二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第三節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)的極值與最大值最小值第三章一、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束駐點(diǎn)定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例如

,

例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時(shí),不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束(k

為某一常數(shù))例3.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點(diǎn)D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3:5,為使貨D點(diǎn)應(yīng)如何選取?20解:

設(shè)則令得又所以為唯一的極小點(diǎn),故AD=15km時(shí)運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)物從B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小點(diǎn),問Km,公路,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束用開始移動(dòng),例4.

設(shè)有質(zhì)量為5kg

的物體置于水平面上,受力

作解:

克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題.

為多少時(shí)才可使力設(shè)摩擦系數(shù)問力與水平面夾角機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的大小最小?令解得而因而F

取最小值.解:即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值定理3目錄上頁下頁返回結(jié)束最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第三章一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)例2.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求曲線的拐點(diǎn).