向量的數(shù)量積_第1頁
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文檔簡介

第三節(jié)向量的數(shù)量積第一模塊向量代數(shù)與空間解析幾何若有一質(zhì)點在常力(大小與方向均不變)F

的作用下，則位移，規(guī)定兩向量

a,b

的正方向之間不超過180o

的夾角為向量a

與b

的夾角，記作(a

,b)，或(b

,a).由點A沿直線移動到點B，由物理學(xué)可知，力F

所做的功為FAsB一、數(shù)量積的定義及性質(zhì)定義

1兩向量

a

、b

的模及其夾角余弦的連乘積，稱為向量

a

、b

的數(shù)乘積或點積，記為

a

b

，即由數(shù)量積的定義，上述作功問題可以表示為W=F

s.abab(a

)baba(b

)

稱為向量a在向量

b

上的投影，記為ab,

定義

2即類似地所以，兩向量的數(shù)量積也可以用投影表示為交換律結(jié)合律分配律由數(shù)量積的定義可知所以當(dāng)a、b

均為非零向量，當(dāng)

a

、b

中至少有一個是零向量時，我們規(guī)定零向量與任何向量都垂直.即a

與b

垂直.則cos(a,b)=0.(2)

若兩個非零向量a、b

互相垂直，即a

b.即有a

b=0；反之，且a

b=0時，則cos(a,b)=0，這樣，兩個向量互相垂直的充要條件是由這個結(jié)論可得a

b=0.即因此，兩向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積之和.利用數(shù)量積的運算規(guī)律有：二、數(shù)量積的坐標(biāo)計算式均為非零向量，由兩向量的數(shù)量積定義可知:三、兩非零向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式例

1已知

a=

i+

j，b=i+k，求a

b,及ab.解由公式可得且與a

垂直，因為它在xy

坐標(biāo)面上，向量a=4i+3j+7k垂直例

3求在xy

坐標(biāo)面上與的單位向量.解設(shè)所求的向量為b=x,y,z.所以z=0.又因為

b

是單位向量所以即有解之得故所求向量正是a

向量分別在

i，

j，k

上的投影，例4求

ai,aj

及ak

.解因為i

=1,0,0,

j=0,1,0，k=0,0,1，所以這就是說，向量a

的坐標(biāo)ai，aj

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