2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(2)數(shù)學(xué)(文史類)一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．1、設(shè)集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，那么A∪B=()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3} C．{2,3,4} D．{1,3,4}2、(1+i)(2+i)=()A．1–iB．1+3i C．3+i D．3+3i3、函數(shù)f(x)=sin(2x+EQ\F(π,3))的最小正周期為()A．4πB．2πC．πD．EQ\F(π,2)4、設(shè)非零向量a，b滿足|a+b|=|a–b|，那么()A．a(chǎn)⊥b B．|a|=|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|5、假設(shè)a>1，那么雙曲線EQ\F(x2,a2)–y2=1的離心率的取值范圍是()A．(EQ\r(,2),+∞)B．(EQ\r(,2),2) C．(1,EQ\r(,2))D．(1,2)6、如下左1圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部后所得，那么該幾何體的體積為()A．90πB．63πC．42πD．36π7、設(shè)x，y滿足約束條件EQ\b\lc\{(\a\al(2x+3y–3≤0,2x–3y+3≥0,y+3≥0))．那么z=2x+y的最小值是()A．–15 B．–9 C．1 D．98、函數(shù)f(x)=ln(x2–2x–8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(–∞,–2) B．(–∞,–1) C．(1,+∞) D．(4,+∞)9、甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據(jù)以上信息，那么()A．乙可以知道兩人的成績 B．丁可能知道兩人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績10、執(zhí)行上左2的程序框圖，如果輸入的a=–1，那么輸出的S=()A．2B．3C．4D．511、從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，那么抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A．EQ\F(1,10) B．EQ\F(1,5)C．EQ\F(3,10) D．EQ\F(2,5)12、過拋物線C：y2=4x的焦點F，且斜率為EQ\r(,3)的直線交C于點M(M在x軸上方)，l為C的準線，點N在l上且MN⊥l，那么M到直線NF的距離為()A．EQ\r(,5)B．2EQ\r(,2)C．2EQ\r(,3)D．3EQ\r(,3)二、填空題，此題共4小題，每題5分，共20分．13、函數(shù)f(x)=2cosx+sinx的最大值為．14、函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(–∞,0)時，f(x)=2x3+x2，那么f(2)=．15、長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，那么球O的外表積為．16、△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，假設(shè)2bcosB=acosC+ccosA，那么B=．三、解答題：(一)必考題：共60分．17、(12分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1=–1，b1=1，a2+b2=2．(1)假設(shè)a3+b3=5，求{bn}的通項公式；(2)假設(shè)T3=21，求S3．18、(12分)如圖，四棱錐P–ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于地面ABCD，AB=BC=EQ\F(1,2)AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)假設(shè)△PCD的面積為2EQ\r(,7)，求四棱錐P–ABCD的體積．

19、(12分)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量比照，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布直方圖如下：(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg〞，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進行較．附：K2=EQ\F(n(ad–bc)2,(a+b)(c+d)(a+c)(b+d))．20、(12分)設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓C：EQ\F(x2,2)+y2=1上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點P滿足向量NP=EQ\R(,2)NM．(1)求點P的軌跡方程；(2)設(shè)點Q在直線x=–3上，且向量OP·PQ=1．證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．21、(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=(1–x2)ex．(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍．(二)選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，那么按所做的第一題計分．22、[選修4–4：坐標系與參數(shù)方程](10分)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcosθ=4．(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設(shè)點A的極坐標為(2,EQ\F(π,3))，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．23、[選修4–5：不等式選講](10分)a>0，b>0，a3+b3=2．證明：(1)(a+b)(a5+b5)≥4；(2)a+b≤2．2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷2)數(shù)學(xué)(文史類)參考答案一、選擇題A、B、C、A、CB、A、D、D、B D、C二、填空題13、EQ\r(,5)；14、12；15、14π；16、EQ\F(π,3)．三、解答題17、解：設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，那么an=–1+(n–1)d，bn=qn–1．由a2+b2=2得d+q=3①(1)由a3+b3=5得2d+q2=6②，聯(lián)立①和②解得EQ\b\lc\{(\a\al(D=3,Q=0))(舍去)，EQ\b\lc\{(\a\al(d=1,q=2))，因此{bn}的通項公式bn=2n–1．(2)由b1=1，T3=21得q2+q–20=0．解得q=–5，q=4．當(dāng)q=–5時，由①得d=8，那么S3=21．當(dāng)q=4時，由①得d=–1，那么S3=–6．18、解：(1)在平面ABCD內(nèi)，因為∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD．又BC?平面PAD，AD?平面PAD，故BC∥平面PAD．(2)取AD的中點M，連結(jié)PM，CM．由AB=BC=EQ\F(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC=90°，得四邊形ABCM為正方形，那么CM⊥AD．因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥AD，PM⊥底面ABCD．∵CM?底面ABCD，∴PM⊥CM．設(shè)BC=x，那么CM=x，CD=EQ\R(,2)x，PM=EQ\R(,3)x，PC=PD=2x．取CD的中點N，連結(jié)PN，那么PN⊥CD，所以PN=EQ\F(\R(,14),2)x．∵△PCD的面積為2EQ\R(,7)，所以EQ\F(1,2)×EQ\R(,2)x·EQ\F(\r(,14),2)x=2EQ\R(,7)，解得x=–2(舍去)，x=2．∴AB=BC=2，AD=4，PM=2EQ\R(,3)．所以四棱錐P–ABCD的體積V=EQ\F(1,3)×EQ\F(2(2+4),2)×2EQ\r(,3)=4EQ\r(,3)．19、(1)舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66，而兩種箱產(chǎn)量相互獨立，那么P(A)=0.62×0.66=0.4092．(2)由頻率分布直方圖可得列聯(lián)表

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法

6238新養(yǎng)殖法

3466那么K2=EQ\F(200(62×66–34×38)2,100×100×96×104)≈15.705>6.635，所以有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)．(3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖說明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50kg到55kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45kg到50kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高，因此，可以認為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法．20、解：(1)設(shè)P(x,y)，M(x0,y0)，那么N(x0,0)，向量NP=(x–x0,y)，NM=(0,y0)．由向量NP=EQ\R(,2)NM得x0=x，y0=EQ\F(\r(,2),2)y．因為M(x0,y0)在C上，所以EQ\F(x02,2)+y02=1．因此點P的軌跡方程為x2+y2=2．(2)由題意知F(–1,0)，設(shè)Q(–3,t)，P(m,n)，那么向量OQ=(–3,t)，PF=(–1–m,–n)，∴向量OQ·PF=3+3m–tn，向量OP=(m,n)，PQ=(–3–m,t–n)，由向量OQ·PQ=1得–3m–m2+tn–n2=1．又由(1)知m2+n2=2，故3+3m–tn=0，∴向量OQ·PF=0，即OQ⊥PF．又過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.21、解：(1)f'(x)=(1–2x–x2)ex，令f'(x)=0得x1=–1–EQ\r(,2)，x2=–1+EQ\r(,2)．當(dāng)x∈(–∞,–1–EQ\r(,2))時，f'(x)<0；當(dāng)x∈(–1–EQ\r(,2),–1+EQ\r(,2))時，；當(dāng)x∈(–1+EQ\r(,2),+∞)時，f'(x)<0．所以f(x)在(–∞,–1–EQ\r(,2))∪(–1+EQ\r(,2),+∞)單調(diào)遞減，在(–1–EQ\r(,2),–1+EQ\r(,2))單調(diào)遞增.(2)f(x)=(1+x)(1–x)ex．當(dāng)a≥1時，設(shè)函數(shù)h(x)=(1–x)ex，h'(x)=–xex<0(x<0)，因此h(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減，而h(0)=1，故h(x)≤1，所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1．當(dāng)0<a<1時，設(shè)函數(shù)g(x)=ex–x–1，g'(x)=ex–1>0(x>0)，所以g(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增，而g(0)=0，故ex≥x+1．當(dāng)0<x<1時，f(x)>(1–x)(1+x)2，(1–x)(1+x)2–ax–1=x(1–a–x–x2)，取x0=EQ\F(\r(,5–4a)–1,2)，那么x0∈(0,1)，(1–x0)(1+x0)2–ax0–1=0，故f(x0)>ax0+1．當(dāng)a≤0時，取x0=EQ\F(\r(,5)–1,2)，那么x0∈(0,1)，f(x0)>(1–x0)(1+x0)2=1≥ax0+1．綜上，a的取值范圍是[1,+∞)．22、解：(1)設(shè)P極坐標為(ρ,θ)(ρ>0)，M極坐標為(ρ1,θ)(ρ1>0)．那么|OP|=ρ，|OM|=ρ1=EQ\F(4,cosθ)．由|OM|·|OP|=16得C2的極坐標方程為ρ=4cosθ(ρ>0)．所以C2的直角坐標方程為(x–2)2+y2=4(x≠0)．(2)設(shè)B極標為(ρ2,θ)(ρ2>0)，由題可知|OA|=2，ρ2=4cosα，那么有S△OAB=EQ\F(1,2)|OA|·ρ2·|sin(α–EQ\F(π,3))|=