連續(xù)系統(tǒng)的振動2007-9-9編輯ppt實際的振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng)。由于確定連續(xù)體上無數(shù)質(zhì)點的位置需要無限多個坐標，因此連續(xù)體是具有無限多自由度的系統(tǒng)。連續(xù)體的振動要用時間和空間坐標的函數(shù)來描述，其運動方程不再像有限多自由度系統(tǒng)那樣是二階常微分方程組，它是偏微分方程。在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別，連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。編輯ppt教學內(nèi)容一維波動方程梁的彎曲振動集中質(zhì)量法假設模態(tài)法模態(tài)綜合法有限元法編輯ppt（1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。說明（2）材料均勻連續(xù)；各向同性。（3）振動滿足微振動的前提。編輯ppt一維波動方程

動力學方程固有頻率和模態(tài)函數(shù)主振型的正交性桿的縱向強迫振動連續(xù)系統(tǒng)的振動/一維波動方程編輯ppt動力學方程（1）桿的縱向振動

討論等截面細直桿的縱向振動桿長l假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面積S材料密度彈性模量E忽略由縱向振動引起的橫向變形單位長度桿上分布的縱向作用力桿參數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動/一維波動方程編輯ppt桿上距原點x處截面在時刻t的縱向位移微段分析微段應變：橫截面上的內(nèi)力：由達朗貝爾原理：連續(xù)系統(tǒng)的振動/一維波動方程編輯ppt桿上距原點x處截面在時刻t的縱向位移橫截面上的內(nèi)力：由達朗貝爾原理：代入，得：桿的縱向強迫振動方程對于等直桿，ES為常數(shù)彈性縱波沿桿的縱向傳播速度有：連續(xù)系統(tǒng)的振動/一維波動方程編輯ppt（2）弦的橫向振動弦兩端固定，以張力F拉緊在分布力作用下作橫向振動建立坐標系弦上距原點x處的橫截面在t時刻的橫向位移單位長度弦上分布的作用力單位長度弦的質(zhì)量微段受力情況達朗貝爾原理：弦的橫向強迫振動方程令：并考慮到：得：彈性橫波的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動/一維波動方程編輯ppt（3）軸的扭轉振動細長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉振動假定振動過程中各橫截面仍保持為平面截面的極慣性矩Ip材料密度切變模量G：單位長度桿上分布的外力偶矩桿參數(shù)：為桿上距離原點x處的截面在時刻t的角位移截面處的扭矩為T微段dx受力：微段繞軸線的轉動慣量連續(xù)系統(tǒng)的振動/一維波動方程編輯ppt代入，得：微段dx受力達朗貝爾原理：材料力學：即：圓截面桿的扭轉振動強迫振動方程對于等直桿，抗扭轉剛度GIp為常數(shù)有：剪切彈性波的縱向傳播速度連續(xù)系統(tǒng)的振動/一維波動方程編輯ppt小結：（1）桿的縱向振動

（2）弦的橫向振動雖然它們在運動表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運動微分方程是類同的，都屬于一維波動方程。（3）軸的扭轉振動連續(xù)系統(tǒng)的振動/一維波動方程編輯ppt固有頻率和模態(tài)函數(shù)以等直桿的縱向振動為對象方程：縱向自由振動方程：假設桿的各點作同步運動，即設：q(t)表示運動規(guī)律的時間函數(shù)桿上距原點x處的截面的縱向振動振幅代入，得：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt記：通解：（確定桿縱向振動的形態(tài)，稱為模態(tài)）由桿的邊界條件確定與有限自由度系統(tǒng)不同，連續(xù)系統(tǒng)的模態(tài)為坐標的連續(xù)函數(shù)，表示各坐標振幅的相對比值由頻率方程確定的固有頻率有無窮多個（下面講述）連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt第i階主振動：一一對應系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt幾種常見邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)（1）兩端固定邊界條件：不能恒為零故：代入模態(tài)函數(shù)得：（桿的縱向振動頻率方程）無窮多個固有頻率：由于零固有頻率對應的模態(tài)函數(shù)為零，因此零固有頻率除去特征：兩端位移為零模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt（2）兩端自由特征：自由端的軸向力為零邊界條件：得：零固有頻率對應的常值模態(tài)為桿的縱向剛性位移頻率方程和固有頻率兩端固定桿的情況相同固有頻率：模態(tài)函數(shù)：得出：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移為零自由端軸向力為零邊界條件：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動或：編輯ppt左端自由，右端固定特征：固定端位移為零自由端軸向力為零邊界條件：得：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt邊界條件模態(tài)函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動頻率方程固有頻率編輯ppt例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一彈簧連接。推導系統(tǒng)的頻率方程。連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動解：邊界條件：得出：頻率方程振型函數(shù)：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動例：一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中質(zhì)量M固結。推導系統(tǒng)的頻率方程。邊界條件：自己推導！編輯ppt主振型的正交性只對具有簡單邊界條件的桿討論主振型的正交性桿可以是變截面或勻截面的即質(zhì)量密度及截面積S等都可以是x的函數(shù)桿的動力方程：自由振動：主振動：代入，得：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt桿的簡單邊界：固定端x=0或l自由端x=0或l

設：代入：乘并沿桿長對x積分：利用分部積分：桿的任一端上總有或者成立得：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt乘并沿桿長對x積分：同理乘并沿桿長對x積分：相減：時則必有：桿的主振型關于質(zhì)量的正交性進而：桿的主振型關于剛度的正交性連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt關于質(zhì)量的正交性關于剛度的正交性當時恒成立令：第i階模態(tài)主質(zhì)量第i階模態(tài)主剛度第i階固有頻率：主振型歸一化：正則振型則第i階主剛度：合寫為：連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt桿的縱向強迫振動采用振型疊加法進行求解強迫振動方程：初始條件：假定，已經(jīng)得出令：正則坐標代入方程：兩邊乘并沿桿長對x積分：利用正交性條件：第j個正則坐標的廣義力

連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt模態(tài)初始條件的求解乘并沿桿長對x積分，由正交性條件，知有：得：求得后可得連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt如果沿桿身作用的不是分布力，而是集中力可表達成分布力形式：正則坐標的廣義力：前述外部激勵為分布力連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt例：等直桿自由端作用有：為常數(shù)求：桿的縱向穩(wěn)態(tài)響應連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt解：一端固定，一端自由邊界條件：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)廣義力：第i個正則方程：正則坐標的穩(wěn)態(tài)響應：桿的穩(wěn)態(tài)強迫振動：當外部力頻率等于桿的任一階固有頻率時都會發(fā)生共振現(xiàn)象連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動例：一均質(zhì)桿兩端固定。假定在桿上作用有兩個集中力，如圖所示。試問：當這些力突然移去時，桿將產(chǎn)生甚么樣的振動？編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動邊界條件：兩端固定初始條件：模態(tài)函數(shù)：解：桿的自由振動方程：固有頻率：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動初始條件：應用位移初始條件：兩邊乘并沿桿長積分，然后利用正交性條件：應用速度初始條件：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動系統(tǒng)響應：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動思考題：有一根以常速度v沿x軸運動的桿。如果桿的中點處突然被卡住停止，試求出所產(chǎn)生的自由振動表達式。在此種情況下，可從桿的中點分開，分開的左右兩部分的振動形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動右半部分為一端固定、另一端自由的桿。邊界條件：桿的自由振動方程：初始條件：自己推導！編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動例：有一根x=0端為自由、x=l端處為固定得桿，固定端承受支撐運動為振動的幅值試求桿的穩(wěn)態(tài)響應。編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動解：方程建立微段分析應變：內(nèi)力：達朗貝爾原理：桿上距原點x處截面在時刻t的縱向位移編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動令：代入方程：即：設解為：為歸一化的正則模態(tài)代入方程，得：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動用乘上式，并沿桿長積分：利用正交性：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動模態(tài)穩(wěn)態(tài)解：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/桿的縱向振動桿振動分析小結1.建立動力學方程2.根據(jù)邊界條件求解固有頻率和模態(tài)3.變量分離4.代入動力學方程，并利用正交性條件得到模態(tài)空間方程5.物理空間初始條件轉到模態(tài)空間6.模態(tài)空間方程求解7.返回物理空間，得解物理空間問題模態(tài)空間問題模態(tài)疊加法編輯ppt教學內(nèi)容一維波動方程梁的彎曲振動集中質(zhì)量法假設模態(tài)法模態(tài)綜合法有限元法編輯ppt梁的彎曲振動動力學方程考慮細長梁的橫向彎曲振動梁各截面的中心慣性軸在同一平面xoy內(nèi)在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉動慣量的影響外載荷作用在該平面內(nèi)梁在該平面作橫向振動（微振）這時梁的主要變形是彎曲變形伯努利－歐拉梁（Bernoulli-EulerBeam）f(x,t):單位長度梁上分布的外力m(x,t):單位長度梁上分布的外力矩梁參數(shù)：I截面對中性軸的慣性積單位體積梁的質(zhì)量S梁橫截面積E彈性模量外部力：假設：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt動力學方程f(x,t):單位長度梁上分布的外力m(x,t):單位長度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):距原點x處的截面在t時刻的橫向位移截面上的剪力和彎矩微段的慣性力微段所受的外力微段所受的外力矩連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt力平衡方程：即：以右截面上任一點為矩心，力矩平衡：略去高階小量：材料力學的等截面假設，彎矩與撓度的關系：變截面梁的動力學方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt變截面梁的動力學方程：等截面梁的動力學方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt固有頻率和模態(tài)函數(shù)變截面梁的動力學方程：討論梁的自由振動自由振動方程：根據(jù)對桿縱向振動的分析，梁的主振動可假設為：代入自由振動方程：對于等截面梁：通解：和應滿足的頻率方程由梁的邊界條件確定連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt等截面梁的自由振動方程：梁的主振動：通解：代入，得：第i階主振動：無窮多個和由系統(tǒng)的初始條件確定系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt常見的約束狀況與邊界條件（1）固定端撓度和截面轉角為零（2）簡支端撓度和彎矩為零（3）自由端彎矩和剪力為零連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt例：求懸臂梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端固定，一端自由邊界條件固定端：撓度和截面轉角為零自由端：彎矩和截面剪力為零得：以及：非零解條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt簡化后，得：頻率方程當

i=1,2,3時解得：當

時各階固有頻率：對應的各階模態(tài)函數(shù)：其中：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt鉛垂梁的前三階模態(tài)形狀第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)一個節(jié)點兩個節(jié)點無節(jié)點節(jié)點位置連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt例：簡支梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)解：一端圓柱固定鉸另一端圓柱滑動鉸固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動鉸：撓度和截面彎矩為零得：以及：頻率方程：固有頻率：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt頻率方程：固有頻率：模態(tài)函數(shù)：第一階模態(tài)第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)模態(tài)形狀節(jié)點位置無節(jié)點一個節(jié)點兩個節(jié)點三個節(jié)點連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt例：兩端自由梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)背景：導彈飛行系統(tǒng)類別：半正定系統(tǒng)存在剛體模態(tài)導彈飛行1導彈飛行2連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt頻率方程：模態(tài)函數(shù)：其中：當

i=1,2,3時解得：當

時自由端：彎矩和截面剪力為零當

時對應剛體模態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt第二階模態(tài)第三階模態(tài)第四階模態(tài)第五階模態(tài)自由梁的模態(tài)形狀連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt例：試用數(shù)值確定一根一端固定另一端簡支的梁的頻率方程，并且繪出第一階模態(tài)和第二階模態(tài)的撓度曲線。連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動解：梁的自由振動方程：邊界條件固定端：自由端：模態(tài)函數(shù)：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動非零解條件：頻率方程：求得：對應的各階模態(tài)函數(shù)：代入：編輯ppt連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動第一階模態(tài)：第二階模態(tài)：0.560編輯ppt例：懸臂梁一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉角成正比彎矩平衡條件：剪力平衡條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt固定端：彈性支撐端：由固定端條件解得：由彈性支撐固定端條件解得：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt或非零解條件導出頻率方程：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt（1）若k1、k2同時為零，則退化為懸臂梁的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動討論：編輯ppt（2）若k1＝0、k2無窮大，則退化為一端固定另一端簡支的情形連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動討論：編輯ppt例：懸臂梁自由端附有質(zhì)量求頻率方程解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質(zhì)量慣性力平衡利用同上述算例相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質(zhì)量與梁質(zhì)量之比為梁質(zhì)量連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt說明：以上分析中沒有考慮剪切變形和截面轉動慣量的影響，因此以上有關梁的分析只適用于細長梁（梁的長度大于梁高度5倍以上）若梁為非細長梁，必須考慮剪切變形和截面轉動慣量的影響鐵木辛柯梁（Timoshenkobeam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉動慣量使得梁的慣性增加，這兩個因素都會使梁的固有頻率降低連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt模態(tài)函數(shù)的正交性梁若為等截面，則：變截面梁的自由振動方程：主振動：代入，得：設：有：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長對x積分：利用分部積分：在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個與轉角或彎矩中的一個同時為零得：(3)代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長積分可得：同理，相減：得：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt如果時，則有：主振型關于質(zhì)量的正交性（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長對x積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：主振型關于剛度的正交性連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt如果i=j恒成立第j階主質(zhì)量第j階主剛度第j階固有頻率（1）（2）(1)式兩邊乘并沿梁長對x積分：分部積分：得：代入（3）式，有：(2)式兩邊乘并沿梁長積分可得：同理，相減：得：(3)（4）（5）連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt第j階主質(zhì)量第j階主剛度第j階固有頻率時時主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定：正則振型正則振型的正交性：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt梁橫向振動的強迫響應梁的橫向強迫振動方程：令：代入：兩邊乘并沿梁長對x積分：由正交性條件，得：第j個正則坐標方程第j個正則坐標的廣義力由分部積分：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt梁初始條件的處理假定梁的初始條件為：代入：兩式乘并沿梁長積分，由正交性條件可得：第j個正則坐標方程：第j個正則模態(tài)響應：得到后，即可得到梁的響應連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用函數(shù)，可以表示為:有：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt中點受常力P作用產(chǎn)生靜變形例：簡支梁求：當P突然移出時梁的響應解：由材力得初始條件:梁中點的靜撓度連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt梁兩端簡支固有頻率：振型函數(shù)：代入歸一化條件：模態(tài)初始條件：連續(xù)系統(tǒng)的振動/梁的彎曲振動編輯ppt模態(tài)初始條件：沒有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態(tài)響應：因此