數(shù)值分析大連理工大學(xué)(盤錦校區(qū))第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分§

4.14.1.1數(shù)值積分概論數(shù)值求積的基本思想在高等數(shù)學(xué)里，大家熟悉單變量定積分的Newton-Leibniz公式：baI

f

(x)dx

F

(b)

F

(a)其中：

F

(x)

f

(x)

，

F

(x)

是

f

(x)

的原函數(shù)但是：諸如

ex

，sin

x

，sin

x

，?

十分簡單的被積函數(shù)都找2 2x不到用初等函數(shù)形式表示的原函數(shù)，Newton-Leibniz公式無能為力，必須研究積分近似計算方法。不難看出Newton-Leibniz公式之所以無能應(yīng)用，問題在于被積函數(shù)，如果能夠用比較簡單，容易求出積分的函數(shù)p(x)近似

f(x)，那么，就有可能期望以下的近似積分關(guān)系式成立：b baaf

(x)dxp(x)dx

數(shù)值積分的基本思想可概括為：以簡單函數(shù)近似被積函數(shù)構(gòu)造求積公式。構(gòu)造

f(x)

的近似函數(shù)方法很多，前兩章介紹的插值方法，最佳平方逼近，最小二乘擬合等，都是有效的函數(shù)逼近方法。除此，級數(shù)展開也可用于構(gòu)造求積公式，但最常用的還是應(yīng)用插值方法構(gòu)造求積公式，本章以此為重點。插值型求積公式的構(gòu)造余項代數(shù)精度收斂性與穩(wěn)定性4.1.3 插值型求積公式（與4.1.2對調(diào)）一、推導(dǎo)f

(x)dxbaI

設(shè)積分區(qū)間[a,

b]內(nèi)有分點：

xn

b

f

(

xn)a

xo

x1

?f

(

xo

) f

(

x1

) ?可用n次Lagrange插值多項式作被積函數(shù)

f(x)的近似函數(shù)：Ln

(x)

f

(x)bb則有近似積：naanbk kaI

f

(x)dx

L

(x)dx(

f

(x

)??

(x))dxnbkka(

f

(xk

0k

0) ??

(x)dx)令：bkaAk

??

(x)dx由于Lagrange插值基函數(shù)??

k

(x)

是多項式，Ak計算十分方便，因此，容易得到以Ak為積分系數(shù)的插值型求積公式：nbnkkaIA xf

( )

f

(x)dx

Ik

0其中：

xk積分節(jié)點Ak(k

0,?,

n)(k

0,?,

n)積分系數(shù)為插值型bkka?? (x)dxn的積分公式

Ak

f

(xk

)k

0稱：積分系數(shù)

A求積公式。二、余項下面討論積分余項，即數(shù)值積分的誤差，記為：R[

f

]

I

Innbanbbk kR[f

]

f

(

x

)dx

f

(

x

)dx

Ak

f

(

x

k

)k

0f

(

x

)??

(

x

)dxaanbk kak

0

[

f

(

x

)

k

0f

(

x

)??

(

x

)]dxbaf

(

n

1)(

)

n

1

(

x

)dx(n

1)!插值型積分余項

=

插值余項的積分第4.1.1

給出的矩形、梯形、中矩形公式是n=0，n=1的簡單情況。4.1.2 代數(shù)精度1、代數(shù)精度是衡量一個數(shù)值求積公式精度高低的常用標(biāo)準(zhǔn)。定義1，如某求積分公式對于次數(shù)≤m的多項式均準(zhǔn)確成立，但對于m+1次多項式就不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有m

次代數(shù)精度。定義表明，一個求積公式具有較高代數(shù)精度，就意味著它能

對次數(shù)較高的多項式的積分準(zhǔn)確成立。從直觀上說，代數(shù)精

度作為衡量求積公式計算精度一個標(biāo)準(zhǔn)是可以理解和接受的。2、如何判斷一個求積公式的代數(shù)精度呢？n定理0：形如

Ak

f

(xk

)

的求積公式至少有m次代數(shù)精度的充k

0準(zhǔn)確。要條件是對

1,

x,?,

xmn證明作為思考題自己做一下。P99指出，如果積分節(jié)點已確定。利用上述定理，可建立方程求解積分系數(shù)，使求積公式具有一定要求的代數(shù)精度。3、插值型求積公式與代數(shù)精度具有一定聯(lián)系：定理1：形如

Ak

f

(xk

) 的求積公式至少有n次代數(shù)精度的充要k

0條件是它是插值型的。證明自己做一下。第4章課后練習(xí)（9）作業(yè)：

四、1（2）（3）、2（1）（2）預(yù)習(xí)：4.3、4.44.1.4 求積公式的余項n若求積公式：abf

( )

f

(x)dx

II

n

Ak

xkk

0具有m次代數(shù)精度，可以證明余項公式為：nbaf

(

)=

Kf

x

k(

m

1)

(

)R[

f

]f

(

x

)dx

Ak

k

0其中：K為不依賴于

f(x)

的待定參數(shù)，

(a

,

b

)書上P101通過代數(shù)精度的概念，可以求得更精細(xì)的余項表達(dá)式，請自己看看。4.1.5 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性一、收斂性n定義2：在求積公式

In

Ak

f

(xk

)

中，若limnbkaf

(x)dxxAkk

0

n

k

0f

( )

h01in其中：h

max(xi

xi

1)

，則稱求積公式收斂。注意，h最大的子區(qū)間，在

n

時，它必

0

。我們應(yīng)當(dāng)盡量使用收斂的求積公式。下面在討論不同求積公式時常常會同時指出其收斂性、穩(wěn)定性等。二、穩(wěn)定性穩(wěn)定性是求積公式的一個重要性質(zhì)，這概念討論的是當(dāng)節(jié)點函數(shù)值出現(xiàn)誤差時，它對數(shù)值積分的數(shù)值產(chǎn)生多大的影響。設(shè)：f

(xk

)準(zhǔn)確f

(xk

)

f

(xk

)

kAk

準(zhǔn)確計算過程準(zhǔn)確用標(biāo)準(zhǔn)以及帶誤差的兩組函數(shù)值做積分有：nn

In

(

f

)

Ak

f

(xk

),k

0In

(

f

)

Ak

f

(xk

)k

0積分值產(chǎn)生的誤差為：nn0k

nk

0

max

kIn

(

f

)

In

(

f

)

Akk

Akk

0n

Ak

k

0（1.12）

=

max

k0k

n其中：是節(jié)點函數(shù)值中最大的絕對誤差值。因此，積分誤差的大小取決于兩個因素：n①函數(shù)值誤差的大??；②

積分系數(shù)絕對值之和的大小。Akk

0有以下穩(wěn)定性定義：成立，稱求積公式定義3，對任給

0，若

0

，只要

(k

0,

?,

n)f

(x)

f

knbkkaf

(x)dxA xf

( )

nn n

k就有

I

(

f

)

I

(

f

)

A

是穩(wěn)定的。nk

0k

0k

0

?考察不加絕對值時積分系數(shù)的和：

Akn有0次代數(shù)度，這假設(shè)應(yīng)該是合理的。k

0設(shè)積分公式，I

n

Ak

f

(xk

)那么，它對函數(shù)

f

(x)

1

應(yīng)準(zhǔn)確成立。ba

1

dx

b

an nI

n

Ak

1

Akk

0

k

0n

b

a即有：

Akk

0的取值，有兩種可能：n因此，積分系數(shù)絕對值之和

Akk

0（1）Ak>0，k=0,…,nn n

Ak

Ak

b

ak

0

k

0

I

(

f

)

I

(

f

)

(b

a)

I

(

f

)若給

，時，使I

(

f

)

成立，是穩(wěn)定的積分公式，也是定理2（p103）給出的結(jié)論。b

a ，在f

(x)

f

(xk

)

（2）部分Ak<0nnk

0k

0

Ak

Ak

b

an

Ak

(或>>)b

ak

0

I

(

f

)

I

(

f

)

(或>>)

(b

a)這可能導(dǎo)致積分值的巨大誤差。因此，常常稱含有部分負(fù)積系數(shù)的求積公式是不穩(wěn)定的積分公式。Newton

Cotes公式4.2.1 Cotes系數(shù)§

4.2N-C公式：節(jié)點等距的插值型求積公式。這里介紹它的推導(dǎo)。將積分區(qū)間[a,

b]分為n等分，步長h=(b-a)/n，有等距節(jié)點：xk

a

kh(k

0,?,

n) 及節(jié)點函數(shù)值f(xk)

。nnk

0可構(gòu)造節(jié)點等距的Lagrange插值多項式：Ln

(x)

f

(xk

)lk

(x)

f

(x)k

0并由它的積分近似

f

(x)的積分，得到求積公式：In

Ak

f

(xk

)其中：bb(x

xo

)?(x

xk

1

)(x

xk

1

)?(x

xn

)kadxA

lk

(x)dx

a

(xk

xo

)?(xk

xk

1

)(xk

xk

1

)?(xk

xn

)由于節(jié)點等距，引入變量代換：

x

a

th積分節(jié)點為： xk

akh

(k

0,?,n)積分系數(shù)可表示為：0nnk(n)kCt

jA

hdt

(b

a)k

jj

0j

knn其中：0(n)k

t

j

dtC1n j

0

k

jj

k——Cotes系數(shù)k(a

)kCA

(b

a)是N-C公式中積分系數(shù)與Cotes系數(shù)之間的關(guān)系，即相差積分區(qū)間長度這個因子?；蛘哒f，積分系數(shù)與積分區(qū)間長度有關(guān)系，而Cotes系數(shù)則不依賴于積分區(qū)間長度。這樣Cotes系數(shù)可以制成表格（表4-1所示），再乘以積分區(qū)間長度就是積分系數(shù)，使用十分方便。下面比較詳細(xì)理解三種常用的低階公式，即：n=1

,2

,4n

1h

b

a ，2個節(jié)點：a

,b，函數(shù)值：f(a), f(b)y用一次Lagrange插值多項式L1(x)近似

f(x)構(gòu)造N-C公式：12I

b

a

[

f

(a)

f

(b)]

f

(a)f

(

b)f

(x)L(

x

)——梯形公式L1(x)abxa

b

,n

2,h

b

a

,三個節(jié)點：

a, b2 2用二次Lagrange插值多項式

L2(x)近似 f(x)

構(gòu)造N-C公式：b

aa

bI2

[

f

(a)

4

f

()

f

(b)]

S6 2——著名的Simpson

公式積分系數(shù)從Cotes系數(shù)表中查出，乘積分區(qū)間長度（b-a）即可。4kh

(b

a)

,n

4,

五個節(jié)點：

x

a

kh,

k

0,1,

2,

3,

4I

b

a

[7

f

(x

)

32

f

(x

)

12

f

(x

)

32

f

(x

)

7

f

(x

)]

C4 01 2 3 490——Cotes積分公式4.2.2 偶階求積公式的代數(shù)精度偶階求積公式：n為偶數(shù)的N-C公式。N-C公式是插值型求積公式，由定理1知道至少有n次代數(shù)精度，但定理3指出：定理3，當(dāng)n為偶數(shù)時，N-C公式至少有n+1次代數(shù)精度。如，Simpson公式是

n=2

的N-C公式，可證明它至少有2+1=3次代數(shù)精度，書上有簡單推導(dǎo)。定理3的結(jié)論很重要，但證明不要求，也可以不看。下面討論幾種低階求積公式的余項。4.2.3 幾種低階求積公式的余項思考：N-C公式是插值型求積公式，余項是：bnaf

(n1)(

)R[

f

]

I

I

(n

1)!

(

n1)(x)dx即，等于插值余項的積分，為什么要進(jìn)一步討論呢？原因：以積分形式給出的余項表達(dá)式實際應(yīng)用以及理論分析都不夠方便，人們更樂于使用不帶積分符號，而是以微分形式表示的余項表達(dá)式。書上p107利用4.1.4求積公式余項的結(jié)論，直接給出辛普森公式的余項公式，我們這里用另外的方法進(jìn)行推導(dǎo)。推導(dǎo)之前，先復(fù)習(xí)第一積分中值定理：積分中值定理，若

f

(x),

g

(x)

在區(qū)間[a,b]有界、可積

，g

(x)在[a,b]內(nèi)不變號，f

(x) 連續(xù)，則在區(qū)間（a,

b）內(nèi)至少存在bbg(x)dx

成立。一點

(a,b)

，使：af

(x)g(x)dx

f

(

)a一、T（梯形）公式余項2!bTaR

I

T

f

(

)

(x

a)(x

b)dx?。篻

(x)

(x

a)(x

b)

0

x

[a,

b]則：12TR

f

()2b f

()(x

a)(x

b)dx

(b

a)3

(a,

b)a二、Simpson公式余項下面對推導(dǎo)證明做比較詳細(xì)的分析，便于理解，而且這里的證明思路在Gauss公式余項推導(dǎo)中也會用到。（1）推導(dǎo)遇到的困難Simpson公式是插值型的，可用插值余項的積分表達(dá)積分余項：262Sabb b

a

a

bR

I

S

f

(x)dx

[

f

(a)

4

f

f

(b)]

b(

f

(x)

L

(x))dxa

f

(3)

(

)

a

b(x

a)(x

)(x

b)dx3! 2a2但是，(x

a)(x

a

b

)(x

b)

不保號，x

[a,

b]ab+a+

b2因此，不能直接使用第一積分中值定理去除積分號，這就是Simpson積分余項推導(dǎo)中遇到的困難。不保號原因在于因子我們注意到，(x

a)(x

a

b

)(x

b)(x

a

b

)，222如果能將它變成

(x

a

b

)2

就可以了，即實現(xiàn)：(x

a)(x

a

b

)(x

b)

(x

a)(x

a

b

)2

(x

b)

2 2（2）解決困難的思路下面的推導(dǎo)對理解余項公式的推導(dǎo)是一個關(guān)鍵，請十分注意。Simpson公式為偶階

3次代數(shù)精度

對任意3次多項式p3

(x)準(zhǔn)確3 33 36 2ba即：

P

(x)dx

b

a

[P

(a)

4P

(

a

b

)

p

(b)]

0S=0bbb

aa

bb

aa

bRs

f

(x)dx

[

f

(a)

4

f

( )

f

(b)]

P

(x)dx

3[

p3

(a)

4

p3

( )

p3

(b)]3 33 36 26 26 2 6aab b

a a

b a

b [

f

(x)

p

(x)]dx

[(

p

(a)

f

(a))

4(

p

( )

f

( ))

(P

(b)

f

(b))]a從改寫后的Simpson積分余項表達(dá)式看出，如果

p3

(x)不是一個任意的3次多項式，而是一個滿足以下插值要求：3 332 2p

(a)

f

(a), p

(

a

b

)

f

(

a

b

), p

(b)

f

(b)（A

）的3次多項式，這樣，余項表達(dá)式的后3項為0，即：3bRS

[

f

(x)

p

(x)]dxa與Simpson余項公式的原始形式作對照，有：23b bRS

[

f

(x)

L

(x)]dx

[

f

(x)

p

(x)]dxaa其中：

p3

(x)

滿足插值要求（A）上述等式說明，由于Simpson公式有3次代數(shù)精度，它的積分余項可以轉(zhuǎn)化為

f(x)對任一個3次插值多項式的余項的積分，它為問題的最終解決提供了重要條件。若記：P3：滿足插值要求（A）的全體

p3

(x)，而P3是一個無窮集合。下面的示意圖可以很好地表達(dá)Simpson積分余項的上述關(guān)系式。3ba[f

(x)p

(x)]dxp3

(x).3p*

(x)2ba[

f

(x)

L

(x)]dx上圖形象表示，由于Simpson公式具有3次代數(shù)精度，它的積分余項可以轉(zhuǎn)化為

f(x)對P3中任一3次插值多項式的插值余項的積分。3而P

是一個無窮集合，可在其中尋找，其插值余*3p (x)

P3*2a

b項：。32f

(x)

p

(x)

~

k

(x)(x

a)(x

)

(x

b)（3）取p*

(x)

p(x)322o 1（P36，例題

：x

a，x

a

b

，x

b ）例中的3次插值多項式

p(x)的插值余項：f

(4)(

)R(x)

f

(x)

p(x)

(x

x

)(x

x

)2

(x

x

)0 1 24!0 122?。?/p>

x

a，x

(a

b)，x

b3 332 2p*

'(

(a

b))

f

(

a

b

)p*

(a)

f

(a)，

p*

(

a

b

)

f

(

a

b

)，

p*

(b)

f

(b)32 23f

(x)

p*

(x)

f

(x)

p(x)(

f

(x)

H

(x))有：余下的推導(dǎo)利用第一積分中值定理，可得結(jié)果：Rs(

x)

b

a

(

b

a

)4

f

(4

)(

)180 2（2.5）三、Cotes公式余項（2.6）Rc

(

x)

2(b

a)

(

b

a

)6

f

(6)(

)945 4不具體推導(dǎo)了，也不要求推導(dǎo)，但要了解結(jié)論。高階N-C公式積分余項有其它推導(dǎo)方法，這里不討論。小結(jié)：N-C公式的優(yōu)缺點優(yōu)點：1、計算方便，有現(xiàn)成的Cotes系數(shù)表可查，可方便使用不同階數(shù)的積分公式。2、它往往是構(gòu)造其它有效求積方法的基礎(chǔ)。N-C公式有廣泛的應(yīng)用。缺點：1、高階N-C公式，精度未必高。N-C公式是由等距Lagrange插值多項式近似被積函數(shù)構(gòu)造的插值型求積公式，其積分余項為：nbk kaf

(x

)l

(x)]dxk

0R[

f

]

[

f

(x)

而在第2章曾指出，等距Lagrange插值存在Runge現(xiàn)象（P40，圖2-5）。這樣，即使增加積分節(jié)點，插值余項可能反而增大，導(dǎo)致積分余項也可能增大。2、高階N-C不穩(wěn)定P104，表4-1列出

n=1~8

的Cotes系數(shù)。n=8時，部分積分系數(shù)為負(fù)，根據(jù)我們前面對穩(wěn)定性的討論，部分積分系數(shù)為負(fù)的

求積公式是不穩(wěn)定的。南大數(shù)學(xué)系編：《計算數(shù)學(xué)簡明教程》指出，可以證明：nC

(n)n

kk

0因此，n

8的N-C公式一般不應(yīng)使用，可以采用性質(zhì)更好的求積公式，如復(fù)化N-C公式，Romberg方法，Gauss求積等等。§

4.3

復(fù)合求積公式“ ”基本思路： 通過分段的低階求積公式近似積分并求和 。幾個低階N-C公式可用于構(gòu)造復(fù)合公式：4.3.1 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式的推導(dǎo)余項收斂性穩(wěn)定性一、推導(dǎo)：將積分區(qū)間[a,

b]分為n等分，步長：h

(b

a)

/

n分點：xk

a

kh, k

0,?,

n在每個小區(qū)間，用梯形公式作近似積分：xk

1f

(x)dx

h

[

f

(x

)

f

(x )]2kkxk

1再將各小區(qū)間的近似積分求和，即得[a,b]上的近似積分：f

(x)dx

f

(xk)

f

(b)]

Tn (3.2)22bahn1

hn1k k

1[

f

(x

)

f

(x

)]

[

f

(a)

2I

k

0k

1——復(fù)合梯形公式用圖表示為：對每個內(nèi)部節(jié)點來說，它總是同時屬于兩個相鄰的小區(qū)間。

因此，每個內(nèi)點函數(shù)值總出現(xiàn)兩次，即為上式（3.2）（P106）小結(jié)：概括地說，復(fù)合梯形公式實際就是分段線性插值構(gòu)造的求積公式。因此，復(fù)合梯形公式可概括為：“通過分段線性插值近似被積函數(shù)構(gòu)造的求積公式”。二、余項在小區(qū)間[xk

,

xk

1

]

的梯形公式積公余項微分表達(dá)式為：2 12kxxk

1k k

13f

(x)dx

h

[

f

(x

)

f

(x )]

h f

(

)k求和，得總余項：32121212kkhn(T

nh f ()b

an1

h3I

f ( )

f ( ))

/

n

k

0n1k

0(3.3))(P107

[a,

b]

,f

(x)

C

2

[a,

b]12nkf

(

x )h]n

1k

0Tn

[f

(

x )h

k k

1f

(

x)

[a,

b]nT

'nT

''即復(fù)合梯形公式又可以拆分為之和，第一項相當(dāng)T

'

與

T

''n n于各小區(qū)間左端點函數(shù)值乘小區(qū)間長度并求和，而第二項可看作小區(qū)間右端函值乘小區(qū)間長度求和，只要

f(x)連續(xù)，兩項求和均有極限，而且恰為

f(x)在[a,b]的定積分，因此，只需假設(shè)

f(x)連續(xù)，即可得復(fù)合梯形收斂的結(jié)論。四、穩(wěn)定性復(fù)合梯形公式Tn的積分系數(shù)全部為正，由定理2可知復(fù)合梯形式是穩(wěn)定的。4.3.2 復(fù)合Simpson公式n-1k=0n-1n-1k)

+f

(

)]xxxk

1/

2k

1Sn

[f

(

)

4

f

(k=0k=1)

+

26h6hf

(f

( )

+

f

(b)

](P107

(3.5))xkxk

1/

2[f

(a)

4n(P107

(3.6))f

(4)(),b

a

h

4I

S

[a,

b]

,f

(x)

C

4[a,

b]180

2

它的推導(dǎo)、積分余項、收斂性及穩(wěn)定性等均可依照復(fù)合梯形公式做。特別強調(diào)復(fù)合公式的收斂階：nI

T

O(h2

)I

Sn

O(h )4I

Cn

O(h )6Cn是復(fù)合Cotes公式，有最高的收斂階，誤差下降最快。從上面分析看到，復(fù)合公式具有良好的收斂性與穩(wěn)定性，但使用上仍會遇到這樣兩個問題：公式選擇：復(fù)合梯形公式最簡單，計算量也小，但收斂速度最低；而復(fù)合Cotes公式收斂階最高，但公式復(fù)雜，各有優(yōu)缺點。步長選擇：h=?

，n=?

。

n太大，精度足夠，但計算量也大；反之，可能精度不夠。第4章課后練習(xí)

(10)作業(yè)：

四、4、5、6、7預(yù)習(xí)：

4.5、4.6§4.4 龍貝格求積公式下面將要介紹的Romberg算法具有幾個顯著的計算性質(zhì)：僅使用復(fù)合梯形公式，（僅計算Tn）逐次二等分區(qū)間，（區(qū)間自動選?。┚哂羞h(yuǎn)高于2階的收斂速度，（收斂階>>2）由于Romberg算法以區(qū)間逐次二等分的復(fù)合梯形積分為基礎(chǔ)，下面先推導(dǎo)區(qū)間逐次二等分過程中復(fù)合梯形公式的遞推化。4.4.1 梯形法的遞推化，復(fù)合梯形用到如設(shè)將區(qū)間分作n等分，積分步長

h

(b

a)

n下節(jié)點函數(shù)值。T2

n2而當(dāng)步長減半時，原來的區(qū)間被二等分，并增加節(jié)點

x 1

，圖k

中用“⊙”表示，二等分后的梯形值記為

T2n

，原區(qū)間復(fù)化梯形值為：2 22 21

[

h 1 hh2k

2f

(

x 1

)k

2

（

f

(

xk

)

2

f

(

x

1

)

f

(

xk

1

))]

[

(

f

(

xk

)

f

(

xk

1

)]

將各小區(qū)間復(fù)合梯形值相加，整理，有：11

)(P132,

(4.1))1

n1

h h

n1h

n1T2n

[

f

(xk)

f

(xk

1

)]

f

(x1

)

Tn

f

(x2k

2k

22k

0

22k

02k

0其中，Tn與T2n分別表示積分步長減半前后兩個復(fù)合梯形積分值。公式表明：步長減半后的梯形值可使用減半前的梯形值加上新增節(jié)點函數(shù)值之和而遞推得到，節(jié)約了計算量，這個遞推公式是Romberg算法的基礎(chǔ)。4.4.2&4.4.3 Romberg算法思想與公式（外推技巧與Romberg算法）一、理論基礎(chǔ)Romberg算法的理論依據(jù)是復(fù)合梯形公式誤差展開定理：定理4：設(shè)

f(x)

C

[a,

b]

，則有：24T

(h)

I

h

2??h ?

h

?1 2 ??其中，系數(shù)

??(??

1,?)

與h無關(guān)。了解定理的條件和結(jié)論即可，證明可不必深究。定理條件要求積函數(shù)

f(x)任意高階可導(dǎo)，十分重要，是展開式的重要條件。定理結(jié)論指出復(fù)合梯形公式積分誤差關(guān)于積分步長h的展開式。T

(h)

I

1h

h ?2 42左端T(h)-I

就是積分步長為h時，復(fù)合梯形公式的積分余項。可把展開式中

1h

看作誤差主項，即有：T

(h)

I

0(h

)2 2與前面剛導(dǎo)出的復(fù)合梯形公式有2階收斂性是一致的。二、算法思想與公式為了后面函數(shù)表使用的符號一致，在符號上做些約定：記：(

n)0Th

(b

a)

/

2n

, T

(h)

二等分：0,hT

( )22n1h

(b

a)2

T

(n1)這里約定：下標(biāo)0，表示梯形法，上標(biāo)n，表示積分區(qū)間被等分為2n個小積分區(qū)間。根據(jù)定理4，二等分前后兩個梯形值的誤差可表示為：2 4o 1 2T

(h)

I

T

(n)

I

h

h ?

①24 16oT

(h)

I

T

(n1)

I

1

h2

2

h4

? ②(4②-①)

/

3,

有3 3

2

_

24T

(n1)

4I

T

(n)

I

0 0

4 h4?整理有：44(

p111,

(4.4))

24T

(n1)

T

(n)

0 0

I

h ?3(n1) (n)4T

-

T(n)

0 0 1 3T令：46——Richardson外推有：(n)112T-

I

h

h ?

O(h4

)注意：為了避免混淆，將梯形值序列用T0表示，而由梯形值序列相鄰兩個值線性組合產(chǎn)生的值序列記為T1，這個線性組合過程就是Richardson外推。值序列的收斂階已明顯高于插值梯形值序列(n)1可以看到，

T(n)0T即達(dá)到復(fù)合Simpson公式的收斂階。但應(yīng)當(dāng)注意，值序列(n)1T并不是直接由復(fù)合Simpson公式逐次二等分得到，而是由梯形序列經(jīng)Richardson推得到，是由梯形值序列相鄰兩個值的線性組合計算得到的。(n)1T4值序列誤差展開的首項已是

1

。類似地，容易

h注意到(n)(n)從值序列每兩個相鄰的如下線性組合得到 值序列：1T2T(n)16T

(n1)

T

(n)

1 1 T2156862 12其誤差展開式為：T

(

n

)hhhI

?

O(

)同理，以 值做外推，可構(gòu)造 值序列：2T

(

n)3T

(

n)(n)T364T

(n1)

T

(n)

2 2 63——Richardson外推3

I

O(h8

)其誤差展開式為：

T

(

n)這個過程可以繼續(xù)下去，從而構(gòu)造出新的、收斂階更高的積分值序列，P112（4.9~4.11）給出一般情形構(gòu)造具有不同收斂速度值序列的遞推公式，請搞清楚。下面可用圖的形式說明Romberg算法的計算過程：首先計算再將區(qū)間二等分計算，，外推0T

(0)0T

(1)1T

(0)判，判?否，計算 ，……判斷誤差、外推等步驟總1 0T

(0)

T

(0)

T

(2)1？否，計算 0 ，

外推 2

，T

(1)

T

(0)1 2T(0)

T

(0)

(3

)0T是交替進(jìn)行。外推k

二等分如果

f(x)

從分光滑，則表4-4中的每一列及對角線元素均收斂到原積分：mk

lim

(k

)

Ilim

(0)

I(m固定)mm小結(jié)：Romberg算法思想可概括為：以復(fù)合梯形求積公式的誤差展開式（定理4）為依據(jù)，在形成步長減半的梯形值序列中，通過理查森（Richardson）外推構(gòu)造收斂階更高的值序列?！?.5 自適應(yīng)積分方法復(fù)合求積方法通常用于被積函數(shù)在積分區(qū)間變化不大的數(shù)值積分。對于被積函數(shù)在積分區(qū)間變化很大的情況，如函數(shù)一部分比較平緩，另一部分變化很劇烈。為了達(dá)到一定的積分精度，需要對區(qū)間進(jìn)行步長更小的劃分，實際上這對于函數(shù)變化比較平緩的部分是不必要的，增加了計算量。如果采用非統(tǒng)一的區(qū)間劃分方法，即函數(shù)變化劇烈的部分將區(qū)間進(jìn)行更細(xì)的劃分，而函數(shù)變化平緩的部分可以采用更大的步長，使在滿足精度要求的前提下，減小計算量。這種針對被積函數(shù)在區(qū)間上變化情況，采用不同步長的方法關(guān)鍵是預(yù)測函數(shù)在區(qū)間上變化的劇烈程度，確定積分步長，這種方法稱為自適應(yīng)積分方法。

書上以辛普森公式為例介紹了這種方法，請自己看看。另外，p115有一個例題7，也請自己看看?！?.6Gauss求積公式4.6.1 一般理論一、問題提出n討論形如：的求積公式In。bak

0I

f

(x)

(x)dx

Ak

f

(xk

)

I

n前面介紹的N-C公式、復(fù)合N-C公式等，對積分節(jié)點的分布是有限制的，即等距，然后定積分系數(shù)。如果將積分節(jié)點與積分系數(shù)一樣都看作可供選擇的待定常數(shù)，共有2n+2個待定常數(shù)，是否可構(gòu)造具有更高代數(shù)精度的求積公式呢？根據(jù)前面給出的補充定理0，即對1，x,…,xm準(zhǔn)確。(1)nb

f

(x)

11

(x)dx

Ak(2)abaxkk

0n

f

(x)

x

x

(x)dx

Akk

0nbmmf

(x)

x

x

(x)dx(m

1)?mkaAk xk

0共可列出m+1個方程，定2n+2個待定常數(shù)。

m+1=

2n+2可見：這種形式求積公式的代數(shù)精度，最高可為2n+1次，稱為Guass型求積公式，或具最高代數(shù)精度的求積公式。n定義4，形如I

n

Ak

f

(xk

)

的求積公式具有2n+1次代數(shù)精度，k

0則稱為Guass求積公式，其節(jié)點為Gauss點。常用的構(gòu)造Gauss型求積公式的方法有以下兩種：1、待定常數(shù)法：利用補充定理0，列出求積公式對1，x,……x2n+1準(zhǔn)確成立的2n+2個非線性代數(shù)方程，定出其中n+1個積分系數(shù)及n+1個積分節(jié)點，如例8（p117），但n較大時，工作量很大。2、先求Gauss點，再定積分系數(shù)：

首先把Gauss點的特征性質(zhì)搞清楚。二、Gauss點的特征性質(zhì)n為Gauss點的充要條件是：定理5，插值型求積公式：

In

Ak

f

(xk

)k

0其節(jié)點：

a

xo

x1

?

xn

bn1

(x)

(x

xo

)?(x

xn

)與任何次數(shù)不超過n次的多項式

p(x)

帶權(quán)(x)正交，即：bap(x)n1

(x)(x)dx

0證明：Hn：次數(shù)≤n的多項式全體，

P(x)

H

n正交性成立。必要性： xo

,?,

xn

為Gauss點

In有2n

1次代數(shù)精度

對p(x)n1

(x)

H2n1準(zhǔn)確即：nbap(x)n1

(x)

(x)dx

Ak

p(xk

)n1

(xk

) =0k

0正交性得證。充分性：abp(x)

(x)

(x)dx

0n1p(x)

Hn其中:

n1

(x)

(x

xo

)?(x

xn

),已知：要證：以

xo

,?,

xn

為節(jié)點的求積公式In對任意多項式

f

(x)

H2n1準(zhǔn)確成立：nbaf

(x)

(x)dx

Ak

f

(xk

)k

0證明可分兩個小步驟進(jìn)行：（1）用

n1

(x)除f

(x)f

(x)

p(x)n1

(x)

q(x)

2n

1

n n

1

n=0

f

(xk

)

p(xk

)n1(xk

)

q(xk

)(k

0,?,

n)即：

f

(xk

)

q(xk

) (k

0,?,

n)在所在節(jié)點上，f

(x)

與

q(x)

有相同的函數(shù)值，q(x)

是用

n1

(x)除

f

(x) 所得余式。bb=0正交性條件b（2）aaanbp(x)q(x)

(x)dxn1f

(x)

(x)dx

(x)

(x)dx

anq(x)

(x)dx

Ak

q(xk

)k

0插值型求積公式至少有n次代數(shù)精度

Ak

f

(xk

)k

0由（1）的結(jié)論得即有：nbaf

(x)

H2n1f

(x)

(x)dx

Ak

f

(xk

) 成立,k

0第四章課后練習(xí)

(11)作業(yè)：

四、8（1）、13、14（3）預(yù)習(xí)：

5.1、5.2高斯型求積公式的推導(dǎo)余項收斂性穩(wěn)定性三、Gauss點的確定定理5關(guān)于Gauss點的充分條件是尋找Guass點的基本依據(jù)：它們一定是某個n+1次多項式的n+1個單重零點；這n+1次多項式應(yīng)與任一數(shù)數(shù)≤n的多項式正交，歸納起來，n1

(x)

應(yīng)滿足：bap(x)n1

(x)(x)dx

0,1、正交性：2、單根：n1

(x

xo

)?(x

xn

),p(x)

Hnxo

,?,

xn

[a,

b]為了便于考慮，暫時不考慮第二個要求而注意第一個正交性要求。那么，很自然應(yīng)當(dāng)在正交多項式族里找。設(shè)：

{

0,?,

n,

n1}

為[a,

b]

關(guān)于權(quán)的正交多項式族，即0 j

k

n

1bj ka

(x)

(x)

(x)dx

0

j

k

n

1考察其中次數(shù)最高的n+1次多項式

n1

(x)

的性質(zhì)：(k

0,?,

n)n(

n1

,

k

)

0,(

k線性無關(guān))

(

n1

,

ak

k

)

0,k

0

(

n1

,

p(x))

0,P(x)

Hnb baap(x)p(x)n1n1 n(x)(x)dx

(x)(x)dx

0p(x)

H重要結(jié)論：在正交多項式族

{

0

,?,n1}中，若?。簄1

(x)

n1

(x)則：同時，注意正交多項式一個重要性質(zhì)：正交多項式族中任一多項式的所有根均為單根，而且都屬于正交區(qū)間內(nèi)。這正是定理5對Gauss點所要求的，這樣，當(dāng)n+1(x)取做正交多

項族中n+1(x)時，它同時滿足正交性及單重零點的要求，這樣，Gauss點的確定轉(zhuǎn)化為多項式求根的問題，這里不做討論了。下面討論Gauss點確定之后，如何計算積分系數(shù)。四、積分系數(shù)的計算兩種常用方法：1、設(shè) 為Gauss點，xo

,?,

xnn

In

Ak

f

(xk

)有2n+1次代數(shù)精度k

0

In為插值型求積公式bkaAk

l

(x)(x)dx(k

0,?,

n)

積分系數(shù)其中：lk

(x)是以xo

,?,

xn

為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)。2、應(yīng)用定理0，列方程求作為待定常數(shù)的積分系數(shù)，如P122，4.6.2給出的一個例子。五、Gauss公式的余項定理5’，對Gauss型求積公式，其余項：nk

0I

n

Ak

f

(xk

)(5.8)nbbnaaR

(x)

(x)dxf

(2n1)()n1k

0[

f

]

f

(x)

(x)dx

Ak

f

(xk

)

(2n

2)!其中,

n1

(x)

(x

-

x0

)?(x

-

xn

)希望將余項的積分形式轉(zhuǎn)化成微分形式。書上的證明過于簡略，不好理解，這里做些輔助分析，以便于更好理解書上的證明，

它的證明與推導(dǎo)與Simpson積分余項幾乎完全相同，下面做簡單分析，其余大家補充完成。1、推導(dǎo)遇到的困難總的思路是利用積分中值定理，將余項的積分表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)槲⒎直磉_(dá)式，但下面的推導(dǎo)遇到了困難：Gauss型公式In有2n+1次代數(shù)精度 插值型n余項：babf

(

)xkRnk

0[

f

]

f

(x)

(x)dx

[

f

(x)

L

(x)]

(x)dx

Aknabaf

(n1)(

)(n

1)!

n1

(x)

(x)dx盡管

(x)

0

，但

n1

(x)

(x

xo

)?(x

xn

) 不保號，不能應(yīng)用積(x)分中值定理而脫去積分號。因此，若能出現(xiàn)：

n1(x)

問題即告解決。2n12、解決困難的思路上述轉(zhuǎn)變是可能的，根本原因在于In有2n+1次代數(shù)精度：nIn為Gauss型求積公式bap2n1

(x)對任意2n+1次多項式p2n+1(x)準(zhǔn)確：(x)dx

Ak

p2n1

(xk

)k

0若取：

p2n1

(xk

)

f

(xk

)(k

0,?,

n)（A）nbak

0p2n1

(x)(x)dx

Ak

f

(xk

)

Inba(x)](x)dx2n1

Rn

[

f

]

I

In

[

f

(x)

p這樣，Gauss

型積分余項可以轉(zhuǎn)化為 f(x)

對任一個2n+1次插值多項式插值余項的積分。記，P2n+1：滿足插值要求（A）的2n+1次多項式的全體。則，

P2n+1是一個無窮集合，我們需要在P2n+1中找到一個2n+1次插值多項式

p*2n+1(x)，滿足插值余項：2(x)f

(x)

p* (x)

~

K

(x)2n1n13、取p*(x)

H

(x)2

n12

n1滿足：p*2

n12

n1

k

k(x)

H (x

)

f

(x

) (k

0,?,

n)p

'* (x)

H

(x

)

f

(x

)2

n1

2n1

k

k

余下推導(dǎo)請參看P120。六、Gauss公式的收斂性與穩(wěn)定性定理6，Gauss公式積分系數(shù)均為正。（證明自己看）推論，

根據(jù)前面的定理2可知其穩(wěn)定性。定理7，設(shè)f

(x)

[a,

b]

，則

高斯求積公式：nbaI

是收斂的，即：f

(x)

(x)dx

Ak

f

(xk

)

I

nk

0limnbf

(x)

(x)dxAk

f

(xk

)

定理7給出收斂性的結(jié)論。證明不要求，了解結(jié)論即可。an

k

04.6.2 Gauss-Legendre求積公式Legendre多項式零點作為Gauss點[-1.1] ，

(x)

1

，以

Pn1

(x)的求積公式，自己看。4.6.3 Gauss-Chebyshev求積公式，以

n+1次Chebyshev多項式零點為[-1.1]，

(x)

11

x2Gauss點構(gòu)造的積分公式，自己看。4.6.4 無窮區(qū)間的高斯型求積公式4.7 多重積分不要求不要求§4.8

數(shù)值微分科學(xué)計算中往往需要知道某個函數(shù)的變化情況，要知道它在某些點的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)……，

但遇到的函數(shù)

f(x)

可能：（1）十分復(fù)雜，（2）表格函數(shù)。使用一般求導(dǎo)規(guī)則可能太繁，或不可能。因此，必須借助數(shù)值導(dǎo)數(shù)、數(shù)值微分，即求近似導(dǎo)數(shù)。4.8.1 中點方法與誤差分析自己看一下，它是下面將要介紹的插值型求導(dǎo)公式的一種。4.8.2 插值型求導(dǎo)公式一、求導(dǎo)公式構(gòu)造思想與構(gòu)造求積公式