特征值和特征向量

定義6.2設(shè)A是n階方陣,是參數(shù),則行列式

稱為方陣A的特征多項式.稱det(EA)=0為方陣A的特征方程.A的特征值就是特征方程的解,n階方陣A有n個特征值.A的屬于特征值＝i的特征向量就是齊次線性方程組(iEA)x=0的所有非零解.的全部特征值和相應(yīng)的特征向量.

解A的特征多項式為=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值為1=2=1,3=3.對1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例1求矩陣所以k1(k≠0)是屬于1=2=1的全部特征向量.對3=3,解方程(3E-A)x=0,由于得同解方程:,基礎(chǔ)解系為2=(-1,1,1)T.所以k2(k≠0)是屬于3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系為1=(0,0,1)T.得同解方程:的全部特征值和特征向量.

解A的特征多項式為=(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3)所以A的特征值為1=2=1,3=3.對1=2=1,解方程(E-A)x=0,由于例2求矩陣所以屬于1=2=1的全部特征向量為K11+k22(k1,k2不同時為0)對3=3,解方程(A-3E)x=0,由于得同解方程:,基礎(chǔ)解系為3=(1,-1,1)T.所以k3(k≠0)是屬于3=3的全部特征向量.,基礎(chǔ)解系為1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T.得同解方程:

設(shè)方陣A可逆,且λ是A的特征值,證明λ≠0且1/λ是A-1的特征值.例3證首先證明λ≠0.用反證法:假設(shè)λ=0是A的特征值,則

再設(shè)是A的屬于特征值λ的特征向量,則

A=λ

A-1

=1/λ

所以1/λ是A-1的特征值,而且與A有相同的特征向量.類似地,若λ是A的特征值,則λk是Ak的特征值.0E-A=-A=0,這與A可逆矛盾,故λ≠0.一般地,若λ是A的特征值,則(λ)=a0+a1+…+amm是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.解由于由于－1的倒數(shù)也是A－1的特征值，因此A*必有特征值：1所以，A*=－A－1

故，應(yīng)選“B”。二.特征值和特征向量的性質(zhì)由于=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|利用多項式方程根與系數(shù)的關(guān)系可得:

定理6.1設(shè)1,2,…,n是n階方陣A的全部特征值,則1+2+…+n=a11+a22+…+ann12…n=detA

定理6.2設(shè)1,2,…,s是方陣A的互異特征值,1,2,…,s是分別屬于它們的特征向量,那么1,2,…,s線性無關(guān).

證明設(shè)x11+x22+…+xss=0類似地有:則,A(x11+x22+…+xss)=0,

即1x11+2x22+…+sxss=01kx11+2kx22+…+skxss=0(k=0,1,…,s-1),即所以有(x11,x22,…,xss)=(0,0,…,0)

定理6.3設(shè)1,2是A的兩個互異特征值,1,2,…,s和1,2,…,t分別是屬于1,2的線性無關(guān)的特征向量,則1,2,…,s,1,2,…,t線性無關(guān).即,xjj=0,

但j0,故xj=0,(j=1,2,…,s)所以向量組1,2,…,s線性無關(guān).

證明設(shè)k11+k22+…+kss+l11+l22+…+ltt=0,=k11+k22+…+kss,=l11+l22+…+ltt。則+=0而,是屬于不同特征值1,2的特征向量,根據(jù)定理6.2，必有==0,即k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0,線性無關(guān).例4解由于A的特征值都不為0,故A可逆.并且|A|=1

2

3=

-2，

A*=AA－1=－2A－1.

設(shè)3階方陣A的特征值為1,-1,2,求|A*+3A-2E|.

A*+3A-2E=-2A-1+3A-2E＝B的3個特征值為μ1＝－21-1+31－21=－1

,μ2＝－3，μ3＝3,于是|A*+3A-2E|=μ1

μ2

μ3=(-1)(-3)3=9例求矩陣A和AT的特征值的關(guān)系。解。A的特征值滿足|E-A|=0，AT的特征值滿足|E-AT|=0,而|E-AT|=|(E-A)T|＝|E-A|=0，所以矩陣A和AT有相同的特征值。對A進行運算P-1AP=B稱為對A進行相似變換,可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣.§2相似矩陣定義6.3設(shè)A,B都是n階方陣,若存在可逆矩陣P,使

一.相似矩陣的定義和性質(zhì)矩陣的相似關(guān)系具有下述性質(zhì):(ⅰ)反身性:A~A;(ⅱ)對稱性:若A~B,則B~A;(ⅲ)傳遞性:若A~B,B~C,則A~C.P-1AP=B則稱B是A的相似矩陣,或說矩陣A與B相似.A與B相似記作A~B.定理6.4相似矩陣有相同的特征值.證若矩陣A與B相似,則存在矩陣P,使P-1AP=B,故注意:定理6.4的逆命題不成立.例如矩陣

E-B=P-1(E)P-P-1AP=P-1(E-A)P=P-1E-AP=E-A的特征多項式都是(-1)2,但它們不相似.二.與對角矩陣相似的條件假設(shè)n階方陣A與對角矩陣相似.也就是存在可逆矩陣P,使得P-1AP=即AP=P記P=(1,2,…,n),則有(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)即可見,矩陣A與對角矩陣相似,則A有n個線性無關(guān)的特征向量.Ai=ii,i=1,2,…,n因為矩陣P可逆,所以1,2,…,n線性無關(guān),故i0,于是i是矩陣A屬于特征值i的特征向量.反之,設(shè)A有n個線性無關(guān)的特征向量1,2,…,n,且Ai=ii,i=1,2,…,n,令P=(1,2,…,n),則P可逆,且

AP=(A1,A2,…,An)=(11,22,…,nn)=P即,P-1AP=,也就是說矩陣A與對角矩陣相似.

定理6.5n階矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量.可見,前面的分析不但證明了定理6.5,還給出了相似變換矩陣P和對角矩陣的求法：例：在例2中的矩陣由于其3個特征值為1=2=1,3=3.對應(yīng)的特征向量:1=(1,1,0)T,2=(0,0,1)T,3=(1,-1,1)T線性無關(guān),所以A的n個線性無關(guān)的特征向量作為列向量構(gòu)成的矩陣P為相似變換矩陣A的n個特征值作為對角元構(gòu)成了相應(yīng)的對角矩陣。相似變換矩陣P=(1,2,3)=事實上P的逆矩陣為與A相似的對角矩陣為對角矩陣

解由于所以，應(yīng)選“A”.

推論若n階矩陣A有n個互異特征值,則A與對角矩陣相似.若A=P-1P,則有:注意,若矩陣A與對角矩陣Λ相似,則Λ的對角線元素恰是A的n個特征值,故如不計對角線上元素的順序,則與A相似的對角矩陣是唯一的.Ak=P-1ΛkP,(A)=P-1(Λ)P而且有:

例5設(shè)求A50.

解矩陣A的特征多項式為=(λ+1)2(λ-2)可見,A的特征值是λ1=λ2=-1,λ3=2.對于特征值λ1=λ2=-1,由于所以,齊次線性方程組(-E-A)x=0的一個基礎(chǔ)解系為:1=(1,2,0)T,2=(0,0,1)T.1,2就是屬于特征值λ1=λ2=-1的線性無關(guān)的特征向量.可見屬于特征值λ3=2的一個特征向量為3=(3,3,1)T.對于特征值λ3=2,由于令則有所以有即定理6.6矩陣A與對角矩陣相似的充分必要條件是：對A的任意特征值(重數(shù)為k),屬于的線性無關(guān)的特征向量有k個.§3實對稱矩陣的相似對角化一.實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)

設(shè)矩陣A=(aij),用aij表示aij的共軛復(fù)數(shù),記A=(aij)稱A為A的共軛矩陣.顯然,A為實矩陣時,A=A.共軛矩陣具有下列性質(zhì):其中是常數(shù);定理6.7實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).證設(shè)λ為實對稱矩陣A的特征值,是屬于λ的特征向量,則有由于AT=A,A=A,故有于是有由于0,所以T0,因此,即是實數(shù).顯然,實對稱矩陣的特征向量都可以取為實向量.定理6.8實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量是正交的.證設(shè)1,2是實對稱矩陣A的特征值,1,2分別是屬于它們的特征向量,則有而且由于12,所以2T1=0,即1,2正交.于是二.實對稱矩陣正交相似于對角矩陣定理6.9設(shè)A是實對稱矩陣,則必存在正交矩陣Q,使得QTAQ＝Q－1AQ為對角矩陣.

證n=1時顯然成立,設(shè)對n-1階矩陣定理結(jié)論成立.于是有再取2,3,…,n使1,2,…,n為Rn的一組規(guī)范正交基.取n階實對稱矩陣A的任一特征值1,和屬于1的特征向量1,(取1為單位向量).A(1,2,…,n)=(A1,A2,…,An)

=(11,A2,…,An)

=(1,2,…,n)

記Q1=(1,2,…,n),則Q1為正交矩陣,且有(Q1－1=QT)B是n-1階實對稱矩陣,由假設(shè),存在n-1階正交矩陣P,使得取n階正交矩陣Q1TAQ1=＝（利用A的對稱性）則有即,Q2T

Q1TAQ1Q2為對角矩陣.顯然Q=Q1Q2是正交矩陣,定理結(jié)論成立.Q2T

Q1TAQ1Q2＝三.實對稱矩陣正交相似對角化的方法

用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣的步驟如下:(1)求出A的全部特征值;(2)對每個特征值,若其重數(shù)為k,求出其k個線性無關(guān)的特征向量.

(5)寫出對角矩