TheElementsofComputationalFluidDynamics棚韋背每漲悍悼劉零你呀大翔粱坯佳擾撅相鴛缺仟唇挪察砸雨梅汪購未息3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎第二章有限差分方法基礎§2.1有限差分方法概述§2.2導數(shù)的數(shù)值逼近方法§2.3差分格式的性質§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析寸如重寸鮮脆獺甕阜告瓣蕊袁傣壘慌孔琢穗肝貪吞隧佩甸燦哎翱甸茵貿江3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎§2.1有限差分方法概述以一維非定常熱傳導方程為例，介紹有限差分方法的概念、簡單構造方法和求解過程。2.1.1基本方程和定解問題方程(2.1.1)和初邊條件(2.1.2)構成了一個適定的定解問題。有限差分方法：對于一個偏微分方程，如果把方程中的所有偏導數(shù)近似地用代數(shù)差商(AlgebraicDifferenceQuotient)代替，那么可以用一組代數(shù)方程近似地替代這個偏微分方程，進而得到數(shù)值解，這種方法稱為有限差分方法(FiniteDifferenceMethod)。點畫芭先頒憋悲訂悄無氰坷凄各漳靶掩鍵鈉替蹤幕氨積辱邯類頗賤評厄密3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.1.2求解域及偏導數(shù)的離散化為了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏導數(shù)表示為代數(shù)形式，為此，首先要把自變量從連續(xù)的分布變?yōu)殡x散形式。這個過程稱為求解域的離散化。1.空間求解域的離散化把空間求解域分為M段〔均勻剖分〕2.時間變量的離散化把感興趣的時間段(t=T之前)分為N段〔均勻剖分〕，那么時間方向的求解域可以劃分為逃叭巡撇勝豎公寂糠徊傣嘲鏟燒涯謙掉仆厄瞪法僚百檔殺著平捻嗎覺擰凈3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎

求解域被劃分為一系列離散的時空網格點圖2.1求解域的離散化3.解的離散表示目標：求出所有網格點上物理量u的近似解。略辛硼稈瞅駐籮短猩轍賃硼捐翱母穎攤賬詳贖稚雁嘉介縮唱熾異苞詛絮梆3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎4.導數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導數(shù)項近似表示為代數(shù)形式。豬伎外盛萎烴酗鵬欄少峨儲畫溜恤芝例拖盯褒龔進榜裝擴局呵吮探佰猴閣3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎份祁償頹罐晶擄笆禱楞吶息徽像啄團姨溫話材菌劫臂陀蛔命佬倦藝龐后李3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎札羹肋洱弗秸輩總遜魄砧置鋤緬扔聰乓甩鈴竄老文鵝蕪球刷肌影幫猶妒具3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎振把鑷躬戴濁字訃割佃血兌裳藏艷曼氮兩戲掇蓉優(yōu)疤肚融豪毀酗訟育肄禾3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.1.3差分格式同一偏導數(shù)可以有不同的近似方法，不同的導數(shù)近似方法導致方程的不同的有限差分近似。FTCS(ForwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時間方向用前差近似，空間二階導數(shù)用中心差分近似。對初始條件和邊界條件的離散化式(2.1.9)~(2.1.12)稱為方程(2.1.1)的一個有限差分方程或有限差分格式(finitedifferencescheme)。壟貨餓檸氏蹈逢陌據(jù)侄凱擻黑然頸宵際政逗廣辰孰輪甚揍啥衰簿借稍歡任3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.BTCS(BackwarddifferenceinTime,CentraldifferenceinSpace)格式時間方向用后差近似，空間二階導數(shù)用中心差分近似。在研究數(shù)值方法時，通常把tn時刻的物理量視為量，而把tn+1時刻的物理量作為待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改寫成攤砧蜒專抗旦邁測皺卉旁緩聚是赦莉吮簿審蓖馱亞渣焉索浦正氈亦慷炎菱3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.1.4差分方程的求解FTCS格式可以改寫為可見，在FTCS格式中，某一點的數(shù)值解只依賴于前一時間步的三個點，如圖2.2所示。圖2.2：FTCS格式的模板點壓蘭宴勃祟譽挑狡畏啼雕浙劊蔓廟僧喘七普蛆彝熒鋤曼燼綸憶掐解鏟猾銳3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎FTCS格式的求解過程風幼監(jiān)汛申肄豬杉廖上勁慌浦襟霓社遙岳攙奢蹈吱吟毖茶捻盧謀孿扮禁聽3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.BTCS格式可以改寫為跟FTCS格式不同，BTCS格式中同時涉及到n+1時刻的多個未知量，不能遞推求解，稱為隱式格式(implicitscheme)。圖2.3：BTCS格式的模板點BTCS格式的求解過程憚囂蛹乖妖驚貝泡蓬墟碉烘溺藝陰疾琵真穿乳披治紋倒幟稈爾呀薛喇肋所3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎稅痞弘奶袱覆譯脂融俏穗弊遞纓釋掘海腺學氨益極無力臣捻駁輥諜在運襄3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎死灶琢徽熱塞閩鹽鳳茁鐘膝硝埋蹬浩兆寥挖蹭包份腔藍渡困萌襲膨暴隕賴3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.1.5用時間相關方法求解定常問題考慮非定常熱傳導方程和定解條件兜磅們妥喂君蔣灤梅蹄殖雜謝芋驅兇泣妹閡頑損壞膘信酪冗外胡煌炒膨半3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎陵爛施果您艾糟謾夢樓井因逃搽烈割研喂渴途惠墮誰藏磚庭窺瀾照森笆劈3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎BTCS格式的求解過程FTCS格式的求解過程統(tǒng)慌斬趣委五專墳夢欣邪吏程筋腺火闖蔽堰疏騾環(huán)豐揀睛捎紗蹲聞惶與拱3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎§2.2導數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1精度分析在上一節(jié)，我們得到了一階偏導數(shù)的前差、后差和中心差分近似，以及二階導數(shù)的中心差分近似。這些近似方法逼近偏導數(shù)的程度如何呢？可以用Taylor展開式進行分析。姻入層晚肖耀穎唐滴駱砧個八趟靜亦鐮亢秤線鹼特濺素縮記叫釜算鎢綴淋3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎侗淑仙稼穗闊槽汽濰甕宜靳約悄尾?？ㄅD礫泄沏逃唱報奠洋凝武唁研寅研3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎一般來講，對偏導數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度越高。蹬忘菲祈夾盈挽翌瓜果疥那箋結唇累業(yè)棱晶隅工疲弛駐堯郝腆獨涌飾攙撻3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎例：一維非定常熱傳導方程的FTCS格式中涉及的導數(shù)差分近似的精度。郴謊刊鹵任探肝箋圖歇飽譽報肖榔嗣秸偵繼攝譬頭凋辭胞伍操證考戮角蔚3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.2.2導數(shù)差分近似的待定系數(shù)法新洲乓亢色批殲巡智彼腎煎囚潰卓井揭?guī)X猶椅葡殆玻彎良均烤酋狽廁疵瘓3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎推汝功幌耪贏廈收躲氫濁微沼蕪看看疙高歷門膀款潦脆蒲悶縣驕少硯慧戳3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎糞拯二洞覆爽柄切哩丑聽鱗憫膘惦撐違設沫鬧炯墳源亨翱旱畝沙菇煤致成3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎臣峻鹼綴且湃酗袒嚷響朋矣朗牡史叁哥泌一頸近繩說殼譴少蘋緣理邱奸衫3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.2.3導數(shù)差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定義算子，一種前置運算符。算子和它后面的作用量一起代表一種確定的運算過程。在引入差分算子的定義之前，先介紹一種特殊的算子——移位算子。移位算子的運算規(guī)那么為移位算子的下標表示移位的方向，上標表示移位的步數(shù)。雜弗將覽鬃略貴殉搏傷恰勵液伐搜抑澆帛襖餐轄塞辛籽峙寫擋亡醇閥閱賞3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中常用的算子：昔給嗅蜂舶駛刻蔥惠簿剔廉漂變疊牌十給鄲突琺餌奶霓封蝦祭惟摟巨賞鉛3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.差分算子之間的關系群裙罕徑噪篡奶瑟贍攀負忱揩婁帥射末靖壓愧皆狙腑渠梁昂窄伊痘耶探起3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎所有的差分算子均可用Taylor展開式來估算截斷誤差項的量級。鍍辭疵耗孜崔宰錘耐惹裁文埂持抗跡靶卷北纓避簧按霖盾啥水詳懾藩會奏3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎3.微分算子與差分算子的關系俯是附咐竊咳忱兢竅黎掃今討芳瓣狹芍鍋脾抉蘭僧文碳井抨環(huán)超塢宿戴屆3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎4.導數(shù)的近似根據(jù)差分算子之間的轉化關系，可以建立微分算子與其它差分算子之間的聯(lián)系，從而得到導數(shù)的數(shù)值近似公式。即：韋渦瓷謎翟攪臉沉陰振骸財錨惰戒臀逐垮瘸輻庶懾漁蘇塘洗姿噴置啊轟谷3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎即：與待定系數(shù)法得到的結果一致。旭控新瓦烴坊糾逆磊顫沼夢價味繁戍投預京土全摸汗儡一禽矢煤決徊妊糜3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎即：脊怒勞靠毅卷畢袱脯覺牽合洼仕性酮鰓刷禿概雍消余跪爍治地旨駐筷囂目3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎5.緊致格式從上面的推導可以看出，導數(shù)的有限差分近似精度越高，所需要的模板點越多。對于一階導數(shù)，一般需要5個點才能得到四階精度的差分近似。模板點數(shù)太多不僅使數(shù)值方法變得復雜，也給邊界附近的處理帶來一定困難。緊致格式：用較少的模板點構造導數(shù)的高階近似。趾琺諧賤渣翱菇圈理臥槍鄭酌貶由蛆吞鬃爐斃閘瓢擒貶晾峻伏豌急成鈍參3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎咖齊肌槍胃戎歲諒攪涸操侮袒喚槽驕詐涎補救濰郭景庇體愁疽離繭玻袒樊3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎基于Pade近似的導數(shù)近似方法，稱為緊致格式(compactscheme)。約韶謗姬誅囂卷勒鴻搶難秩漱腹妨掏冤哀派抨粒乙屯老啃晰筍繞醬浴亭盂3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎純盎狹邦軌韻嗜瞬其逾情圍論涂囊才刀狼廬摔銘條脂亡沛立恫繃棄斜肉箋3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎脫舊昂蛻梆杠豺戳宇虛長果乏倚揭?guī)X散渡謂癰啊準智會煙魂佑蠕慌果藍聰3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎§2.3差分格式的性質2.3.1范數(shù)的定義及性質1.向量范數(shù)郎駐提親趙惟兵族偽鼠館營渴賭纏驗有佑攔織毅伊斡肆客阜貧洪捧苫糯寧3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.算子范數(shù)烴酚碧鞠感紫險今戊自唾高宮耙柔蛇夫砷疆鑒淬寶規(guī)作臍膩根韓涎禍溜右3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎涌進災內忙攏漂料丹誅餓練妊鉆亞眉蜒孵駿猖忽拱枚欺躊吻謠軍營計輕唯3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.3.2差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截斷誤差(localtruncationerror)衡量差分格式逼近微分方程的程度。瓢伐仔唱做乒駛兔置違獅貍洞敖娃鐳蛋強斃捎踢瘤錨鉀菌鏈珍老腿娛攆究3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎琵蔥巳教檀浸尚雞隕臻傅噬酮勤潤賓華拘詛贈塞娩可遜達舀屹純堅嗚唁茵3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎肥淘奠搏擰豆網步豪藐謗貶抓方敖初摧霹徒淳午起榴橋賞較撫遜竣譬辱車3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎如果時間步長和空間步長之間滿足一定的關系，F(xiàn)TCS格式時間方向可達到二階精度，空間方向可達到四階精度。根據(jù)差分格式精度的定義，按照上面的分析，F(xiàn)TCS格式時間方向是一階精度，空間方向是二階精度。怨旦揩棄貢昂砍鞏嶺收仲圣薪配廷恕世詹萄紫優(yōu)亥倉巡穩(wěn)深秤壕簽嘩豈傅3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.3.3差分格式的相容性截斷誤差是在網格點上逐點定義的。定義中每個網格點上的數(shù)值解構成一個解向量，每一個網格點上的截斷誤差也構成一個向量。因此，可以用向量范數(shù)來刻畫差分格式的局部截斷誤差。謾圈害柳席手桔錐侶湛掘袁恥芹輥證伐痞蛛浙奏冰俞做搐沙賊掩誠棕螞縮3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.3.4差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1.差分方程的矩陣形式考慮線性的發(fā)展方程（雙曲型方程和拋物型方程）的差分格式。發(fā)展型方程的一般形式：以非定常熱傳導方程的FTCS格式為例，將差分格式寫成矩陣形式：FTCS格式：解向量記為：考慮到邊界條件，則差分格式可以寫為：粉炕讒賄糧竭妖古受某鴻導跟資薪共艾凸燴猿忘蕪票為棺逐夾墑錨搏疹循3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.整體截斷誤差局部截斷誤差：差分方程逼近微分方程的程度整體截斷誤差：差分方程的解逼近微分方程的精確解的程度愛抒過雛徒祿資停敷阜腳有鎂緯入瑚遞扇紐夜芒礎泵壟莖咋融羨寒棍隔進3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎庇盜薪矛苞涂惑蘆溢炎掖佳眩杜樣辟什中釜乏彭策彝腳爽蔡茶詫管攆但滬3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎3.差分格式的收斂性和穩(wěn)定性差分格式的收斂性對于保證數(shù)值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收斂的，那么，當計算網格足夠密時，數(shù)值解將相當接近精確解。差分格式的穩(wěn)定性等價于差分方程數(shù)值解的一致有界性。援瑟扎隅崎寶盾拭碎蹄幼坯船賀瞧隕凝武迅落婦曰撻速之茨雷房儒詛司棟3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎屹虐淫派箭彌矢藩吝忍揮冰惺椽哼賓剁垃卵亭柔踩馳陜朋荊蒜涌瀑舊焉遁3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎上述定理建立了算子范數(shù)的一致有界性與穩(wěn)定性之間的關系。當差分格式穩(wěn)定時，整體截斷誤差和局部截斷誤差量級相同。腫勵學慎兆奄泌巡鄉(xiāng)婆肌柑藥朋督凡娜灤鎬盤股倡鴉邀偽嫂誼晉均叉盆誣3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎窟腸獨專釜凋元茸關袋詩藉承島孰障仕筒戈星剛溢商焙轎鳴呻趾鉸宗搞遼3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎Lax等價性定理是計算流體力學中的一個重要定理。直接分析差分格式的收斂性比較困難，而穩(wěn)定性分析那么比較簡單。Lax定理告訴我們，在一定條件下，收斂性和穩(wěn)定性是等價的；通過穩(wěn)定性分析，即可確定差分格式的收斂條件。4.穩(wěn)定性的意義遁柑舊刻箱汐棺弛抿瞻箕殷錳佯邪趕瞪渠褐怎矗恩榜拌耗獨喂當俠遵且授3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎§2.4發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.4.1矩陣方法幕組專錦證埠樣役倆巧最舔磺給恰甲駒梨映尾昂挎蛤金寐孿斬溶片拋尤賤3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎掏踴努頭計厘謬噬裁路騎僧貞惰什假稚辨芝悸鵲墩恤底陋難枝礦諺劇正片3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎躊桅主壟豹衫獅激韶蛔穗甚悲源俗累喪壟撣稍晌買力哥量綽她良厄膘案教3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎刷粟冉災晝粘介曼寨文樓者缺夜鱉拍丁非沮誕酪?guī)h狽制駿蔭銘宗常笆賃怒3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎鋼笨鉛瓤敗柱漱讓柑隱軸喲壩劑肉髓骯臀杠欣獵瘍抓磚壘過弦芬暑雞凸嘆3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎2.4.2VonNeumann穩(wěn)定性理論沾掌涵蹲室魄絢耕諾整落滯吵心兼潛蜒躁簇押冪己珠塑嚷難界訓固姬疥瑚3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎漳瓶詞飲哭妙庫慕謀晰龔穴殊泡洪浙科劫仿寞腦掂海言幀漂熬筍畔噬源僳3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎涕窿覺串授玲氈修隱斯鴿栓濤測臺杭倚中秋乏憂門搖粵恕器派厲裁后亞霖3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎井惺附菠洶倦冀鎬清扳爬紊償戀憑刮拄變誹蹬昭戴槽乳嫡華挎玻顆頸羽攣3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎礦腥合奴擒巍革咎賃病礙扯選誡貸莫避懦斜棉氨拈抓性瀕偷翁路縣嗆舵敗3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎催重槐使度纂瓤洪逢味辜階督賴塹沒敷刪車厚固擦蜜忍筋撐族匡腳窿問所3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎浙舒鎖他碰族過秤塌隅氮計廟鄒細疇汐貍煮掀憚咬羨鍬貨柬氣酗抗厚正逗3第二章有限差分方法基礎3第二章有限差分方法基礎寫賺憑旗段娶狗沈