波函數(shù)微觀粒子具有明顯的波粒二象性，即明顯具有已述：電子衍射實驗表明不確定關系表明確定的取值，因此，不能用經(jīng)典的位置和速度去描述微觀粒子的運動狀態(tài)。微觀粒子的位置和動量（含速度）不可能同時具有粒子的整體性和波的衍射亦即相干疊加的波動性。德布羅意公式表明自由粒子的物質波波長和頻率與粒子的動量和能量的關系。待述：尋找一個能反映波粒二象性的波函數(shù)；微觀粒子的運動狀態(tài)應如何描述。思路：根據(jù)表達波動的數(shù)學函數(shù)普遍形式某種物理量的時間和空間的周期函數(shù)結合反映物質波粒二象性的基本公式德布羅意公式推導出滿足波粒二象性的波函數(shù)微觀粒子運動狀態(tài)的描述波函數(shù)的解釋1第十六章波函數(shù)薛定諤方程16-1波函數(shù)

一、量子力學基本原理之一：一個微觀客體在時刻t

的狀態(tài),用波函數(shù)(x,y,z,t)(一般是復函數(shù))完全描述.*d表示在d中找到微觀客體的概率。電子衍射證明了電子的波動性！波粒二象性用物質波來描述衍射圖樣電子束自由電子的波函數(shù)質子、中子、原子、分子…也有波動性21）波函數(shù)的物理意義

“完全”:無需再添加什么了知道了,就能在理論上計算出各種物理量的平均值（測量值）一般是復函數(shù)，與自由電子的波函數(shù)類似物質波是一種概率波

1926年玻恩統(tǒng)計詮釋波函數(shù)本身沒有直接的物理意義，并不像經(jīng)典波那樣代表什么實在的物理量的波動，而波函數(shù)模的平方則表示t時刻粒子在空間r點出現(xiàn)的相對概率密度（即在r點附近單位體積出現(xiàn)的相對概率）?波函數(shù)描述微觀粒子波粒二象性?

波動性只是反映微觀粒子運動規(guī)律的一種統(tǒng)計規(guī)律性概率密度波函數(shù)又稱為概率波幅，簡稱概率幅MaxBorn(1882~1969)玻恩3I大光子出現(xiàn)概率大I小光子出現(xiàn)概率小波動性:某處明亮則某處光強大即I

大粒子性:某處明亮則某處光子多即N大光子數(shù)NIE02

光子在某處出現(xiàn)的概率和該處光振幅的平方成正比對比光的波粒二象性光強中央明紋單縫衍射圖樣的光強分布波函數(shù)是量子力學中最基本的概念，描述了微觀粒子的波粒二象性波函數(shù)本身沒有物理意義，與經(jīng)典波動不同4自由電子的波函數(shù)概率密度在整個空間都是均勻的單色波的波列無限長，分布在整個空間對波函數(shù)的概率解釋,給出可觀測量與不可觀測量之間的聯(lián)系.概率密度概率幅在(x,y,z)一點附近dV

體積中發(fā)現(xiàn)粒子的概率概率是可觀測量概率幅是不可觀測量概率幅是量子力學中最基本的概念，存在概率幅的直接結果就是引起了充滿整個原子世界的干涉現(xiàn)象

——狄拉克

物質波描述了粒子在各處出現(xiàn)的概率ΨrdVxyz52)波函數(shù)遵從疊加原理：波函數(shù)遵從疊加原理由實驗證實：如果都是體系的可能狀態(tài)，那么它的線性疊加，也是這個體系的一個可能態(tài)。以雙縫實驗為例1、子彈通過雙縫的射擊實驗（經(jīng)典）子彈宏觀粒子

可以跟蹤經(jīng)典粒子滿足概率疊加原理62、電子通過雙縫的衍射實驗（微觀粒子）電子不可以跟蹤蓋住任何一條縫，相當于電子單縫衍射，都可得到單縫衍射圖樣。電子通過上或下縫后，在某處出現(xiàn)的概率密度分別為Y12和Y22根據(jù)概率波的概念，兩條單縫同時開放時，屏上的電子強度分布應服從概率波的復數(shù)運算Y122Y=+Y2相干項=Y12+Y22+單縫包絡線內的明暗條紋就是因為有相干項才形成的。7

概率幅疊加對于微觀粒子，是概率幅的疊加而不是概率的疊加后兩項是干涉項，對形成干涉條紋起決定性作用實驗結果反映的是統(tǒng)計規(guī)律7個電子在觀察屏上的圖像1003000700002000089波函數(shù)性質3)波函數(shù)應滿足的標準條件連續(xù)因概率不會在某處發(fā)生突變單值因任一空間體積元內出現(xiàn)的概率只有一種有限因概率不可能為無限大標準化條件：由于物質波是概率波，波函數(shù)必須滿足三個有限值即可

可以嗎?

YYYYXOXOOXOX以一維波函數(shù)為例，在下述四種函數(shù)曲線中，只有一種符合標準條件符合不符合不符合不符合10同樣，由于物質波是概率波，波函數(shù)必須滿足歸一化條件：歸一化波函數(shù)A1如果按上述積分求得的結果不是1,而是某一常量A即則應對該波函數(shù)進行歸一化,其方法很簡單,因上式可寫成Y,()trA1Y,()tr*=1dVY,()tr2A88-+可見,原波函數(shù)Y,()trF,()tr=Y,()tr的歸一化波函數(shù)為A1所謂是指Y,()tr在一切空間內發(fā)現(xiàn)該粒子的概率必然是1(即100%)即假設在三維空間中有一微觀粒子的波函數(shù)為dVY,()tr2188-+歸一化條件11注意：與描述同一個狀態(tài)，因為，對于 概率分布來說，重要的是相對概率分布。這是與經(jīng)典波不同的地方波函數(shù)還有一個相位因子的不確定性量子力學中也不排除使用一些不能歸一化的理想波函數(shù)平面波的“歸一化”可以用函數(shù)的形式表示出來12

波函數(shù)的物理意義：德布洛意1923年愛因斯坦薛丁諤波與粒子E.Hückel:Erwin(薛定諤的名字）用它的

算起來真靈光：可是是什么？誰也不知道。電子附帶的波波包鬼場小結：歷史上對波函數(shù)的認識經(jīng)歷了一個曲折過程。因為，與 經(jīng)典物理不同，波函數(shù)沒有對應的物理量，它不能測量， 一般是復數(shù)，例如：一維自由粒子的波函數(shù)概率幅疊加：被費曼在《物理學講義》中稱為量子力學第一原理如果一個事件能以幾種方式實現(xiàn)，則該事件的概率幅就是各種方式單獨實現(xiàn)的概率幅之和。于是出現(xiàn)了干涉。13直到1926年波恩提出統(tǒng)計詮釋，大多數(shù)物理學家接受但爭論仍在繼續(xù)：在已知給定的條件下，不可能精確地預知結果，只能預言某些可能結果的概率粒子的運動遵守概率定律，但概率本身還是受因果規(guī)律支配的哥本哈根學派：玻爾、海森伯堅持波函數(shù)的概率或統(tǒng)計解釋認為它表明了自然界的最終實質愛因斯坦不喜歡量子力學的“不完備性”玻姆提出隱變量假說，但未能證實。上帝不是跟宇宙玩擲骰子游戲量子力學是建立在假設基礎上的，其本質我們還不知道，將來可能會出現(xiàn)比量子力學更好的理論14當我們學習量子力學時，在思想方法上不要企圖用經(jīng)典理論，經(jīng)典概念去解釋，那樣將會陷入迷惑，而要注意找尋與經(jīng)典理論的差別。

1，對于宏觀粒子，波和粒子是互不相容，相互矛盾的概念。而微觀粒子卻具有波粒二象性，正如電子衍射實驗所表明的那樣。2，宏觀粒子的可以精確測定，因此，有軌道的概念。而微觀粒子的坐標和動量間存在不確定關系，，因此，沒有軌道的概念。3,宏觀粒子的狀態(tài)用精確描述，而微觀粒子的狀態(tài)用一個沒有直接物理意義的波函數(shù)來完全描述，這是非常奇特的，是造成對波函數(shù)的物理意義一段時間認識不清的原因。4，宏觀理論是決定性的理論，它能給出精確的，而量子力學只能給出概率密度，具有統(tǒng)計意義下的不確定性，量子力學是一種統(tǒng)計規(guī)律，或者說微觀粒子遵從統(tǒng)計規(guī)律。5，宏觀粒子，遵從概率疊加原理，而微觀粒子是概率幅的疊加6，在微觀領域，描述微觀粒子同一狀態(tài)，而在宏觀領域，將波函數(shù)乘以常數(shù)C，波的振幅將增加C倍，能量將增加倍，是兩種完全不同的狀態(tài)。15波函數(shù)簡要總結1，波函數(shù)是概率幅，它完全地描述微觀粒子的狀態(tài) 是在空間中，找到粒子的概率。2，波函數(shù)遵從疊加原理,3，波函數(shù)滿足標準條件：有限、單值、連續(xù)。4，描述同一狀態(tài)，在大多數(shù)情況下，采用 滿足歸一化條件的波函數(shù)

是概率密度16例例求設在軸作簡諧運動的某粒子的波函數(shù)為Y,()xtexAithEe2pb222都是實常數(shù)bE,A是待定的歸一化常數(shù)歸一化波函數(shù)x則歸一化波函數(shù)為Y,()xtexithEe2pb222b2p((14解法提要該函數(shù)的歸一化積分式為*Y,()trdxY,()tr=188-+AithEe2pexb222((exAithEe2pb222((dx即88-+1=A2exb22A2b2p=得A=b2p((1488-+17例例求歸一化波函數(shù)設在軸運動的x某粒子的波函數(shù)為Y()xxAi1+1((2((3((粒子沿出現(xiàn)的概率密度分布在何處找到粒子的概率最大x解法提要為了運算方便,先將虛數(shù)項改寫成在分子上的形式()Axi1+xi1+Axi1-xi1-()Axi1-x1+2歸一化波函數(shù)為1pxi1+))Y()x1((*dx=(dxAxi1-x1+2(Axi1+x1+2((1=A2x1+2dx=A2p=得A=p1Y()xY()x88-+88-+88-+18續(xù)2((粒子沿出現(xiàn)的概率密度分布xY()x*Y()x==Y()x2x1+2p1))=w()xx1+2p1))3((求極大處的值x令=dxd=0()xwdxd()xw即在x=0處找到粒子的概率最大得x=0處=p1為極大()w019例P2YX0aa22aY0aXa22aY,()xt2概率密度2((()x0,xa()x0a0sinxpa2a2得Y,()xt2dxd0dxd0sinxpa2a2((2asinxap2p2xa2((0axY03((令求極大值的坐標Y,()xt2解得處Y,()xt2為極大另外兩個解處為極小和x例設Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求某粒子的波函數(shù)為歸一化波函數(shù)1((2((概率密度3((概率密度最大的位置p2解法提要0aeAithExpasin((eAithExpasin((xdYY*2Yxdxd0a0a1A,2Yxd0aA20asinxpa2xd1a2A21,A2a令求積分得：1((p2p2Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a得到歸一化波函數(shù)：p220薛定諤方程引言比較Fmddtrpddtr()tp()tXYzOzXYOYr(t,(經(jīng)典力學量子力學牛頓力學方程運動狀態(tài)r,pmv有確定值mddtv22運動狀態(tài)Yr(t,(是復數(shù)函數(shù)只是一種概率事件運動狀態(tài)的時間變化率與力的確定關系內涵:？量子力學方程是否有運動狀態(tài)的時間變化率與什么因素有關？怎樣表述？內涵:2116-2薛定諤方程量子力學基本原理之二：微觀粒子體系的波函數(shù)ψ滿足薛定諤方程.起源：1926年薛定諤對德布羅意的工作了漂亮又簡潔的說明,-----德拜聽后說“要真正研究波動,必須有波動方程.”幾個星期后,薛定諤找到了這個方程.薛定諤方程:

一般形式：定態(tài)（U不顯含時間）：或對于自由粒子U=022薛定諤方程不能推導,靠實驗證明如何找?借助波動知識一個沿x方向運動的自由粒子,可用一維平面波動方程描述對于自由粒子都是不變量.利用建立薛定諤方程.量子力學的核心問題（1）找波函數(shù)（2）找隨 時間演化所遵循的規(guī)律薛定諤波動方程成功地解決了這些問題23經(jīng)典辦法？24原則：(一),波函數(shù)滿足疊加原理,可有等項,不能含等項.

(二),方程應具有粒子各種狀態(tài)都能滿足的普適性質.

各項系數(shù)只能為普適衡量,如,和表示粒子一般屬性的量,如m等,而不能包含僅只表征某特殊狀態(tài)的量如能量、動量等.經(jīng)典辦法經(jīng)典波動方程不能用而如何辦？這項用對時間的一次偏微分25將代入,或得：推廣到三維：這就是自由粒子滿足的微分方程26推廣到在勢場中運動的粒子,令得一般形式如果知道了U，可列出微分方程，解得Ψ，即找到Ψ隨時間變化的規(guī)律?？偰芰坎皇峭茖?7定態(tài)薛定諤方程：如果粒子所處的勢場U(r)

與時間無關(即不顯含時間),可用分離變量法求解.令t的函數(shù)

r的函數(shù)除以得常數(shù)這是兩個微分方程28(1)的解由此可知：粒子在不隨t變化的勢場中運動時,它的能量具有確定值.稱定態(tài)波函數(shù)由（2）得稱為定態(tài)薛定諤方程

也稱波函數(shù)，粒子的空間概率密度與時間無關，即不隨時間變化對比自由粒子波函數(shù),常數(shù)E就是能量29原理一：微觀粒子在時刻t的狀態(tài),用波函數(shù) 完全描述.原理二：微觀粒子體系的波函數(shù)ψ滿足薛定諤方程.若不顯含時間（定態(tài)）用分離變量法定態(tài)薛定諤方程30定態(tài)薛定諤方程稱能量算符或哈密頓算符式稱為的本征方程E稱為的本征值稱為的本征函數(shù)當粒子處于本征函數(shù)所描述的狀態(tài)時，粒子的能量有確定值,即本征函數(shù)的本征值.當t=0,體系處于某能量的本征態(tài)，則以后時刻，體系仍處于該能量的本振態(tài)31

討論定態(tài)的問題,就是要找即由找：和**含時間的薛定諤方程的一般解可以寫成這些定態(tài)波函數(shù)的線性疊加.32討論：1，薛定諤方程是量子力學的基本假設之一，經(jīng)典力學地位與牛頓第二定律相當

可測量

：概率幅，復數(shù)不可測量2，薛定諤方程是線性齊次常微分方程，保證了態(tài)的疊加性在時間進程中保持不變3，薛定諤方程是關于時間的一階微分方程，知道了初始條件就可確定任何時刻的初始條件

4，由于是關于時間的一階偏微分方程，因此 波動形式解要求在方程中有虛數(shù)因子i,所以波函數(shù)是復函數(shù),虛數(shù)部分不能隨意去掉。引入復數(shù)是為了計算方便，算完后取實數(shù)部分33

5，哈密頓量是分析力學中引入的函數(shù)，在