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文檔簡(jiǎn)介

第一章函數(shù)極限連續(xù)第四節(jié)無(wú)窮小量的比較

定義

設(shè)

(

x

)和

b

(

x

)

為(

x→x0

或

x→)

兩個(gè)無(wú)窮小量.若它們的比有非零極限，

若

c=1，則稱

(

x

)和

b(x

)為等價(jià)無(wú)窮小量，則稱

(x

)

和

b

(x

)為同階無(wú)窮小.

并記為

(

x

)~

b(

x

)，(

x→x0

或

x→).即例如，在x→0

時(shí)sinx和5

x都是無(wú)窮小量，且所以當(dāng)x→0

時(shí)，sinx和5x是同階無(wú)窮小量.又如，因?yàn)樵趚→0

時(shí)，x，sinx，tanx，1

-

cosx，ln(1+

x)

等都是無(wú)窮小量.所以，當(dāng)x→0

時(shí)，x與sinx，x與tanx，都是等價(jià)無(wú)窮小量，x

~sinx，x

~tanx，ln(1+x)~

x.即x與ln(1+x)并且

定義

設(shè)

(

x

)和

b

(x

)為x→x0(或

x→)

時(shí)的無(wú)窮小量，則稱當(dāng)

x→x0(或

x→)時(shí)，

(

x

)是

b

(

x

)的高階無(wú)窮小量，例如，x2,sin

x都是x→0時(shí)的無(wú)窮小量,且所以，當(dāng)x→0時(shí)，x2是sin

x的高階無(wú)窮小量，即x2=o(sinx).或稱

b

(

x

)是

(

x

)的低階無(wú)窮小量，記為

(

x

)=o(b

(

x

))

.若它們的比的極限為零，即

定理1

設(shè)

(

x

)~1(

x

)，b

(

x

)~b1(

x

)，且存在(或無(wú)窮大量)，則也存在或(無(wú)窮大量)，并且證由定理?xiàng)l件可知因此有即可仿上面的證法.例1解因?yàn)閤→0時(shí)，ln(1+x)~x，ex

-1~x，所以例2解因?yàn)閤→0時(shí)，tan5x~5x，所以例4解若直接用x代替tanx及sinx，因?yàn)?，雖然tanxx，sinx

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