第8章時頻分析與小波變換山東大學(xué)背景Fourier變換只適用于統(tǒng)計特性不隨時間變化的平穩(wěn)信號，而實際信號的統(tǒng)計特性卻往往是時變的，這類信號統(tǒng)稱為非平穩(wěn)信號。由于非平穩(wěn)信號的統(tǒng)計特性是隨時間變化的，因此對于非平穩(wěn)信號的分析來說，就需要了解其局部統(tǒng)計特性。Fourier變換是信號的全局變換，因而對非平穩(wěn)信號而言，F(xiàn)ourier變換不再是有效的分析工具。另一方面，信號的時域描述和頻域描述都只能描述信號的部分特性，為了精確描述信號的局部特性，經(jīng)常需要使用信號的時域和頻域的二維聯(lián)合表示。非平穩(wěn)信號的時頻域聯(lián)合分析稱為信號的時頻分析。本章內(nèi)容8.1時頻分析

8.1.1概述

8.1.2短時Fourier變換

8.1.3Wigner-Ville分布8.2小波變換

8.2.1空間與基的概念

8.2.2連續(xù)小波變換

8.2.3離散小波變換

8.2.4多分辨率分析

8.2.5小波變換的應(yīng)用8.1時頻分析

8.1.1概述

Fourier變換不能用于信號的局部分析例8-1頻率突變信號1及其頻譜

頻率突變信號2及其頻譜

例8-2

如圖顯示了一個頻率線性增長的chirp信號及其頻譜。由chirp信號的頻譜可以知道該信號包含哪些頻率成分，但是從頻譜曲線上看不出該信號的頻率隨時間線性增長的特點。

頻率線性增長的chirp信號及其頻譜

由上述兩例可以看出，F(xiàn)ourier變換不能反映信號頻率隨時間變化的特征。對于頻率隨時間變化的非平穩(wěn)信號，即時變信號，F(xiàn)ourier變換只能給出一個總的平均效果。為了分析和處理非平穩(wěn)信號，就需要使用信號的時域和頻域的二維聯(lián)合表示，即時頻分析。

時頻分析的必要性信號的時頻聯(lián)合分布

時頻分析的發(fā)展1932年

Wigner提出了時頻聯(lián)合分布的概念1948年

Ville將這一概念引入信號分析領(lǐng)域這就是著名的Wigner-Ville時頻分布1946年

Gabor提出短時Fourier變換和Gabor變換的概念1966年

Cohen提出了時頻分布的一般形式20世紀(jì)80年代后期小波變換發(fā)展起來8.1.2短時Fourier變換

應(yīng)用上述短時Fourier變換時，窗函數(shù)的選擇是十分重要的。窗函數(shù)的主要特征是窗口寬度和形狀。窗口寬度應(yīng)該與信號的局域平穩(wěn)長度相適應(yīng)。短時Fourier變換

短時Fourier譜

短時Fourier反變換

離散序列短時Fourier變換

離散序列短時Fourier變換

離散序列短時Fourier變換

例8-3

利用短時Fourier變換分析例8-1中兩個頻率突變信號。應(yīng)用MATLAB函數(shù)spectrogram繪出這兩個信號的譜圖，輸入?yún)?shù)window=256，noverlap=250，nfft=256，輸出結(jié)果見后。分析這兩個信號的譜圖，可以知道兩個頻率分量在兩個信號中出現(xiàn)的順序，即短時Fourier變換具有一定的時頻聯(lián)合分析功能。為了理解窗口寬度對時間和頻率分辨率的影響，計算采用如下兩組參數(shù)時頻率突變信號1的譜圖：(1)window=128，noverlap=125，nfft=128；(2)window=512，noverlap=500，nfft=512?？芍?dāng)時域窗口寬度減小時，時間分辨率提高，但頻率分辨率下降，當(dāng)時域窗口寬度增加時，頻率分辨率提高，但時間分辨率下降。

頻率突變信號2的譜圖頻率突變信號1的譜圖頻率突變信號1的譜圖(窄時窗)

頻率突變信號1的譜圖(寬時窗)

例8-4利用短時Fourier變換分析頻率線性增長的chirp信號及其頻譜。應(yīng)用MATLAB函數(shù)spectrogram繪出該chirp信號的譜圖，輸入?yún)?shù)window=256，noverlap=250，nfft=256，輸出結(jié)果如圖。從該chirp信號的譜圖可以看出信號頻率線性增長的特點。MATLAB提供了計算譜圖的函數(shù)spectrogram，其調(diào)用格式為：

S=spectrogram(x,window,noverlap,nfft,fs)其中：x為信號序列；window是選用的窗函數(shù)。頻率線性增長的chirp信號的譜圖8.1.3Wigner-Ville分布

Wigner-Ville分布是具有雙線性形式的時頻分布。

Wigner于1932提出了上述Wigner分布的概念，并把它用于量子力學(xué)領(lǐng)域，1948年，Ville將其引入信號分析領(lǐng)域，因此Wigner分布也稱為Wigner-Ville分布。Wigner-Ville分布

Wigner-Ville分布

Wigner-Ville分布的性質(zhì)

Wigner-Ville分布的性質(zhì)

Wigner-Ville分布的性質(zhì)

由上述性質(zhì)(4)和性質(zhì)(5)可以知道Wigner-Ville分布具有能量分布性質(zhì)，但是由于Wigner-Ville分布不能保證在整個平面上是正的，因此Wigner-Ville分布不滿足一個真正的時頻能量分布不能為負(fù)的原則，也正是這一原因，Wigner-Ville分布有時會導(dǎo)致無法解釋的結(jié)果。Wigner-Ville分布的性質(zhì)

Wigner-Ville分布的交叉項

例8-5例8-6chirp信號

信號的Wigner-Ville分布

chirp信號

信號的Wigner-Ville分布

信號

信號的Wigner-Ville分布8.2小波變換

8.2.1空間與基的概念范數(shù)

Banach空間

Banach空間

Hilbert空間

Hilbert空間

有限能量函數(shù)空間L2(R)基底正交與正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基框架Riesz基雙正交關(guān)系8.2.2連續(xù)小波變換

小波(wavelet)的物理意義就是“小區(qū)域的波”，即時域上有限支撐且振蕩的一類函數(shù)。Gaussian小波(8階)

Haar小波基本小波的定義

容許條件容許條件的推論例8-7

(Haar小波)

例8-8

(Morlet小波)

Morlet小波

例8-9

(Marr小波)

該小波滿足容許條件，但它不是緊支撐的。由于該小波沿著中心軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的三維圖形猶如一頂墨西哥草帽，因此也稱為墨西哥草帽小波。Marr小波

小波基函數(shù)

尺度因子a對的伸縮作用

連續(xù)小波變換

小波變換的等效頻域表示

時頻定位小波基函數(shù)的時寬與帶寬小波基函數(shù)的時寬與帶寬不定原理

帶通特性

小波分析的特點小波基本分析單元的特點

由于小波變換具有品質(zhì)因數(shù)恒定以及自動調(diào)節(jié)對信號分析的時寬和帶寬等優(yōu)點，因而被譽為信號分析的數(shù)學(xué)顯微鏡。

連續(xù)小波變換的性質(zhì)

連續(xù)小波變換的性質(zhì)連續(xù)小波變換的性質(zhì)連續(xù)小波變換的性質(zhì)連續(xù)小波變換的逆變換

重建核方程

重建核的意義

8.2.3離散小波變換

離散小波變換

離散小波變換(DWT)

離散小波變換的離散柵格

重構(gòu)原信號

充分條件充分條件

Riesz基

正交小波

雙正交小波正交小波變換

信號重構(gòu)公式

連續(xù)小波變換存在冗余度，但正交小波變換可以消除變換中的冗余度，使得變換結(jié)果的圖案更能反映信號本身的性質(zhì)，所以正交小波變換比連續(xù)小波變換具有更為優(yōu)良的性質(zhì)。目前提出并經(jīng)常使用的正交小波

正交小波

8.2.4多分辨率分析

信號分解的濾波器組示意圖正交小波變換信號重構(gòu)公式在各種尺度上(對應(yīng)于不同的尺度級m)作細(xì)化處理，補充細(xì)部特征，其實這沒有必要。多分辨率分析的數(shù)學(xué)定義

多分辨率分析的數(shù)學(xué)定義

尺度函數(shù)尺度函數(shù)的基本性質(zhì)

尺度函數(shù)的基本性質(zhì)尺度系數(shù)與小波系數(shù)滿