階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)公式呢?我幻不魴把88*的各階等數(shù)寫成與?有關(guān)的余弦函數(shù)的法導(dǎo)公式+＞卬=(sinxY=cosx=cos("十4”年由此可舊納出 爐"'-1cos工＞'“=gs卜+號)-y-ln(1*1),-ti-lT. * 1b 11 E 2解困為Y:不戶=五工h'3=ET力7…，由此可知E={_ 3—1”.MIJ(1+x)w1L求下列的數(shù)的強分：(1)v=2,rJ+1*分析求微分有兩種方法：一是先求導(dǎo)數(shù),"再代人撇分公式dj=/dii二是按徽分法則直接求微分,一股用解一，解一dy=>/d才=(2*’+1djc=6m%h.解二dy=d(2xJ+1)=dCijr')+d(l)=2d《/)={2)y=OJtij十Mk十2,解dj=y"d.r=(ppi*j+In.rI2)*d_r=(一n11工中jdx.J=a1(j:2+1)Q>0且日了1)x解因為占'=[女"1+=aJlna(a：1-+1)+2，口，二￡ZJ[InC(1-+1)+2H],所以 dy='ar[kia{jc2+1[*2j1]dx.y=e-1sini.解dx=《亡’占山t)dj=(eJaiii_r+eJcosj?)d,r—e4(3m.e+ctjsx)d.i*(7)y=ros2r*Mdv-(cue'm)ckr--2flinxctwxdj--sin21rdl.(g》y-qh?才、.解d9—(/r-iT1)djf=—2]泮工-2/j-+jv=sin(,rz=1).第d.v=(Kin(.rJ-I)]/d.r=2jtcos(j1-1)dx*y- J17+1).解一因為「D]'-2cos<xat1)[costJT2?D]'=-2<ns(x2-1)sin(x2+1)(工上十1)J--4,rsin(十1)cd3(j；2+1)=-2」加門2(t1+1),所以 fly 2rsin2(x1+1)<Jjtl*flj-j-C1十f0Q(1十 14 a,1\ /i蹄一d》一? 2-11 "Jd工=一亍5e2(工t1L4.riJj：--2,rsin2Cjr2+l)d工(IDy=In卜in[I.(12)y=解dy二出//)t=產(chǎn)忒產(chǎn))+工?！范?￡C”dr+2jJeiJd>=2reIjL(J+t)H/.12-已如一乎海圓算的內(nèi)役為10cmJ卜林為10.1cm.求(1)圓環(huán)面標(biāo)的精闡HL⑵國球面都妁近根值.解(1)圓環(huán)的面枳S、)近1/一/),其中。為外往，d為內(nèi)脛.所說圜然面梆的鞘卻愧其s-?產(chǎn)-103-^4(10+0.1)1-10M=；7rx2.01=0.5025x(ctn").⑵因為用的面粒為$=半，D為直徑品=什理叼=/肛所以屬環(huán)的近褪面積為S=品=嘉-AD=yirDiD,因為D=10(cm)tAD=0.l(cm),所以S七x10x0.1f1.5708(5?).

13.求下列各式的近地使：（】）"而分析現(xiàn)察值v4.（H的形式.不雅才出,它是晶數(shù)了=/（j）=/；在工三4.01處的值.因此內(nèi)|人輔的函數(shù)y=/J,并且取與-4,A,r=（LUL利用公式『⑺?用工）+，，工*3.取工0=4pAi-0.01,工q+△工-y工由+yf-A*所以即“+甥,學(xué)"皿所以即“+甥,學(xué)"皿（2）sin30"30：分析將值sin31r3力'培作碼數(shù)y=sin工在工=30*31）'處的函教住.暢題=30*11-30;蚪血注痣?導(dǎo)白金灰（而口筵）’一工5上是位,用弧度作用位的條件下成立的，所或疊時工的單檢進(jìn)行轉(zhuǎn)換.7T其7T其05M嬴避峰向出避峰向出+(sin所以sin30*30'=八九）+廣（工0）△才叫sinjc+(sin,3rq元…K■s，tl6+bMbX360?=0.5072.

司41■L下列函數(shù)在所給區(qū)間上是杳滿足拉格朗日中值定離的條件？如滿足,求出符合定理的內(nèi)點fj⑴/（j）= -2x41」T.0］.錯解因為函數(shù)/Q）=產(chǎn)-2］*1在區(qū)間［-】，0］上連續(xù).在開區(qū)間C-1M）內(nèi)可導(dǎo)，所以至少存在一個內(nèi)點F￡（—L0）,使得，（l）=J-21+1滿足拉格朗H定理的條件.律解分析謖解法存在兩個鉗誤：第一.未說出/（1）在用區(qū)間［-1,0］上連續(xù)和在開區(qū)間（-1,0）內(nèi)可導(dǎo)的理由：第二，未求出內(nèi)點已只是按定理的程式敘述了一遍.未作解題的實質(zhì)性工作.這是初學(xué)者易犯的錯誤分析因為函數(shù)fQ）=/-2金+1是初等函數(shù).在閉區(qū)間L—1,0］上有定義，所以在閉區(qū)間［-1,0］上連續(xù)一又因?qū)Ш瘮?shù)/'（工）=3/-2也是初等函數(shù)，在1-1?。┥嫌卸x,所以函數(shù)在開區(qū)間（-1,0）內(nèi)可導(dǎo)，故此函數(shù)在區(qū)間［-1E］上橫足拉格朗日中值定理的條件因而在（-1,0）內(nèi)至少存在一點“使得/‘（?》='叱一$（*、井由此求出f.解求得f'仁）=3/-2,根據(jù)以上分析，故在f-I.g內(nèi)至少存在一點1使得即解得 f=土#，格I*孽舍夫，所以所求內(nèi)點為 e=-中，（2），"）二砂/0,加2］.分析因為函數(shù)是初等函數(shù)，并且在區(qū)間［0,M2］上有定義.所以在團(tuán)區(qū)間［（Mn2］上連續(xù)也是初等函敷，在（0,E2）上有定義,所■數(shù)幾匯）氣,在開區(qū)間（口112）內(nèi)可導(dǎo)，因此，此函數(shù)在區(qū)間9加2］上滿足拉格朗H中值定理的條件.因而在（0,卅2）內(nèi)至少存在一點機使得/'（擰=返?-上巴），并由此求出?.力一應(yīng)斛求得/'（］）=一,根據(jù)以匕分析，故在開區(qū)間（0,后2）內(nèi)至少存在一點f(b)4fP

h-n?一產(chǎn)■廣一1e-"ET2-F，解傅所以所求內(nèi)點為$=-InIn21解傅所以所求內(nèi)點為S=-UIn2，2.證明不等式:分析聘待證不等式虹形為sin或一2>0t構(gòu)造輔助函數(shù)，利陽單璃性或凹凸性幕得出結(jié)果一解構(gòu)造輔助函數(shù)義工）=4口5-1因為1TI=2^2~k/*（*）=-^Sjrty<0<0<]〈兀），所以的敦/（上）的曲畿，是凸弧，又因為，（。）三，（兀）二心健在（o.a內(nèi)〃工）>0,所以(工、才SII1方-＞一￡n3.求F列極限:⑴Inn--解一lim--7一(工-2)5*+4IZr)j,『一，、_urn 二—〉 =+442M)=4+4+4=12,十一*2 wt'一上 了一二注意達(dá)法則.,U.jt186 31?3Inb_7mL j、hm t*-=hju-,-=12.jr-JX-￡ .7]比較可知，解二比解一筒單，當(dāng)能使用洛必達(dá)法則耐，盡量使用將必⑵曲需差解一碗膽爭=1調(diào)半￡?3_,算1r-0⑶1】axlu￡]sinjt3紀(jì)二lim面門2工廠3工,.

受廠UlSk-Tm212-!?―二3工3*理一新sin2HI 2斕2工_21吧儂"2哪一1曾贏[五一!氏癥京=可<而寶擊=3?(3)③中口工JT^fl工解Emr-*B工一就口解Emr-*B工一就口X1-COSJ-,.Inh

,.Inh

lim ；4>vIn1lini—錯解也 1 .1*1F3 j-牝鶯im—j—=Hm*_i=】錯解也 1 .1*1F3 j-牝鶯im—j—=Hm*_i=】imz—jIW』 J-**JJ： 工lim3/°f/E錯解分析共中l(wèi)im3二=』「是錯誤的.因為+s時戶一的極4?i3#llEd工限不存在.故不能使用商的轍限法則解因為I一48時，3/f+8,而無窮大的倒數(shù)是無窮小，故在上面的推演中,可直接寫作limt;0……3j此前的推導(dǎo)不變..TJHlini-13/26記

lim-j-tim

?1H史』一十K4.求F別極限事(t)limre^.4

』川分析當(dāng).r-0.時1—*81疇或巳7—*8,域當(dāng)工-*0"時為O,-00X3 8型不定式，可將r用俐效轉(zhuǎn)換到命學(xué)中.從而杵由0-8轉(zhuǎn)換為7r智，而居便用洛必達(dá)法則Il巴I**QAK

limjtc~二lim-y-=lim

t 4L *+“TI 丁1白__ .i0JFJime-=+—(2)lim才二.10*解一UmJ=lime,l,Jlien孑jrlnxL0Ji?-II注意科1荊用了心或工=/』，又利用了迷埃函轂取極限的親則，在寫法上量感甯目，但在指敢住置推演極限，就很累臂.任其他教材中，讀者會通到解一的另一計德達(dá)型式.解二hrnt-limexp!,rInW-?xpx\=exp/HJrU 1F* ，T 1 二7解三令小二1,兩邊腮時歌，得In>—Jh1+兩邊取設(shè)限，有l(wèi)imIny=lim.rln1r?TOC\o"1-5"\h\zJ? _*j—*0 j!-n即 Inlimy=limrln.r=Im----titn〔一工)=0,J J ,+ 1 *-r-II J-<? Jtf=L.1--口J所砍 limy=lim二『二LJ 5A7 .1--W(3)lim(1+sin.)+.Ffu解令》=f［文)兄兩邊取時數(shù)，捋Iny~yln(lIsin』).兩兼取極限，搏JimInv=JimInv=Hm上一0 arln(1?疝」jt)即M(鳴￥即M(鳴￥卜忸吟g上啊(X?XlimctM工mF1+sin3lim(1+sinj-)

L0所以limy=lim(1+sinx)^-c1=e,J-*O所以5.陵逆根值lim三絲三存在，但潘必達(dá)注用大般.**C?工解]ini三斗於三-lim(1+ =Lim1+lim-ecs第=LL*%X Jf廠…LIOOH謔明此楨限是存在眄.注尊在上逑推詈中,當(dāng)彳~+8時,工f口，而co^.r的極限雖感不存在.但因|gs*[<1,而有界更擊與無窮小景的柬貌㈢為無窮小貴,所以lim-cosjc^0.J.■FJT當(dāng)x—*|8時.分均:為+8。分子中第一項M為十33第二碰姒.然板橇不存在，但1gs 是有界交匕有撲變量號無窮大^之和也為無窮大量，所以者工r+8時比值衛(wèi)士詈/的型不定式,用洛心達(dá)浸則戰(zhàn)一下:ut>I *汨lim-—--^=hm(1-sinjt),￡1+0 .jT' J*小卸苒往下作桃行不遹了，逵是因為當(dāng)工一18時，4n工的極限不再在被添站達(dá)法則失敗.注意一黑說來，求“畜蟹或需”型不足式時用海必達(dá)法則比較簡單，當(dāng)洛必達(dá)法則失蚊時.可改用其他方法.6一求F列函數(shù)的單詢區(qū)間、極值點和極值：1yd-AaI2x+3.分Q確定函數(shù)的定義域，計算導(dǎo)數(shù),求出函數(shù)的駐點，不可導(dǎo)點，將這些點由小到大.從左到右，插入定義域內(nèi)，分出若干個子區(qū)間,列表討論導(dǎo)敷在各子區(qū)間內(nèi)的符琲，風(fēng)斷函數(shù)的增減性,從而求解.解由于 丁二一"+2=-2(1-1)，令/=-2(*-1)=0,求得駐點『=1*列表討詫如下：3~(-?,1)'1[1,+E)消><■0—F 尸極大值4、由表可知.函數(shù)在(-8,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,十g｝內(nèi)單調(diào)遞減.工=1為板大值點.、”大=4.解求得『二1十二=白士令了—口^二0,解得駐點為打二-拓.不可導(dǎo)點為*3二0,列表討論如卜：(-w,-*4)-n(-J4.0)(1S,+?w)*0—X4yF極大值-6;-/1614X/當(dāng)J:<-v4時,y>0,y尸：當(dāng)一拓<#<0時，/<00、：當(dāng)1>0時Q「>0?5/.由我可知.函數(shù)在（-8.-v4）U（0,+8）單調(diào)遞增，在（-石,行單網(wǎng)通減，極大值點為，二便大一方及（3）.￥=，丁一言之丁.落求得Nr=1— L」令￥二不一?工=0,解制=點j=1■不可gHVJ VJ特點為J=0,列表討論如下：(-00,0)Q(0,1)1(1,*R)y+X—0+y俄大通04極小值-y尸當(dāng)工<0時q'AOt/%當(dāng) 時，y當(dāng)J->1時,_V）仇yA由俊可知.函數(shù)在（。，1）上單周遞減，在《-oofO）U（l,48）單圈遞增，極大值點（不可導(dǎo)點）為工上明極小值點次==—等.7.把邊長為仃的正方形鐵皮,四由各剪去一個大小相同的小正方形.而后把四邊折起.做成一個無蓋方盒.同剪掉的小正方形的邊長為多大時，方盒的容積最大？分析這是利用導(dǎo)致求最值的應(yīng)用問題.耨題的排舞是；首先建立容積了與小正方形邊長上之間的函數(shù)關(guān)系寫出定義域;其次利用判刑法則J或口求極值*最后，在實際問題中，若駐點只有一個，則極小值就是最小值.概大值就是最大值

解或剪去的小正方形的邊民為九容積為叫則V-（a-工丁產(chǎn)￡=4―-4a.r2十也N工， 0<工<告*a令y―網(wǎng)工—予“[-*）=u,得駐點與二京舍去），工”專卜一*）可知，當(dāng)?！垂?lt;菅時’>0,卜一*）可知，當(dāng)?！垂?lt;菅時’>0,當(dāng)總<工<探時，F(xiàn)'<k因此f=高為極大值點.又因為在反映實除問題的函數(shù)定義域內(nèi)只有一個駐點，所以極大值點就是最大值點，極大值就是最大值.于是，當(dāng)小正方形的邊長為2時?方盒的容積最大一注意應(yīng)用判別法則I求極值時.應(yīng)該把導(dǎo)函數(shù)/'（T）表示為網(wǎng)式分解的形式.以便f討論_ru：）在不同區(qū)間內(nèi)的符號.乩把長為/的一象紜料布剪成相箸的赭塊，靠墻圍成一個口寬為”的矩形菜場（題圖4/）.向每塊整料布怎樣同折，才能使圍成的場地面積最大？題圖4題圖4」題因4.2題因4.2解設(shè)闈成的矩形寬為工.面積為5,則有S=苴U上+。）=+4工/o<令$，——4（廣寧）=3得唯f點工=+，等才工勺上時，$'>0;當(dāng)簫>小時.5'<0;所以j=1** 叫手就是最大值點，即當(dāng)圍成的矩形寬為c乎時圍成的T 4場地面積最大.I9一如題圖4,2所示,一燈泡懸桂隹水平桌面的上空，讀者在或面上的視點距燈泡所在