3.2立體幾何中的向量方法第1課時(shí)利用向量證明空間中的平行關(guān)系【思考1】怎樣用向量來表示點(diǎn)、直線、平面在空間中的位置?答案(1)點(diǎn):在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P的位置就可以用向量

來表示.我們把向量

稱為點(diǎn)P的位置向量.(2)直線:①直線的方向向量:和這條直線平行或共線的非零向量.(3)平面:①空間中平面α的位置可以由α內(nèi)兩條相交直線來確定.對(duì)于平面α上的任一點(diǎn)P,a,b是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線向量,則存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得

=xa+yb.②空間中平面α的位置還可以用垂直于平面的直線的方向向量表示.1.空間中點(diǎn)、直線、平面的向量表示(1)點(diǎn)的位置向量圖①

(2)直線的方向向量

圖②

(3)平面的向量形式

空間中平面α的位置可以由α內(nèi)兩條相交直線來確定.如圖③,設(shè)這兩條直線相交于點(diǎn)O,它們的方向向量分別為a和b,P為平面α上任意一點(diǎn),由平面向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得

=xa+yb.這樣,點(diǎn)O與向量a,b不僅可以確定平面α的位置,還可以具體表示出平面α內(nèi)的任意一點(diǎn).圖③

(4)平面的法向量對(duì)于直線l和平面α,若l⊥α,取l的方向向量a,則向量a叫做平面α的法向量.【做一做1】

下列說法中正確的是(

)A.直線的方向向量是唯一的B.與一個(gè)平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量C.直線的方向向量有兩個(gè)D.平面的法向量是唯一的解析由平面法向量的定義可知,B項(xiàng)正確.答案B【思考2】設(shè)v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2)分別是直線l1,l2的方向向量.若直線l1∥l2,則向量v1,v2應(yīng)滿足什么關(guān)系.答案由直線方向向量的定義知若直線l1∥l2,則直線l1,l2的方向向量共線,即l1∥l2?v1∥v2?v1=λv2(λ∈R).2.空間中平行關(guān)系的向量表示

【做一做2】

若兩條直線的方向向量分別是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且兩條直線平行,則x=

,y=

.

答案-12

15【做一做3】

若平面β外的一條直線l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量為n=(4,-1,-2),則l與β的位置關(guān)系是

.

解析因?yàn)閡·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u(píng)⊥n.所以直線與平面平行,即l∥β.答案平行探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)

探究一平面法向量及其求法例1

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的中點(diǎn),求平面EDB的一個(gè)法向量.思路分析首先建立空間直角坐標(biāo)系,然后利用待定系數(shù)法按照平面法向量的求解步驟進(jìn)行求解.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組(4)解方程組,取其中的一個(gè)解,即得法向量.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究本例條件不變,你能分別求出平面PAD與平面PCD的一個(gè)法向量嗎?它們之間的關(guān)系如何?解如同例題建系方法,易知平面PAD的一個(gè)法向量為n1=(0,1,0),平面PCD的一個(gè)法向量為n2=(1,0,0),因?yàn)閚1·n2=0,所以n1⊥n2.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1如圖所示,已知四邊形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD的一個(gè)法向量;(2)求平面SAB的一個(gè)法向量;(3)求平面SCD的一個(gè)法向量.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究二利用向量方法證明線面平行例2

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是C1C,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)方法三:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).求證:AM∥平面BDE.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究三利用向量方法證明面面平行

例3

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO?思路分析建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后可根據(jù)面面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為向量共線問題或者利用兩個(gè)平面的法向量共線進(jìn)行證明.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)解如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點(diǎn)Q,連接BQ,D1Q.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過證明兩個(gè)平面的法向量平行證明.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分別為棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中點(diǎn).求證:平面AMN∥平面EFBD.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則

探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)思維辨析一題多解——利用向量證明空間線線平行典例在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,點(diǎn)P,Q,R,S分別是AA1,D1C1,AB,CC1的中點(diǎn).求證:PQ∥RS.證明法一:以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)1.若不重合的直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-3,-6,6),則(

)A.l1∥l2 B.l1⊥l2C.l1,l2相交但不垂直 D.不能確定答案A2.已知線段AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)為A(9,-3,4),B(9,2,1),則直線AB(

)A.與坐標(biāo)平面xOy平行 B.與坐標(biāo)平面yOz平行C.與坐標(biāo)平面xOz平行 D.與坐標(biāo)平面yOz相交解析因?yàn)锳(9,-3,4),B(9,2,1),所以

=(0,5,-3),而坐標(biāo)平面yOz的法向量為(1,0,0),顯然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直線AB與坐標(biāo)平面yOz平行.答案B探究一探究二探究三當(dāng)堂檢測(cè)3.若平面α∥β,則下面可以是這兩個(gè)平面法向量的是(

)A.n1=(1,2,3),n2=(-3,2,1)B.n1=(1,2,2),n2=(-2,2,1)C.n1=(1,1,1),n2=(-2,2,1)D.n1=(1,1,1),n2=(-2,-2,-2)解析因?yàn)槠矫姒痢桅?所以兩個(gè)平面的法向量應(yīng)該平行,只有D項(xiàng)符合.答案D4.已知l∥α,且l的方向向量為(2,