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文檔簡介

§3

求幾何體體積

1

1、已知平行截面面積（函數(shù)）求體積的公式

現(xiàn)在我們看右圖一個(gè)空間立體，假設(shè)我們知道它在x處截面面積為A(x)，求出它的體積？xA(x)2如果像切紅薯片一樣，把它切成薄片，則每個(gè)薄片可近似看作直柱體，其體積等于底面積乘高，所有薄片體積加在一起就近似等于該立體的體積

由此可得:

這里，體積的計(jì)算的關(guān)鍵是求截面面積A(x),常用的方法先畫出草圖，分析圖象求出A(x).

3解：兩圓柱所圍成的立體是關(guān)于8個(gè)卦限對稱的，因此，它的體積是其在第一卦限體積的8倍。如何求其在第一卦限的體積？下圖就是其在第一卦限部分立體：例1

求兩圓柱:

所圍的立體體積

.

4

該立體（因?yàn)閮蓤A柱半徑相同）所截的截面,是一個(gè)邊長為

的正方形,所以截面面積。52、旋轉(zhuǎn)體體積公式6當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有7例1.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)8方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積9

10例2.

計(jì)算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x

軸,y

軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:

繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對稱性11繞

y

軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限!注12分部積分注(利用“偶倍奇零”)13柱殼體積說明:

柱面面積14偶函數(shù)奇函數(shù)15yoxyxoyxo1617例5.

設(shè)在

x≥0時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且形繞直線x＝t

旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則故18例6.

一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.19思考:

可否選擇y

作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:20垂直x

軸的截面是橢圓例7.

計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特別當(dāng)

a=b=c

時(shí)就是球體體積.的體積.21例8.

求曲線與x

軸圍成的封閉圖形繞直線

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