第三章離散信號(hào)傅立葉分析介紹傅立葉分析定義了信號(hào)時(shí)域和頻域之間的一種變換,這里時(shí)間和頻率變量可以取連續(xù)值,也可以取離散值,因而形成了幾種形式的傅立葉變換對(duì).

離散傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理中最基本也是最重要的運(yùn)算.特別是有了快速傅立葉算法，離散傅立葉變換得到了廣泛應(yīng)用。3.1周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)3.1周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)1離散周期序列以N為周期的離散周期信號(hào),N為整數(shù).同樣，離散周期序列可以分解為無(wú)窮虛指數(shù)份量的和是以基波頻率成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列集為N的周期序列，所以展開(kāi)式只有有限項(xiàng)諧波圖1(a)周期序列(b)直流分量(c)余弦分量(d)正弦分量特點(diǎn):1、基波和高次諧波在任一周期內(nèi)的求和均為零。2、正交性2離散周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式展開(kāi)式系數(shù)的確定在上式右邊對(duì)求和時(shí)，只當(dāng)時(shí)為非零，所以有:3系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)一

性質(zhì)二對(duì)實(shí)數(shù)序列，具有共軛對(duì)稱(chēng)性，即：性質(zhì)三

的模為的偶函數(shù)，的相位(幅角)為的奇函數(shù)。說(shuō)明離散周期序列的DFS的系數(shù)仍然是一個(gè)周期序列4離散周期信號(hào)的頻譜以~畫(huà)出的波形稱(chēng)為頻譜圖,w稱(chēng)為圓周角頻率例1求周期脈沖序列的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式(N=4)求周期脈沖序列的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式例1解:例4.2求周期對(duì)稱(chēng)脈沖序列的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)

解:圖3(a)離散周期方波序列(b)離散周期方波序列頻譜圖

頻譜圖以為間隔,與N有關(guān);包絡(luò)與N1有關(guān)

(1)當(dāng)N1不變時(shí),N增加,譜線間隔變小,幅度變小

(2)當(dāng)N不變時(shí),N1變化時(shí),包絡(luò)形狀發(fā)生變化周期序列的頻譜是離散的,以為周期的,只要將N個(gè)復(fù)指數(shù)序列加起來(lái),一定可以恢復(fù)原來(lái)的時(shí)間離散信號(hào).不存在收斂問(wèn)題3.2離散時(shí)間傅立葉變換3.2非周期序列的傅里葉變換

離散時(shí)間傅立葉變換(DTFT)1正變換的定義模和相角或?qū)嵅亢吞摬?考慮到時(shí)，，

2逆變換定義根據(jù)序列的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式：，。由于k的取值周期為N,則的周期為,考慮到時(shí)，，

的周期也為,則可得DTFT正反變換定義式DTFT和Z變換的關(guān)系為

所以DTFT就是單位圓上的Z變換，變換的性質(zhì)均可由Z變換特性得到。3從頻域中看非周期序列

離散序列的最高角頻率是,且其頻譜是周期為的周期函數(shù)。離散序列頻譜在[，]區(qū)間上的變化規(guī)律就已描述了該序列的全部頻域特性，而連續(xù)信號(hào)的全部頻域特性是在(，)區(qū)間上描述的。時(shí)間連續(xù)的周期信號(hào)頻率離散的傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)間連續(xù)的非周期信號(hào)頻率連續(xù)的傅立葉變換時(shí)間離散的周期序列頻率離散的周期級(jí)數(shù)時(shí)間離散的非周期序列頻率連續(xù)的周期變換4常見(jiàn)序列的離散時(shí)間傅里葉變換

例1方波序列解:若取,則如圖所示。圖5(a)方波序列(b)方波序列的離散傅里葉變換例2

求單位樣值序列的傅里葉變換；

解例3

求的傅里葉變換；

例4

求頻域周期單位沖激函數(shù)的傅里逆葉變換。解例5

求符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換。解所以:例6

求單位階躍序列的傅里葉變換。解5離散序列頻譜的性質(zhì)

性質(zhì)一

周期性:性質(zhì)二對(duì)實(shí)數(shù)序列,有共軛對(duì)稱(chēng)性:

或性質(zhì)三對(duì)實(shí)數(shù)序列,有:

性質(zhì)四

實(shí)偶序列的頻譜為實(shí)偶函數(shù):性質(zhì)五對(duì)虛奇序列有:表4.1頻移性質(zhì)的說(shuō)明6

序列的內(nèi)插和抽?。〞r(shí)間尺度變換）（1）序列內(nèi)插和抽取的定義內(nèi)插

抽取采樣率縮M倍零內(nèi)插階躍內(nèi)插：等于前一采樣點(diǎn)的值線性?xún)?nèi)插：鄰近兩采樣值得平均值問(wèn)題

實(shí)際上先內(nèi)插后抽取，才能準(zhǔn)確還原信號(hào)結(jié)論：（1）以M因子內(nèi)插，再以M因子抽取，可以恢復(fù)原信號(hào)（2）以M因子抽取，再以M因子內(nèi)插，不能恢復(fù)原信號(hào)（3）若同時(shí)需要內(nèi)插與抽取，最好先進(jìn)行內(nèi)插（4）插值與抽取意味著抽樣率的轉(zhuǎn)換，要將抽樣率做L/M倍轉(zhuǎn)換，先做L倍內(nèi)插，再做M倍抽取。（2）序列零內(nèi)插后的頻譜

圖4.15（3）序列丟棄零后的頻譜

(當(dāng)時(shí)，)圖4.17（4）序列“采樣”后的頻譜

寫(xiě)成形式的符號(hào)即為：

（5）

序列抽取后的頻譜

從濾波的角度理解連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng)和離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)之間的關(guān)系（6）

連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)若用采樣點(diǎn)上的樣值構(gòu)成一個(gè)離散序列,則經(jīng)頻率變換后,的頻譜中含有一個(gè)不失真的頻譜的信息(忽略幅度因子);

是經(jīng)頻率變換后的周期延拓;由沖激響應(yīng)不變法[即由采樣點(diǎn)上的樣值構(gòu)成]可以由模擬系統(tǒng)獲得對(duì)應(yīng)的離散系統(tǒng)。圖(4.23)連續(xù)信號(hào)頻譜和對(duì)應(yīng)的離散序列頻譜之間的關(guān)系圖連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)和離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)之間的關(guān)系采樣后信號(hào)的頻譜

理想采樣后信號(hào)的頻譜是頻譜的周期延拓

3.3周期序列DTFT3.3周期序列的傅里葉變換1周期復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換

2一般周期序列的傅里葉變換3傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換之間的關(guān)系周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)為:非周期序列的傅里葉變換為: