§2.3動(dòng)能動(dòng)能定理一、功1、功的定義：力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積。

無(wú)窮小過(guò)程的元功有限過(guò)程的功描寫(xiě)力對(duì)空間累積作用的物理量2、功的計(jì)算：⑴恒力的功在恒力作用下的直線(xiàn)直進(jìn)運(yùn)動(dòng)中⑵變力的功在變力作用下的曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中直角坐標(biāo)系中自然坐標(biāo)系中⑶合力的功合力的功等于各分力的功的代數(shù)和⑷一對(duì)相互作用力的功⑸功的幾何表示abo注意點(diǎn)：1、力做功的三要素2、是過(guò)程量

3、是標(biāo)量

4、功的單位

?！っ?，1N·m=1J二、功率描寫(xiě)作功快慢程度的物理量定義：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（單位：J/s=W焦耳/秒＝瓦特）平均功率瞬時(shí)功率三、動(dòng)能用

與牛二律

作標(biāo)量積，可得：四、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于該質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量.在上面的討論中，我們看到：左邊是原因：(合外力作功＝右邊是結(jié)果：)物體的動(dòng)能發(fā)生改變注意點(diǎn)：1、功不是動(dòng)能2、定理中的功一定是合力的功3、W＝0時(shí)，

上述結(jié)果中的mv2/2具有能量的量綱，且與運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)，因此五、質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理推導(dǎo)出來(lái)對(duì)系統(tǒng)，兩式相加，可得對(duì)N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系,則

這說(shuō)明外力和內(nèi)力作功的代數(shù)和等于系統(tǒng)總動(dòng)能的增量。該結(jié)果就叫做質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理動(dòng)量和動(dòng)能的相同點(diǎn)是：二者都是描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)量.

動(dòng)量和動(dòng)能的不同點(diǎn)是：

★動(dòng)量是矢量，而動(dòng)能是標(biāo)量；

★動(dòng)量取決于力對(duì)時(shí)間的積累（沖量）,而動(dòng)能則取決于力對(duì)空間的積累（功）；

★質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的改變僅與外力的沖量有關(guān)，質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的改變不僅與外力有關(guān)而且還與內(nèi)力有關(guān)；

★質(zhì)點(diǎn)間機(jī)械運(yùn)動(dòng)的傳遞用動(dòng)量來(lái)描述，機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式運(yùn)動(dòng)的傳遞用動(dòng)能來(lái)描述.1.一質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)，沿x軸無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng).設(shè)t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)，速度為零（即初始條件為：）.問(wèn)：（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在F=3+4t牛頓的力的作用下運(yùn)動(dòng)了3秒（t以秒計(jì)），它的速度和加速度增為多大？（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在F=3+4x牛頓的力的作用下移動(dòng)了3米（x以米計(jì)），它的速度和加速度增為多大？例題分析解（1）設(shè)t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)速度為v,則由動(dòng)量定理得:

代入數(shù)據(jù)t=3s、m=10kg可得速度和加速度分別為（2）設(shè)移動(dòng)到x位置時(shí)質(zhì)點(diǎn)速度為v，則由動(dòng)能定理，得:

代入數(shù)據(jù)x=3m、m=10kg可得速度和加速度分別為2.從10米深的井中把10千克的水勻速上提，若每升高1米漏去0.2千克的水.λ=0.2kg/m

(1)畫(huà)出示意圖，設(shè)置坐標(biāo)軸后，寫(xiě)出力所作元功的表達(dá)式.(2)計(jì)算把水從井下勻速提到井口外力所作的功.解(1)建立坐標(biāo)并作示意圖如下：(2)解如圖所示，小球在從A擺到B的過(guò)程中，合外力對(duì)小球所做的功為2.一個(gè)質(zhì)量為m的小球系在線(xiàn)的一端，線(xiàn)的另一端系在墻上的釘子上，線(xiàn)長(zhǎng)為l，先拉動(dòng)小球使線(xiàn)保持水平靜止，然后松手使小球下落.求線(xiàn)擺下θ角時(shí)這個(gè)小球的速率和繩子的張力.

對(duì)于小球利用動(dòng)能定理，得而，，所以4.如圖所示.質(zhì)量為M

的小平板車(chē)停靠在小平臺(tái)旁，有質(zhì)量為m

的物塊以進(jìn)入平板車(chē)內(nèi).設(shè)車(chē)與地面間的摩擦可以忽略不計(jì).物塊與車(chē)廂間的摩擦系數(shù)為，車(chē)廂長(zhǎng)為d，物塊進(jìn)入小車(chē)后帶動(dòng)小車(chē)開(kāi)始運(yùn)動(dòng).當(dāng)車(chē)行駛l距離時(shí)，物塊剛好滑到一端的擋板處.然后物塊與小平板車(chē)以同一速度運(yùn)動(dòng).

解（1）若把物塊與車(chē)選為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，則該質(zhì)點(diǎn)系在水平方向無(wú)外力作用，所以質(zhì)點(diǎn)組在水平方向上動(dòng)量守恒，在上述所描述的過(guò)程中，初末態(tài)的動(dòng)量相等，有（1）物塊與平板車(chē)組成的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒否？（2）質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能守恒否？（3）動(dòng)量和動(dòng)能有何不同？試分析在上述過(guò)程中:

考慮過(guò)程中間的某一狀態(tài)時(shí)，物塊和小車(chē)的速度不同，此時(shí)也有動(dòng)量守恒的關(guān)系

（2）在上述所描述的過(guò)程中，對(duì)于物塊和小車(chē)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組，雖然沒(méi)有外力做功，但有一對(duì)摩擦內(nèi)力存在，這一對(duì)內(nèi)力所做的功分別為:

物塊受與運(yùn)動(dòng)方向相反的摩擦力，大小為μmg，位移為l+d

，因?yàn)榱εc位移方向相反，所以此摩擦力做的功為

小車(chē)受摩擦力的作用大小為，位移為l,力與位移方向相同，所以此時(shí)摩擦力做的功為

質(zhì)點(diǎn)組的這一對(duì)內(nèi)力做的功的代數(shù)和為，內(nèi)力做了負(fù)功

據(jù)質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理，質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能將減小同樣的數(shù)值，所以質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能不守恒.一、保守力及保守力的功1、內(nèi)力作功的特點(diǎn)⑴重力作功的特點(diǎn)結(jié)論：重力作功與路徑無(wú)關(guān)§2.4勢(shì)能機(jī)械能轉(zhuǎn)化及守恒定律⑵萬(wàn)有引力作功的特點(diǎn)結(jié)果表明：萬(wàn)有引力作功與路徑無(wú)關(guān)⑶彈力作功的特點(diǎn)結(jié)果表明：彈力作功與路徑無(wú)關(guān)⑷摩擦力作功的特點(diǎn)ab結(jié)果表明：摩擦力作功與路徑有關(guān)保守力存在的區(qū)域稱(chēng)之為保守力場(chǎng)；

根據(jù)內(nèi)力做功的特點(diǎn)，我們可以把內(nèi)力分為保守內(nèi)力與非保守內(nèi)力，其定義為：

若某種力做功僅與始末位置有關(guān)而與路徑無(wú)關(guān)，則這種力稱(chēng)之為保守力；

若某種力做功不僅與起末位置有關(guān)而且還與路徑有關(guān)，則這種力稱(chēng)之為非保守力.2、保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力保守力和非保守力都屬于系統(tǒng)（質(zhì)點(diǎn)系）的內(nèi)力.3、勢(shì)能都與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)保守力作功的結(jié)果都是兩個(gè)位置的函數(shù)之差這些位置的函數(shù)的量綱都與能量的量綱相同⑴保守力作功的共同點(diǎn)由看出⑵勢(shì)能

能量是物質(zhì)的基本屬性之一，也是物體作功本領(lǐng)的一種量度；功是作功過(guò)程中能量傳遞或轉(zhuǎn)化的量度，因此，把這種與保守內(nèi)力作功相聯(lián)系的、由相對(duì)位置決定的、潛在的作功本領(lǐng)，稱(chēng)為位能，后改名叫勢(shì)能，用Ep表示引力勢(shì)能重力勢(shì)能彈性勢(shì)能結(jié)論：保守內(nèi)力所作的功等于系統(tǒng)勢(shì)能增量的負(fù)值共同性：

對(duì)于萬(wàn)有引力勢(shì)能，通常取無(wú)窮遠(yuǎn)處作為零勢(shì)能點(diǎn)，即

對(duì)于重力勢(shì)能，通常取地面作為零勢(shì)能點(diǎn)，即

對(duì)于彈性勢(shì)能，通常取彈簧無(wú)形變處作為零勢(shì)能點(diǎn)，即注意點(diǎn)：⑴勢(shì)能是屬于保守力系統(tǒng)共有的

⑵勢(shì)能是一相對(duì)量，其大小與零點(diǎn)選取有關(guān)

⑶但與零點(diǎn)選取無(wú)關(guān)

引入了保守力、非保守力和勢(shì)能的概念之后，將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

中的

分解4、功能原理

該結(jié)果說(shuō)明：外力和非保守內(nèi)力作功的代數(shù)和和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。該結(jié)論稱(chēng)為功能原理二、機(jī)械能轉(zhuǎn)化和守恒定律

若外力和非保守內(nèi)力均不做功，或質(zhì)點(diǎn)組在只有保守內(nèi)力做功的條件下，質(zhì)點(diǎn)組內(nèi)部的機(jī)械能相互轉(zhuǎn)化，但總的機(jī)械能保持不變.這就是機(jī)械能轉(zhuǎn)化和機(jī)械能守恒定律.由功能原理可知三、能量轉(zhuǎn)化與守恒定律

能量既不能消滅，也不能產(chǎn)生；它只能從一個(gè)物體傳遞給另一個(gè)物體，或物體的一部分傳遞給另一部分，由一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式.這稱(chēng)之為能量轉(zhuǎn)化與守恒定律.

1.如圖所示,勁度系數(shù)為k的輕彈簧水平放置,一端固定,另一端系一質(zhì)量為m的物體，物體與水平面間的摩擦系數(shù)為。開(kāi)始時(shí)彈簧沒(méi)有伸長(zhǎng)，現(xiàn)以恒力F將物體自平衡位置開(kāi)始向右拉動(dòng)，試求系統(tǒng)的最大勢(shì)能.

解：★受力分析例題分析★彈性勢(shì)能最大處在速度為零的位置（最大位移）處★可用動(dòng)能定理或功能原理求解可求得所以系統(tǒng)的最大勢(shì)能為動(dòng)能定理求解：功能原理求解：3.如圖是打樁的示意圖.設(shè)錘和樁的質(zhì)量分別為m1和m2，錘的下落高度為h，假定地基的阻力恒定不變，落錘一次，木樁打進(jìn)土中的深度為d，求地基的阻力f等于多大？解：整個(gè)過(guò)程可分為三個(gè)階段

以錘和樁為研究對(duì)象，則錘與樁構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)量守恒.★碰前

以錘為研究對(duì)象，錘打擊樁前作自由落體運(yùn)動(dòng),則★碰撞過(guò)程聯(lián)立以上各式，求解可得

設(shè)錘打擊樁后不回跳，錘和樁以共同的速度v進(jìn)入土中，則以錘、樁和地球構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)組為研究對(duì)象由功能原理可得

★碰后（2）如果和交換位置，結(jié)果如何？（1）對(duì)上面的木板必須施加多大的正壓力，以便在力突然撤去而上面的木板跳起來(lái)時(shí)，恰好使下面的木板提離地面？4.如圖所示，用一彈簧把質(zhì)量分別為m1和m2的兩塊木板連接在一起，放在地面上，彈簧的質(zhì)量可忽略不計(jì)，且m2>m1.問(wèn)：解設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為k,上面的木板處于最低狀態(tài)時(shí)的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，彈簧處于自然長(zhǎng)度時(shí)的位置為彈性勢(shì)能零點(diǎn),如圖所示.設(shè)上跳使彈簧伸長(zhǎng)正壓力壓上面的木板時(shí)，彈簧壓縮量

若上面的木板運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，彈簧恰能伸長(zhǎng)，則以上各量必須滿(mǎn)足此時(shí)下面的木板恰能被提起。突然撤去外力后，上面的木板由這一位置從靜止開(kāi)始向上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橄到y(tǒng)（兩塊木板、彈簧、地球）只有重力、彈性力做功，所以系統(tǒng)遵守機(jī)械能守恒定律.把和代入上式，化簡(jiǎn)可得因?yàn)椴皇菈毫?，故舍?

所得結(jié)果具有對(duì)稱(chēng)性，因此和交換位置結(jié)果是不會(huì)改變的.5.如圖所示，質(zhì)量為m的物塊從離平板高為h的位置下落，落在質(zhì)量為m的平板上.已知輕質(zhì)彈簧的彈性系數(shù)為k，物塊與平板的碰撞為完全非彈性碰撞，求碰撞后彈簧的最大壓縮量.解該問(wèn)題可分解為三個(gè)過(guò)程加以處理，即物塊下落的過(guò)程、物快與平板碰撞的過(guò)程、物塊與平板碰撞后彈簧繼續(xù)被壓縮的過(guò)程.

在物塊與平板碰撞過(guò)程中，由于碰撞過(guò)程時(shí)間極為短促，此時(shí)重力、彈性力比碰撞時(shí)相互作用的沖力小得多，可以忽略不計(jì)，若碰撞后物塊和平板共同前進(jìn)的速度為，則由動(dòng)量守恒定律可