華中科技大學力學系錢勤材料力學MechanicsofMaterialsE-mail：Tel:87543837(O)

第四章彎曲強度材料力學*平面彎曲的概念*梁的載荷及計算簡圖*剪力與彎矩*剪力圖與彎矩圖*剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系*純彎曲梁的正應力*梁的切應力*梁彎曲時的強度計算剪力與彎矩——梁的內(nèi)力上節(jié)回顧

彎曲變形直線變成曲線的變形形式，簡稱彎曲。

梁——外力垂直于桿的軸線，使得桿的軸線由——以彎曲為主要變形的桿件平面彎曲——外力作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，使梁的軸線彎曲后仍在此對稱平面內(nèi)的彎曲變形剪力(FS

)——與橫截面的法向垂直的內(nèi)力

彎矩(M

)——橫截面上的內(nèi)力偶矩剪力與彎矩——梁的內(nèi)力上節(jié)回顧

符號規(guī)定剪力與彎矩——梁的內(nèi)力剪力與彎矩的正負號規(guī)則剪力FS——使截開部分梁段產(chǎn)生順時針方向轉動趨勢者為正；逆時針方向轉動者為負。

FSFS彎矩M——由下轉向上為正(微段向上凹)，反之為負。上節(jié)回顧

實用法則彎矩：剪力與彎矩(外力矩)左順右逆，M為正。剪力：(外力)左上右下，F(xiàn)S為正。上節(jié)回顧

剪力圖和彎矩圖一、剪力方程和彎矩方程二、剪力圖和彎矩圖第四章彎曲強度三、列方程法作剪力圖和彎矩圖四、疊加法作彎矩圖剪力圖和彎矩圖剪力方程一、剪力方程和彎矩方程彎矩方程——剪力隨橫截面變化的函數(shù)表達式——彎矩隨橫截面變化的函數(shù)表達式剪力圖二、剪力圖和彎矩圖彎矩圖2.剪力正值畫在上方，負值畫在下方。做法：1.橫軸表示橫截面位置，縱軸表示剪力或彎矩；；——剪力隨橫截面的變化曲線——彎矩隨橫截面的變化曲線剪力圖和彎矩圖3.彎矩正值畫在下方，負值畫在上方。正值彎矩在受拉邊作剪力圖和彎矩圖的方法：二、剪力圖和彎矩圖

1.列方程法

2.疊加法

3.控制點法剪力圖和彎矩圖三、列方程法作剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖2.列內(nèi)力方程例2

作圖示梁的內(nèi)力圖。解：Mx__ql823.作內(nèi)力圖1.求支反力剪力圖和彎矩圖例3

作圖示梁的內(nèi)力圖。FalFblFxSMxFabl內(nèi)力圖特點：解：2.列內(nèi)力方程3.作內(nèi)力圖1.求支反力FS圖突變，突變值等于集中力大小，M圖轉折。集中力作用截面，例4

作圖示梁的內(nèi)力圖。lMeFxS集中力偶作用截面，M圖突變，突變值等MxlMbelMae內(nèi)力圖特點：解：2.列內(nèi)力方程3.作內(nèi)力圖1.求支反力于集中力偶大小，F(xiàn)S圖不變。作梁的內(nèi)力圖的一般步驟求約束反力截取研究對象受力圖列平衡方程求解內(nèi)力畫內(nèi)力圖靜力平衡方程載荷突變處分段內(nèi)力按正向假設矩心取截面形心內(nèi)力方程圖形應封閉剪力圖和彎矩圖例3已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kNm，求梁的內(nèi)力。解：1）求約束反力：

MA(F)=12FE+M0-8F-2×4q=0FAy=49kN；FE=32kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0FEFx=FAx=0

Fy=FAy+FE-F-4q=0截面法求內(nèi)力

AB段:0x1<4mx1FAy0qFy=FAy-qx1-FS1=0

FS1=49-9x1

M1FS1c22Mc(F)=M1+qx1/2-FAyx1=0

M1=49x1-4.5x1剪力圖和彎矩圖例3已知q=9kN/m，F(xiàn)=45kN，M0=48kNm，求梁的內(nèi)力。2)截面法求內(nèi)力

BC段:4mx2<6mFy=FAy-4q-FS2=0FS2=13kNBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx2FAy0BqM2FS2cMc(F)=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0M2=13x2+72(kNm)

CD段:6mx3<8mx3FAy0BqCM0M3FS3c

DE段:8mx4<12mx4FAy0BqCM0FDM4FS4cFS3=13kN;M3=13x3+24(kNm)FS4=-32kN;M4=384-32x4(kNm)剪力圖和彎矩圖取右邊部分如何?DE段:8mx4<12mBAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEx4FAy0BqCM0FDFS4=-FE=-32kNM4=FE(12-x4)=384-32x4DE段:8mx4<12mFS4=-32kN;M4=384-32x4(kNm)FEM4FS4c0x4M4FS4c內(nèi)力同樣要按正向假設!結果應當相同。可以用于驗算。剪力圖和彎矩圖BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFE分段處的剪力彎矩值：x1=0:FSA=49；MA=0內(nèi)力方程:AB段:0x<4mFS1=49-9x1;M1=49x1-4.5x1BC段:4mx<6mFS2=13;M2=13x2+72FS3=13;M3=13x3+24FS4=-32;M4=384-32x42CD段:6mx<8mDE段:8mx<12mx4=8:FSD=-32；MD=128x2=4:FSB=13；MB=124x3=6:FSC=13；MC=102x36:MC150x48:FSD13注意：集中力(力偶)作用處左右二側FS(M)不同。剪力圖和彎矩圖BAM0Fq4m4m2m2mxCDEFAyFEFS/kNx-+491332+M/kNmBACDEx124128150剪力、彎矩圖：分段處的剪力彎矩值：x1=0:FSA=49；MA=0x4=8:FSD=-32；MD=128x2=4:FSB=13；MB=124x3=6:FSC=13；MC=102x36:MC150x48:FSD13注意：C、D處左右二側M、FS之差等于該處的集中力偶、集中力。剪力圖和彎矩圖四、疊加法作彎矩圖可見：

剪力方程和彎矩方程都是載荷F、q和Me的線性函數(shù)剪力圖和彎矩圖四、疊加法作彎矩圖疊加原理：

由幾個外力同時作用時所引起的構件內(nèi)的某一參數(shù)

（內(nèi)力、應力或位移等）

由各個外力單獨作用時所引起的構件內(nèi)的該一參數(shù)

的矢量和或代數(shù)和適用條件：小變形情況剪力圖和彎矩圖例5

試用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖解：

1.作出F單獨作用時的彎矩圖

2.作出Me單獨作用時的彎矩圖

3.疊加上述兩圖，得到F和Me同時作用時的彎矩圖Fl14Fl14Fl14Fl18例6

試用疊加法作圖示簡支梁的彎矩圖解：

1.作出q單獨作用時的彎矩圖

2.作出Me單獨作用時的彎矩圖

3.疊加上述兩圖ql182ql182ql182ql91282第四章彎曲強度剪力、彎矩和分布載荷集度間

的微分關系一、FS、M和q之間的微分關系二、突變條件三、控制點法作剪力圖和彎矩圖一、FS、M和q之間的微分關系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系規(guī)定：q↑為

+取微段dx為研究對象由Fy=0：得到)M(x)F(xSM(x)+dM(x)F(x)+dF(x)SS由MC=0：忽略二階微量，得到)M(x)F(xSM(x)+dM(x)F(x)+dF(x)SS一、FS、M和q之間的微分關系剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系即：彎矩二分布載荷集度彎矩一力剪

由此得到

x截面上的剪力對x的一階導數(shù)

x截面上的分布載荷集度一、FS、M和q之間的微分關系—梁的平衡微分方程剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系

彎矩圖凹凸性取決于該截面處的分布載荷集度彎矩圖切線斜率力剪

剪力圖上x截面處的切線斜率

該截面處的分布載荷集度即：由此得到一、FS、M和q之間的微分關系—梁的平衡微分方程剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系微分關系對應表q(x)=0q(x)=q

=qx

=0dF(x)

dx=

qq

>0q

<0斜直線斜直線水平線Fx常量=F

=dM(x)

dx=qd

M(x)

dx22q

>0q<0F>0F

=0F

<0水平線斜直線斜直線拋物線極小值拋物線極大值MxM圖q圖F

圖常量

SSdF

(x)dxSSSSSS剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系二、突變條件qxFxMxM圖q圖F

圖FFFFSSMeMeMeMe突變條件對應表剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系三、控制點法作剪力圖和彎矩圖剪力、彎矩和分布載荷集度間的微分關系任一段梁上，剪力增量等于q圖的面積，

彎矩增量等于剪力圖的面積。

考慮任一段梁(AB段)，把平衡微分方程在這段梁上積分例7

試作圖示外伸梁的FS和M圖，求內(nèi)力最大值。解：1.求支反力2.作FS圖3.作M圖GF

(kN)S202030解：4.求AD段的極值彎矩(1)求極值彎矩的位置解析法：令得到幾何法：由剪力圖：得到例7

試作圖示外伸梁的FS和M圖，求內(nèi)力最大值。GF

(kN)S202030解：(2)求極值彎矩的數(shù)值例7

試作圖示外伸梁的FS和M圖，求內(nèi)力最大值。4.求AD段的極值彎矩GF

(kN)S202030解：5.求梁的和例7

試作圖示外伸梁的FS和M圖，求內(nèi)力最大值。GF

(kN)S202030控制點法畫剪力圖與彎矩圖主要步驟：根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制點(面)。應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩數(shù)值(假定剪力和彎矩都為正方向)。建立FS一x和M一x坐標系，并將控制點(面)上的剪力和彎矩值標在相應的坐標系中。

應用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。

剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

例9qBADa4aqaFAyFBy梁由一個固定鉸支座和一個可動鉸支座所支承，但是梁的一端向外伸出，這種梁稱為外伸梁(overhangingbeam)。梁的受力以及各部分尺寸均示于圖中。

試畫出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對值的最大值。

解：1．確定約束力根據(jù)梁的整體平衡，由

求得A、F

二處的約束力剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

qBADa4aqaFAyFByCOxFSOxM解：2．確定控制面由于AB段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個截面為控制面，約束力FBy右側的C截面，以及集中力qa左側的D截面，也都是控制面。

3．建立坐標系建立FS－x和M－x坐標系

剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

qaqBADa4aFAyFByOxFSOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2解：4．確定控制面上的剪力和彎矩值，并將其標在FS－x和M－x坐標系中。剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

qaqBADa4aFAyFByOxFSOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2

5．根據(jù)微分關系連圖線對于剪力圖：在AB段，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線，于是連接a、b兩點，即得這一段的剪力圖；在CD段，因無分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸的直線，由連接c、d二點而得，或者由其中任一點作平行于x軸的直線而得。

剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

qBADa4aqaFAyFByOxFSOxM

5．根據(jù)微分關系連圖線對于彎矩圖：在AB段，因有均布載荷作用，圖形為二次拋物線。又因為q向下為負，彎矩圖為凸向M坐標正方向的拋物線。于是，AB段內(nèi)彎矩圖的形狀便大致確定。為了確定曲線的位置，除AB段上兩個控制面上彎矩數(shù)值外，還需確定在這一段內(nèi)二次拋物線有沒有極值點，以及極值點的位置和極值點的彎矩數(shù)值。從剪力圖上可以看出，在e點剪力為零。

9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeE剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

qAExE

6．確定彎矩圖極值點的位置。qBADa4aqaFAyFByOxFSOxM9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaeeEe81qa2/32eE剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

OxFSOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

7．確定剪力與彎矩的最大絕對值從圖中不難得到剪力與彎矩的絕對值的最大值分別為

剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

OxFSOxMqBADa4aqaFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eE

注意到在右邊支座處，由于約束力的作用，該處剪力圖有突變（支座兩側截面剪力不等）彎矩圖在該處出現(xiàn)折點（彎矩圖的曲線段在該處的切線斜率不等于斜直線cd的斜率）。

剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

xFSxqa/2qa/2FSFSqqMxMxqq例題10剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

qqqqxFSxFSqaFSMxMxqa2/2qa2FSqq例題11剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

qqFS例題12剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

剪力圖與彎矩圖的繪制方法小結：根據(jù)載荷及約束力的作用位置，確定控制面。應用截面法確定控制面上的剪力和彎矩數(shù)值(假定剪力和彎矩都為正方向)。建立FS一x和M一x坐標系，并將控制面上的剪力和彎矩值標在相應的坐標系中。

應用平衡微分方程確定各段控制面之間的剪力圖和彎矩圖的形狀，進而畫出剪力圖與彎矩圖。

剪力圖與彎矩圖

第四章彎曲強度

剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖第四章彎曲強度

返回返回總目錄B簡單剛架的組成—橫梁、立柱與剛節(jié)點。立柱剛節(jié)點橫梁剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

剛架——若干桿件通過剛性連接而成的結構。面內(nèi)載荷作用下，剛架各桿橫截面上的內(nèi)力分量—軸力、剪力和彎矩。特點內(nèi)力分量的正負號與觀察者位置的關系：軸力的正負號與觀察者位置無關；剪力的正負號與觀察者位置無關；彎矩的正負號與觀察者位置有關。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

軸力的正負號與觀察者位置無關剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

剪力的正負號與觀察者位置無關剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

FSFS彎矩的正負號與觀察者位置有關剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

剛架內(nèi)力圖的畫法(1)無需建立坐標系；(2)控制面、平衡微分方程；(3)彎矩的數(shù)值標在受拉邊;(4)軸力、剪力畫在里側和外側均可，但需標出正負號；(5)注意節(jié)點處的平衡關系。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

節(jié)點處的平衡關系FNFSFNFSMMFNFSFNFSBMM剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

例13已知平面剛架上的均布載荷集度q,長度l。B

試：畫出剛架的內(nèi)力圖。剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

B

解：1、確定約束力ql剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

Bql解：2、確定控制面。B'B"AC剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

B'ABA

解：3、確定控制面上的內(nèi)力。FS(B')FN(B')M(B')考察立柱AB的平衡剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

B"BC解：3、確定控制面上的內(nèi)力。FN(B")FS(B")M(B")考察橫梁BC的平衡剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

解：4、畫剪力圖和彎矩圖。qlab'ab'cb"

將控制面上的剪力和彎矩分別標在FS和M坐標中。

根據(jù)微分關系連圖線。

剪力圖標上正負號。

彎矩圖畫在受拉的一側。＋－b"c剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

解：4、畫軸力圖。

將控制面上的軸力標在FN坐標中。

連圖線。b'ab"c

根據(jù)軸力的拉、壓性質(zhì)，在圖上標上正負號。＋剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

FNFSqa2/2qa2/2例題14剛架的內(nèi)力與內(nèi)力圖

第四章彎曲強度

結論與討論第四章彎曲強度

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結論與討論第四章彎曲強度

關于剪力彎矩與載荷集度之間微分關系的證明

關于彎曲內(nèi)力的幾點重要結論

平衡微分關系的靈活應用

怎樣快速而正確地確定控制面上的剪力和彎矩

三個微分方程一套方法

結論與討論第四章彎曲強度

關于彎曲內(nèi)力的幾點重要結論比較三個梁的受力、剪力和彎矩圖的相同之處和不同之處，從中能得到什么重要結論？

結論與討論第四章彎曲強度

關于彎曲內(nèi)力的幾點重要結論從中能得到什么重要結論？

qqFSFSqqqqFS

比較三種情形下梁的受力、剪力和彎矩圖的相同之處和不同之處.

結論與討論第四章彎曲強度

確定控制面上剪力和彎矩有幾種方法？怎樣確定彎矩圖上極值點處的彎矩數(shù)值？

結論與討論第四章彎曲強度

怎樣快速而正確地確定控制面上的剪力和彎矩力系簡化方法應用于確定控制面上剪力和彎矩FPaaFS=FPM=FPaM=FPaFS=FPFPFPFPaM=FPaFS=FP簡化的直接結果簡化的間接結果

結論與討論第四章彎曲強度

qq確定控制面上剪力和彎矩有幾種方法？怎樣確定彎矩圖上極值點處的彎矩數(shù)值？

結論與討論第四章彎曲強度

平衡微分關系的靈活應用qq

通過平衡微分方程的積分確定彎矩圖上極值點處的彎矩數(shù)值。

aaee

結論與討論第四章彎曲強度

平衡微分關系的靈活應用任一段梁上，剪力增量等于q圖的面積彎矩增量等于剪力圖的面積。

根據(jù)梁的剪力圖和彎矩圖能不能確定梁的受力，能否確定梁的支承性質(zhì)與支承位置？