概率論研究的對(duì)象是什么？現(xiàn)象確定現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象引言第七章概率論基礎(chǔ)問題提出1.水從高處流向低處；2.水的沸點(diǎn)攝氏100度(標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下);3.太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起.確定性現(xiàn)象:在一定條件下必然發(fā)生(必然不發(fā)生)的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象例1.拋擲硬幣，出現(xiàn)正面還是反面？例2.車站等車人數(shù)。例3.同一種病用同一種藥的結(jié)果概率論研究的對(duì)象是：隨機(jī)現(xiàn)象概率論研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，研究隨機(jī)現(xiàn)象什么問題呢？

在大量試驗(yàn)或觀察中,這種隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)的各種結(jié)果具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,（舉例）。概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.本章主要內(nèi)容：1、隨機(jī)事件及其概率2、隨機(jī)變量及其分布和數(shù)字特征3、大數(shù)定律和中心極限定理概率論在氣象、生物學(xué)、臨床醫(yī)學(xué)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)、軍事等各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。第一節(jié)隨機(jī)事件及其概率第二節(jié)概率基本運(yùn)算法則

及其應(yīng)用第三節(jié)隨機(jī)變量及其概率分布第四節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征第五節(jié)*大數(shù)定律和中心極限定理7.1.1隨機(jī)事件7.1.2事件關(guān)系及運(yùn)算7.1.3隨機(jī)事件的概率第一節(jié)隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題

什么是隨機(jī)試驗(yàn)?7.1.1隨機(jī)事件1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).定義1：在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)（簡(jiǎn)稱試驗(yàn)）說明：隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，通常用E來表示

實(shí)例“拋擲一枚硬幣,觀察字面,花面出現(xiàn)的情況”.分析:(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:字面、花面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

故為隨機(jī)試驗(yàn).1.“拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.2.“從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù)”.同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn)3.考察某地區(qū)10月份的平均氣溫.在隨機(jī)試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。用A,B,C表示，如擲一枚骰子基本事件必然事件復(fù)合事件不可能事件所有基本事件組成的集合，成為樣本空間，記為Ω，不包含任何基本事件的空集記作?事件A與B相等；記作A=B，表示AB并且BA.例如:…AB1.2事件的關(guān)系及運(yùn)算:

1.事件A包含B（B包含于A）：表示事件B發(fā)生事件A必然發(fā)生，記作ABé（或BAì）。例如:A（擲出奇數(shù)點(diǎn)）B(擲出一點(diǎn))

A+BABAB5.事件A與B的差事件：表示A發(fā)生而B不發(fā)生，記作A-B，例如:…A-BABBA幾個(gè)成立的等式例1設(shè)有三人做尿常規(guī)化驗(yàn)，用A表示至少有一人不正常，B表示三人都正常，C表示三人中恰有一人不正常，試問哪些是對(duì)立事件？哪些是互斥事件？B+C,A∩C,A–C各表示何實(shí)際意義？解：事件A與B是對(duì)立的，事件B與C和事件A與B均是互斥事件，B+C表示最多一人不正常，A∩C=C表示恰有一個(gè)人不正常，A–C表示至少有二人不正常例2設(shè)A、B、C三事件，則如何表示：1、A發(fā)生而B與C都不發(fā)生可表示為 2、A與B都發(fā)生而C不發(fā)生可表示為3、這三個(gè)事件恰好發(fā)生兩個(gè)可表示為4、這三個(gè)事件不多于一事件發(fā)生可表示為5、A、B、C不都發(fā)生可表示為定義2：大量重復(fù)試驗(yàn)（觀察）Ｎ次，Ａ出現(xiàn)m次，事件A的頻率為：頻率W(A)=一、頻率和概率的統(tǒng)計(jì)定義7.1.3隨機(jī)事件的概率1.非負(fù)性：0≤W(A)≤13.可加性:若A與B是兩個(gè)不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，以A+B表示A或B至少出現(xiàn)其一這個(gè)事件，則W(A+B)=W(A)+W(B)頻率的性質(zhì)：2.規(guī)范性:Ω為必然事件，則W(Ω)=1，?為不可能事件，則W(?)=0例3表7-1擲幣試驗(yàn)試驗(yàn)者投擲次數(shù)N正面數(shù)m頻率DeMorgram204810610.5181Buffon404020480.5069Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005結(jié)論：大量重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)正面頻率接近50%。思考：少量的試驗(yàn)（如7次）能否出現(xiàn)同樣結(jié)果？例4

表7-2英文字母使用頻率分布字母頻率字母頻率字母頻率空格0.2H0.047W0.012E0.105D0.035G0.011T0.072L0.029B0.0105O0.0654U0.0255V0.008A0.063C0.023K0.003N0.059F0.0225X0.002I0.055M0.021J0.001R0.054P0.0175Q0.001S0.052Y0.012Z0.001結(jié)論：可能性的大小具有穩(wěn)定性注1：頻率與試驗(yàn)有關(guān)，是不確定的數(shù)，但概率是事件的客觀屬性，是確定的數(shù).注2：給出一個(gè)求概率的方法, 如果在某一組條件下，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多，事件A出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近作微小擺動(dòng)，稱常數(shù)p為事件A的概率。記作P(A)=p.定義3（概率的統(tǒng)計(jì)定義）例5人類的血型可以分成A、B、O和AB四種類型，倫敦的一個(gè)血液中心記錄了若干年里供血者的血型，其O型頻率0.467，A型頻率0.417，B型頻率0.086，AB型頻率0.030，那么以頻率表示概率，從英國(guó)人中隨意抽出一人驗(yàn)血型是B型的概率為：P（B）=0.086，同理P（AB）=0.03，P（O）=0.467，P（A）=0.417醫(yī)學(xué)應(yīng)用1.非負(fù)性：0≤P(A)≤12.規(guī)范性:Ω為必然事件，則P(Ω)=1，?為不可能事件，則P(?)=03.可加性:若A與B是兩個(gè)不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，以A+B表示A或B至少出現(xiàn)其一這個(gè)事件，則P(A+B)=P(A)+P(B)（統(tǒng)計(jì)）概率的性質(zhì)：二、概率的古典定義定義4：若隨機(jī)試驗(yàn)有且只有n個(gè)基本事件，且每個(gè)基本事件的概率都為1/n,則稱為等概基本事件組. 如B事件是其中m個(gè)基本事件之和，則B發(fā)生的概率為:P(B)=m/n例6瓶中裝有30片藥，其中6片已經(jīng)失效，現(xiàn)從瓶中任取5片，求其中2片失效的概率？解：設(shè)B為“現(xiàn)從瓶中任取5片，其中2片失效”的事件n=C305=142506m=C62C243=30360

P(B)=C62C243/C305=0.213

例7設(shè)有n個(gè)球，每個(gè)都能以同樣的概率1/m落到m個(gè)格子（m≥n）的每一個(gè)格子中，試求:2.任何n個(gè)格子中各有一球的概率？1.指定的n個(gè)格子中各有一球的概率；解：∵每個(gè)球可落入m（≥n）個(gè)格子中的任一個(gè)∴n個(gè)球在m個(gè)格子中的排列相當(dāng)于從m個(gè)元素中選取n個(gè)進(jìn)行有重復(fù)的排列，故共有mn種基本事件總數(shù)第一題，n個(gè)球在指定的n個(gè)格子中全排列n！因此概率為n！/mn第二題，從m個(gè)格子中任意選出n個(gè)格子，有Cmn種，對(duì)于每種選定的n個(gè)格子，如第一題的全排列n！，所求基本事件的個(gè)數(shù)為Cmn·n!,故概率為Cmn·n！/mn第二節(jié)概率基本運(yùn)算法則

及其應(yīng)用7.2.1概率的加法定理7.2.2條件概率和乘法公式7.2.3事件的獨(dú)立性7.2.4全概率公式與貝葉斯公式問題提出

則A+B包含的基本事件共有M1＋M2個(gè)，于是得證：按概率的古典定義來證明設(shè)試驗(yàn)的可能結(jié)果是由N個(gè)基本事件總數(shù)構(gòu)成，其中事件A包含M1個(gè)，事件B包含M2個(gè)，由于事件A與B互不相容，所以A包含的基本事件與B包含的基本事件一定是完全不相同的，7.2.1概率的加法定理定理1兩個(gè)互不相容事件A與B的和事件的概率等于事件A的概率與事件B的概率之和，即P(A+B)＝P(A)+P(B)。推論1若A1,A2,…，An是n個(gè)兩兩互不相容事件，則有P(A1+A2+…+An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)推論2事件A的逆事件的概率為定理2設(shè)A，B為任意二事件，則P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)

ABB-AAB證明：如圖A+B=A+(B-A)B=AB+(B-A)事件A與事件B-A互不相容，事件AB與事件B-A互不相容根據(jù)定理1得P(A+B)=P(A+(B-A))=P(A)+P(B-A)P(B)=P(AB+(B-A))=P(AB)+P(B-A)所以P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)推論3若A，B，C為任意三個(gè)事件，則P(A+B+C)＝P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)例8一批針劑共50支，其中45支是合格品，5支是不合格品，從這批針劑中取3支.求其中有不合格品的概率。解:

設(shè)A為“取到3支針劑中有不合格品”事件,Ai為“取到3支針劑中有i支是不合格品”事件,i=1,2,3,顯然A1,A2,A3互不相容,且A=A1+A2+A3由定理1知P(A)=

另解法:由推論2可得P(A)P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.276例9胃癌病人接受過手術(shù)(A)、放療(B)、中藥治療(C)的各有1/2．同時(shí)受過兩種治療方法的各有1/4

，接受過三種治療有1/8，另有部分病人因誤診等原因而未得到治療，這樣的可能性有多大?解：先求至少得到一種治療的概率于是所求的概率7．2．2條件概率和乘法公式

有許多實(shí)際問題，除要知道事件B的概率外，往往還要知道在事件A已發(fā)生的條件下B出現(xiàn)的概率．則這種概率可認(rèn)為條件概率,簡(jiǎn)記為P(B／A)。例如，在美國(guó)某大學(xué)高血壓研究中心就診的306名有末端器官損害的高血壓病人，按嚴(yán)重程度和有無心絞痛分類。各組病人數(shù)如下表

輕型至中型重型合計(jì)有心絞痛18725無心絞痛24338281合計(jì)26145306以A表示任選一名高血壓病人是重型患者，以B表示病人無心絞痛史，P(A)=45／306，P(B)＝281/306，P(AB)＝38/306

如果已經(jīng)知道一名病人是重型，且無心絞痛史的條件概率P(B／A)是多少?重型且無心絞痛的人數(shù)重型人數(shù)重型且無心絞痛人數(shù)占總?cè)藬?shù)的概率重型人數(shù)占總?cè)藬?shù)的概率定義5對(duì)事件A，B，若P(A)＞0，則稱P(B/A)＝P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件下事件B的條件概率同理對(duì)事件A，B，若P(B)＞0，則稱P(A/B)＝P(AB)/P(B)為在事件B發(fā)生的條件下事件A的條件概率定理3兩事件的積事件的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積：P(AB)＝P(A)P(B／A)＝P(B)P(A／B)

概率的乘法公式可以推廣有限多個(gè)事件的情形。例如，對(duì)于三個(gè)事件A,B,CP(ABC)＝P((AB)C)＝P(AB)P(C/AB)＝P(A)P(B／A)P(C/AB)例10在某一人群中，聾子(A)的概率是0.005，盲人(B)的概率是0.0085，而聾子中是盲人的概率為0.12，求盲人中聾子的概率?解：P(A)=0.005P(B)=0.0085P(B/A)=0.12P(A/B)=?P(A/B)=

7.2.3事件的獨(dú)立性

對(duì)于任意事件A，B,通常條件概率P(B／A)與概率P(B)是不相等的，即一個(gè)事件發(fā)生改變了另一個(gè)事件發(fā)生的概率，說明事件A與B有聯(lián)系，但是．生活中也有另外的一種情況存在，一個(gè)事件的發(fā)生與否不會(huì)影響另一事件的概率(P(B／A)＝P(B))。問題提出定義6設(shè)A，B兩事件，如果P(B／A)＝P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。若A與B相互獨(dú)立，則P(B／A)=P(B)，又有乘法公式P(AB)＝P(A)P(B／A)于是，P(AB)＝P(A)P(B)成立。反之亦然。定理4事件A與事件B相互獨(dú)立的充分必要條件是P(AB)＝P(A)P(B).例11有—種治療流行性感冒的新藥，在500名流行病人中，有的服了這種藥(A)，有的沒有服這種藥()，經(jīng)5天后，有的痊愈(B)，有的未痊愈()，各種情況的人數(shù)見下表，其中170表示服藥后痊愈(AB)的人數(shù)，其余類似。試判斷這種新藥對(duì)流感是否有效？療效服藥未服藥合計(jì)痊愈170230400未愈4060100合計(jì)210290500解：因?yàn)镻(B)與P(B/A)幾乎相等，故認(rèn)為A與B相互獨(dú)立。表明服藥和不服藥對(duì)療效影響不大，新藥對(duì)流感沒有意義。例12考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率一樣，第一次出生的是女孩的用A表示，第二次出生是男孩的B表示，說明A與B二事件是否相互獨(dú)立。解：兩個(gè)孩子家庭按出生先后順序排列共有四種可能結(jié)果：(女、女)，(女、男)，(男，女)，(男，男)；P(A)=2/4P(B)＝2/4P(AB)＝1/4顯然P(AB)＝P(A)P(B)，所以A與B相互獨(dú)立，即A發(fā)生的條件下，不影響B(tài)的概率。

例14某藥廠的針劑車間灌裝—批合格注射液，需經(jīng)4道工序，從長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)知，由于切割時(shí)掉入玻璃屑成廢品的概率為0.4％。由于安洗滌不潔成廢品的概率為0.2％．灌裝時(shí)污染劑液成廢品的概率為0.1％，由于封口不密成廢品的慨率為0.6％，求四道工序都合格概率。解:4個(gè)工序相互獨(dú)立。設(shè)Ai表示“第i道工序合格品”，i=1,2,3,4P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=(1-0.004)(1-0.002)(1-0.001)(1-0.006)=0.98717.2.4全概率公式與貝葉斯公式

定理5（全概率公式）設(shè)A1A2,…An是兩兩互不相容事件，且P(Ai)>0；

A2A1A3A5A4AnB證明：如圖A1A2,…An是兩兩互不相容事件

例15設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種X光片的次品率分別是1／10，1／15，1／20，從這10盒中任取—盒，再?gòu)娜〕龅倪@盒中任取一張X光片，抽到的X光片是正品的概率?

解：設(shè)A1,A2,A3分別表示取得的X光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，B表示x光片是正品。

P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10P(B/A1)=9/10,P(B/A2)=14/15,P(B/A3)=19/20

例17設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的x光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種x光片的次品率分別是1／10，1／15，1／20,從這10盒中任取一張X光片是正品，問抽到的X光片是甲廠生產(chǎn)的概率?

解：設(shè)A1,A2,A3分別表示取得的x光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，B表示x光片是正品。

P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10P(B/A1)=9/10,P(B/A2)=14/15,P(B/A3)=19/20問P(A1/B)=?定理6（貝葉斯公式）設(shè)A1A2,…An是兩兩互不相容，且P(Ai)>0，P(B)>0例16經(jīng)大量臨床應(yīng)用知道，某種診斷肝癌的試驗(yàn)有下述效果：“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”記為事件B，“被診斷患肝癌”的事件為A。據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，肝癌患者試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性的概率為0.94，即真陽(yáng)性率為P(B／A)＝0.94，非肝癌患者試驗(yàn)為陰性的概率為0.96，即真陰性率為P()＝0.96，對(duì)一群人進(jìn)行癌癥普查，假設(shè)被試驗(yàn)的人群中(指某一地區(qū))患肝癌的發(fā)病率為0.003，今有一人經(jīng)試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，求此人患肝癌的概率？

解：依題意，P(A)=0.003P(B/A)=0.94P()=1-P(A)=0.997結(jié)論是:試驗(yàn)為陽(yáng)性的人確實(shí)患肝癌的可能性并不大，僅為6.6％。例18為探討乳腺腫塊的鑒別診斷,調(diào)查了186個(gè)病例,根據(jù)病理報(bào)告,其中乳癌(A1)29例,纖維腺瘤(A2)92例,乳腺病(A3)65例,由此可得各病的概率如下:P(A1)=29/186=0.1559P(A2)=92/186=0.4946P(A3)=65/186=0.3495在各種并發(fā)病的條件下,有關(guān)重要癥候出現(xiàn)的概率的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)如下表:癥候表現(xiàn)乳腺(29例)纖維腺瘤(92例)乳腺病(62例)例數(shù)條件概率例數(shù)條件概率例數(shù)條件概率年齡(歲)B11<4040.1379740.8043540.8308B1240250.8621180.1957110.1692腫塊表面B21整齊20.0690450.4891300.4615B22不整齊270.9310470.5190350.5385硬度B31中40.137960.0652120.1846B32偏硬160.5517770.8370490.7588B33硬90.310490.097840.0616增大速度B41慢30.103440.0435160.2462B42中160.5517790.8587460.7077B43快100.433890.097830.0461邊界B51清楚10.0345510.5543190.2932B52欠清楚160.5517380.4130360.5538B53不清楚240.827630.0327100.1539腫塊長(zhǎng)度(cm)B61<2.7560.2069690.7500560.8615B622.75230.7931230.250090.1385解：該病例所出現(xiàn)的有關(guān)癥候表現(xiàn)的具體組合可用符號(hào)表示為：B=B11B21B32B41B53B61,假設(shè)各癥候表現(xiàn)的出現(xiàn)與否彼此獨(dú)立，則根據(jù)獨(dú)立事件概率可得P(B)=P(B11)P(B21)P(B32)P(B41)P(B53)P(B61)在A1發(fā)生的條件下，B出現(xiàn)的概率根據(jù)貝葉斯公式，可得在癥候B表現(xiàn)的條件下，乳癌A1發(fā)生的概率這說明是乳腺病的可能性最大，所以診斷該患者為乳腺病。課堂練習(xí)課堂思考探討乳腺腫塊的鑒別診斷

我們用變量X表示，例2：拋一枚硬幣，結(jié)果分為“正面”、“反面”7.3隨機(jī)變量及其概率分布目的：將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化以便于研究!例1：生化檢驗(yàn)結(jié)果分陽(yáng)性和陰性，X=0表正面；X＝1表反面。X=0表陰性；X＝1表陽(yáng)性。將不同問題轉(zhuǎn)化為研究相同取值的隨機(jī)變量例3

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有例1觀察投擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).[定義7]若對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果e，都有唯一的實(shí)數(shù)x(e)與之對(duì)應(yīng)，則稱x(e)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為x。隨機(jī)變量的分類離散型：取值為有限個(gè)或無限可列個(gè)；取值為某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸。連續(xù)型:

隨機(jī)變量X的可能值是:1,2,3,4,5,6.例2隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.則X的取值范圍為12345607.3.2離散隨機(jī)變量的概率分布和連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)一、離散隨機(jī)變量的概率分布[定義8]設(shè)X為—個(gè)離散隨機(jī)變量，可能取值為x1,x2…,

這些值對(duì)應(yīng)的概率為P(X=xk)=pk(k=1,2…)例19

設(shè)盒中有2個(gè)白球3個(gè)黑球，從中隨機(jī)取3個(gè)球，求抽得白球數(shù)的概率分布？解：令X表示抽得的白球個(gè)數(shù)，由于只有2個(gè)白球，所以隨機(jī)變量X可能取0、1、2數(shù)值，其相應(yīng)概率為：或者寫成分布列二．連續(xù)隨機(jī)變量概率密度函數(shù)1頻率直方圖簡(jiǎn)介例如．為了研究某地區(qū)12歲男孩身高情況，隨機(jī)地抽取120名男孩測(cè)得身高數(shù)據(jù)見表7—6：表7-6120名12歲男孩身高數(shù)據(jù)（單位：㎝）128.1144.4150.3146.2140.6139.7134.1124.3147.9143.0143.1162.0142.7137.6136.9122.7131.8147.7140.8127.6150.7160.3148.5156.9150.4154.3141.2139.4147.5132.9………………133.1142.8136.8133.1144.5142.4組號(hào)i區(qū)間頻數(shù)mi頻率mi/n1[122.0,126.0）40.0330.008252[126.0,130.0)90.0750.018753[130.0,134.0)100.0830.020754[134.0,138.0)220.1830.045755[138.0,142.0)330.2750.068756[142.0,146.0)200.1670.041757[146.0,150.0)110.0920.0238[150.0,154.0)60.0500.01259[154.0,158.0)40.0330.0082510[158.0,162.0)10.0080.002合計(jì)1201表7-7頻率分布表0.080.060.04 122130138146154 0.02mi/n/△xi0.080.060.04 122130138146154 0.02mi/n/△xi2．連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)[定義9]對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量x，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b(a＜b)，都有則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或概率密度.概率密度函數(shù)的性質(zhì)

這個(gè)頻率直方圖有明顯的特點(diǎn)，所有的矩形面積之和等于1，且矩形面積就是頻率。0.080.060.04 122130138146154 0.02mi/n/△xi0.080.060.04 122130138146154 0.02mi/n/△xi解：由概率密度函數(shù)的性質(zhì):=a/2因此，a=2，將其代入到密度函數(shù)中，得7.3.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)

對(duì)于離散型隨機(jī)變量：F(x)=P{X≤x}=

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量：F(x)=P{X≤x}=實(shí)際生活中有時(shí)也要解決隨機(jī)變量X在區(qū)間(-￥,x]上

取值的概率，

例21求本章例19中的分布列的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)解：當(dāng)x<0時(shí)，{X≤x}是不可能事件，=0F(x)=P{X≤x}=當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{X=0}=0.1當(dāng)1≤x<2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=0.7當(dāng)x≥2時(shí)，F(xiàn)(x)=P{X≤x}=1

Y0.10.71012x（2）分布函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)就是密度函數(shù)f(x).

連續(xù)隨機(jī)變量密度函數(shù)與分布函數(shù)關(guān)系是：（1）密度函數(shù)f(x)的積分就是分布函數(shù)；解:F(x)=P{X≤x}=當(dāng)0≤x<1時(shí)，F(xiàn)(x)=當(dāng)x≥1時(shí)，F(xiàn)(x)=1

當(dāng)x≤

0時(shí)，F(xiàn)(x)=0=x201xY1一、二點(diǎn)分布

7.3.4五種常見的隨機(jī)變量分布離散型隨機(jī)變量：二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布；連續(xù)型隨機(jī)變量：均勻分布和正態(tài)分布。二、二項(xiàng)分布

例如：重復(fù)n次拋一枚硬幣；某藥治某病分治愈或不治愈兩種結(jié)果，對(duì)n個(gè)病人進(jìn)行治療；這些試驗(yàn)均屬于n重伯努利試驗(yàn)。求在3次重復(fù)試驗(yàn)中事件A剛好出現(xiàn)2次的概率?

解：用Ai（i=1，2，3）表示事件A在第i次試驗(yàn)發(fā)生；用（i=1，2，3）表示事件A在第i次事件不發(fā)生。那么3次試驗(yàn)A出現(xiàn)2次的結(jié)果共個(gè)，即，

例23在100升經(jīng)消毒的自來水中，只能含有10個(gè)大腸桿菌，今從中取出l升水進(jìn)行檢驗(yàn)，問在這一升水中檢出2個(gè)大腸桿菌的概率是多少?如果真的檢查出有2個(gè)大腸桿菌，問這水是否合格?=(0.01)2(0.99)10-2=0.0041根據(jù)小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生，所以認(rèn)為這水是不合格的。

例24據(jù)報(bào)道，有10％的人對(duì)某藥有腸道反應(yīng)，為考核該藥療效，現(xiàn)任選5人用此藥，試求：(1)有腸道反應(yīng)的人數(shù)的概率分布；解：設(shè)服藥后有反應(yīng)事件為A，則P(A)=0.1，P()=0.9，設(shè)5人中有腸道反應(yīng)的人數(shù)為隨機(jī)變量X，因此，（1）X～B(5,0.1)，即=(0.1)k(0.9)5-k（k=0,1,2,…,5）(2)不多于2人有腸道反應(yīng)的概率；(3)有人有反應(yīng)的概率？（2)P{X≤2}=0.59049+0.32805+0.07290=0.9914（3）P{X≥1}=1-P5(0)=1-0.59049=0.40951三、泊松分布

數(shù)學(xué)歷史

適用條件:稀疏現(xiàn)象，如稀有元素含量；低發(fā)病的發(fā)病人數(shù)；單位時(shí)間內(nèi)交換臺(tái)呼叫的次數(shù)等(n＞50)很大，(p＜0.05)較小，泊松(1781-1840)法國(guó)數(shù)學(xué)家,青年時(shí)期曾學(xué)過醫(yī)學(xué),后因喜好數(shù)學(xué)于1798年入巴黎綜合工科學(xué)院深造。他的數(shù)學(xué)才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。

泊松的科學(xué)生涯開始于研究微分方程及其單擺的運(yùn)動(dòng)和聲學(xué)理論中的應(yīng)用。他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)。他對(duì)積分理論、熱物理，彈性理論、電磁理論、位勢(shì)理論和概率論都有重要貢獻(xiàn)。例25用車運(yùn)送500件針劑藥品，在運(yùn)輸途中藥品受損壞的概率為0.002，(1)求運(yùn)輸途中小于3件藥品損壞的概率；(2)求運(yùn)輸途中多于3件藥品損壞的概率，(3)求運(yùn)輸途中恰有2件藥品損壞的概率。解：設(shè)藥品在運(yùn)輸途中損壞的件數(shù)為隨機(jī)變量X，從而，X～B(500,0.002),由于n=500很大，p=0.002很小。所以可用泊松粉不近似計(jì)算，λ=np=1，查附錄Ⅲ，所求的概率為：（1)P{X<3}=1-{X≥3}=1-0.080301=0.919699（2)P{X>3}=P{X≥4}=0.18988（3)P{X=2}={X≥2}-P{X≥3}=0.264241-0.080301=0.183940四、均勻分布

性質(zhì)：X落在[a,b]任意等長(zhǎng)的子區(qū)間內(nèi)的概率相等abF(x)1/(b-a)xxabF(x)1

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測(cè)量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

3.正態(tài)分布正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為正態(tài)分布的性質(zhì)一般正態(tài)分布函數(shù)通過變量代換可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布同理可計(jì)算另兩個(gè)問題的解思考題學(xué)生A參加SAT中的數(shù)學(xué)部分考試，得分700分。SAT的分?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布N(500，1002)；學(xué)生B參加ACTP考試得了24分，而ACTP的分?jǐn)?shù)Y服從正態(tài)分布N(18，62)，就考試得分而言，誰考得更好?解題過程顯然A學(xué)生的成績(jī)好第四節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.4.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)

一、數(shù)學(xué)期望的概念

二、五個(gè)常見分布的數(shù)學(xué)期望

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)7.4.2隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)

一、方差的概念

二、方差的性質(zhì)

三、五種常見分布的方差

四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)X(m)1.551.601.701.801.85人數(shù)7101265一、數(shù)學(xué)期望的概念實(shí)例：某班40人，其身高為隨機(jī)變量X，X的分布情況如下定義16設(shè)X是離散型隨機(jī)變量,其值取x1,x2…,對(duì)應(yīng)的概率為p1,p2…,如果級(jí)數(shù)存在,把他稱為X的數(shù)學(xué)期望,記作E(X)定義17設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,概率密度函數(shù)為f(x),如果積分存在,則把這個(gè)積分值稱為X的數(shù)學(xué)期望,記作E(X)二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望1.兩點(diǎn)分布的E(X)二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望2.二項(xiàng)分布的E(X)二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望3.泊松分布的E(X)4.均勻分布的E(X)二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望5.正態(tài)分布的E(X)二、五種常見分布的數(shù)學(xué)期望1.兩點(diǎn)分布的2.二項(xiàng)分布的3.泊松分布的4.均勻分布的5.正態(tài)分布

三.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)X,Y分別是隨機(jī)變量,a,b,c是常數(shù),由數(shù)學(xué)期望的定義容易得出下列性質(zhì).例29某種病毒性傳染病可通過驗(yàn)血檢查。某單位為職工進(jìn)行普查，共有1000人需要驗(yàn)血。假設(shè)一般人群中該病的陽(yáng)性者比例為p＝0.1。醫(yī)務(wù)人員把4個(gè)職工分為一組，把4人的血液混合檢查，如果混合血樣是陰性的，這樣，4個(gè)人平均每人化驗(yàn)1/4次；如果混合血樣是陽(yáng)性的，則對(duì)4個(gè)人再逐個(gè)分別化驗(yàn)，這樣4個(gè)人共作5次化驗(yàn)，相當(dāng)平均每人化驗(yàn)5/4次。假定不同人之間的反應(yīng)相互獨(dú)立的，這種分組化驗(yàn)比以往每人化驗(yàn)1次可減少多少工作量?解:4人混合成的血呈陰性反應(yīng)的概率為;陽(yáng)性為設(shè)平均每人化驗(yàn)次數(shù)為隨即變量X,則分布列為X1/41+1/4試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?思考題誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好.7.4.2隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)一、方差的概念二、方差的性質(zhì)三、五種常見分布的方差四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)在許多實(shí)際問題中，除了考慮隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望外，還要研究隨機(jī)變量以E(x)為中心的分散程度，比如生物體內(nèi)的脈搏、血壓及血球波動(dòng)過大，表明該生物體處于病態(tài)。為了刻劃隨機(jī)變量x與數(shù)學(xué)期望的這種分散程度，通常用[X—E(x)]2來表示一、方差的概念[定義18]設(shè)隨機(jī)變量X的E(x)存在，若期望

存在，則把它稱為x的方差，記為D(X)。這個(gè)定義對(duì)離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量都是統(tǒng)一的，但具體表達(dá)形式不同。對(duì)離散型連續(xù)型對(duì)離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量計(jì)算方差還有下述公式:二.方差的性質(zhì)1.D(c)＝0，即常數(shù)c的方差為0；2.D(cX)＝c2D(x)；3.D(X十b)＝D(X)；4.若X、Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)＝D(X)+D(Y)三、五種常見分布的方差1、二點(diǎn)分布三、五種常見分布的方差2、二項(xiàng)分布3、泊松分布三、五種常見分布的方差4、均勻分布的方差三、五種常見分布的方差5、正態(tài)分布的方差例30在同樣的條件下，用兩種方法測(cè)定某一容器內(nèi)細(xì)菌個(gè)數(shù)(單位：萬)為隨機(jī)變量，分別用Xl、X2表示，由大量測(cè)定結(jié)果得到分布列如下表，試比較兩種方法的精度?細(xì)菌個(gè)數(shù)4849505152方法1概率0.10.10.60.10.1方法2概率0.20.20.20.20.2解：兩種方法的數(shù)學(xué)期望是相同的，都是50，為了比較精度，還要考慮方差的大小經(jīng)過計(jì)算D(X1)=2*0.1+1*0.1+0*0.6+1*0.1+2*0.1=1D(X2)=2*0.2+2*0.2+2*0.2+2*0.2+2*0.2=2顯然方法2的精度高細(xì)菌個(gè)數(shù)4849505152方法1概率0.10.10.60.10.1方法2概率0.20.20.20.20.2分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布均勻分布正態(tài)分布三、五種常見分布的方差四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù)[定義19]設(shè)隨機(jī)變量X的方差為D(X)，則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記做，即=[定義20]設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),標(biāo)準(zhǔn)差為，則稱為變異系數(shù)，記為CV(X).可以用百分?jǐn)?shù)表示。

例31某地20歲男子，其身高均數(shù)(數(shù)學(xué)期望)為166.06cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.95cm；其體重均數(shù)為53.72kg，標(biāo)準(zhǔn)差為4.96kg.試問該地區(qū)20歲男青年身高與體重的變異程度是否可認(rèn)為相同?解：設(shè)該地20歲男子身高和體重都是隨即變