云南省昆明市實(shí)驗(yàn)中學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)第第頁(yè)共8頁(yè)14.2.1平方差公式 教學(xué)設(shè)計(jì)人教版教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)（上冊(cè)）第十四章第二節(jié)第i課時(shí)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，自然過(guò)渡到具有特殊形式的多項(xiàng)式的乘法.本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生在已有整式乘法知識(shí)的基礎(chǔ)上， 歸納這一類乘法結(jié)果的普遍性,是從特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程.除了從代數(shù)角度來(lái)證明這個(gè)公式之外，還從幾何角度加以驗(yàn)證，加強(qiáng)對(duì)平方差公式的幾何理解，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.通過(guò)對(duì)平方差的學(xué)習(xí)和研究，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平方差公式是一類多項(xiàng)式乘法的簡(jiǎn)便計(jì)算，它為今后學(xué)習(xí)因式分解、分式的化簡(jiǎn)、解一元二次方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為完全平方公式的學(xué)習(xí)提供了研究方法.因此，平方差公式在初中階段的教學(xué)中具有非常重要的地位，是初中學(xué)習(xí)階段學(xué)生接觸到的第一個(gè)最基本、用途最廣泛的乘法公式.采用“創(chuàng)設(shè)情景一自主探究、合作交流一猜想一驗(yàn)證一加深理解一應(yīng)用與拓展”的教學(xué)方法.通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境引入課題、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，順利引入新課.學(xué)生通過(guò)自己的計(jì)算、觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納得出這兩個(gè)二項(xiàng)式相乘其積為兩項(xiàng)，究其原因是 （ab）（ab）a2ababb2從而猜想出平方差公式.證明猜想時(shí)運(yùn)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則， 證明：（ab）（ab）a2b2;再進(jìn)行幾何驗(yàn)證,通過(guò)學(xué)生小組合作，利用割補(bǔ)法完成剪拼活動(dòng)，根據(jù)圖形面積的相等關(guān)系，進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證平方差公式，滲透數(shù)形結(jié)合的思想.學(xué)生經(jīng)歷“特殊一歸納一猜想一證明”的認(rèn)知過(guò)程，教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和語(yǔ)言表達(dá)能力.讓學(xué)生用語(yǔ)言敘述公式，揭示公式的結(jié)構(gòu)特征：①公式左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，而且是相同兩數(shù)和與差相乘，即左邊兩括號(hào)內(nèi)有一項(xiàng)相等、另一項(xiàng)互為相反數(shù)（式）；②公式右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差，即右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；③公式中的a和b可以表示具體數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.通過(guò)觀察平方差公式，體驗(yàn)公式白簡(jiǎn)潔性，并通過(guò)分析公式的本質(zhì)特征掌握公式.在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住公式的核心，通過(guò)例題提高學(xué)生運(yùn)用公式解決問(wèn)題的能力.最后，通過(guò)例題 2,突破創(chuàng)設(shè)情景中的問(wèn)題，達(dá)到前后呼應(yīng)，進(jìn)一步落實(shí)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，使學(xué)生充分體會(huì)成就感，進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容主要如下:.平方差公式的猜想；.平方差公式的證明;.平方差公式的應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)：.經(jīng)歷探索平方差公式的全過(guò)程；.掌握公式的結(jié)構(gòu)特征及正確運(yùn)用公式解決問(wèn)題.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo).通過(guò)猜想、探索、歸納、論證平方差公式，理解、掌握平方差公式的特征和意義，并能夠正確運(yùn)用平方差公式解決問(wèn)題；.采用“創(chuàng)設(shè)情景一自主探究、合作交流一猜想一驗(yàn)證一加深理解一應(yīng)用與拓展”的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生掌握從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律，感受數(shù)學(xué)的魅力、意義.同時(shí)在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的推理、歸納能力；在驗(yàn)證過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想；在應(yīng)用與拓展中培養(yǎng)學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想..在教學(xué)過(guò)程中，特別是公式中字母a、b的廣泛含義讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.充分培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神，加強(qiáng)了團(tuán)隊(duì)意識(shí)，更重要的是通過(guò)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題一研究問(wèn)題一解決問(wèn)題讓學(xué)生獲得成功的喜悅，促進(jìn)了學(xué)生的創(chuàng)新精神.目標(biāo)解析.讓學(xué)生經(jīng)歷“特殊一歸納一猜想一證明一運(yùn)用”這一教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)歷探索并證明平方差公式，讓學(xué)生清楚地、準(zhǔn)確地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)平方差公式；在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義..讓學(xué)生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問(wèn)題.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習(xí)中，對(duì)學(xué)生發(fā)生的錯(cuò)誤做具體分析，加深學(xué)生對(duì)公式的理解.在解決問(wèn)題時(shí)，一切從題目結(jié)構(gòu)出發(fā)，根據(jù)題目結(jié)構(gòu)多角度思考一題多解，從中尋找最佳解題方法，具體在運(yùn)用公式計(jì)算時(shí)，要認(rèn)清結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn) a、b..通過(guò)自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知這一過(guò)程.讓學(xué)生在探究合作交流的過(guò)程中，展示思維過(guò)程，讓學(xué)生的思維全過(guò)程得到充分展現(xiàn)，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中，思維火花強(qiáng)烈碰撞，讓數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)成為自然的事情.本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中體會(huì)成功的喜悅.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析從學(xué)生的構(gòu)成與家庭結(jié)構(gòu)方面看，我校八年級(jí)學(xué)生來(lái)自全市12所學(xué)校共414人，學(xué)生基礎(chǔ)參差不齊，構(gòu)成復(fù)雜.從智力與能力發(fā)展的年齡特征來(lái)看，八年級(jí)學(xué)生的思維正處于從具體的形象思維成分為主，向以抽象邏輯思維成分為主的轉(zhuǎn)折期.因此，教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)必須注意具體性、形象性，同時(shí)還要有適當(dāng)?shù)某橄?、概括要?學(xué)生學(xué)習(xí)平方差公式的困難在于對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義的理解.因此，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生分析公式的結(jié)構(gòu)特征，并運(yùn)用變式訓(xùn)練揭示公式的本質(zhì)特征，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解.但是對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，一方面如何從項(xiàng)的角度來(lái)理解平方差公式的特征，區(qū)別與其他多項(xiàng)式相乘的算式會(huì)有一定的困難；另一方面，用幾何方法來(lái)驗(yàn)證所得的乘法公式要求有點(diǎn)高，估計(jì)學(xué)生會(huì)需要老師的幫助.由于學(xué)生初次學(xué)習(xí)公式，在運(yùn)用公式時(shí)，認(rèn)清結(jié)構(gòu)不易，而且本節(jié)課所學(xué)的公式運(yùn)用僅是基礎(chǔ)部分的，因此，教學(xué)時(shí)不可撥高要求追求一步到位，而應(yīng)在今后教學(xué)中逐步達(dá)到解決難度較大的題目，并靈活運(yùn)用.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：.公式的證明；.理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，特別是公式中字母的廣泛含義的理解；.平方差公式的應(yīng)用.四、教學(xué)支持條件分析為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，將從問(wèn)題診斷分析和學(xué)生起點(diǎn)分析，分析在教學(xué)過(guò)程中存在的和可借助的支持條件..學(xué)生的起點(diǎn)分析(1)學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的有關(guān)內(nèi)容，并經(jīng)歷了用字母表示數(shù)量關(guān)系的過(guò)程，有了一定的基礎(chǔ).經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的培養(yǎng)，學(xué)生已經(jīng)具備了小組合作、交流的能力.學(xué)生剛學(xué)過(guò)多項(xiàng)式的乘法，已具備學(xué)習(xí)平方差公式的知識(shí)基礎(chǔ).(2)學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的探究，學(xué)生已感受到多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的重要性，同時(shí)，有了對(duì)式的運(yùn)算“快”、“準(zhǔn)”的積極心理，學(xué)生已具備學(xué)習(xí)公式的基本技能，通過(guò)新課程教學(xué)的實(shí)施，學(xué)生已具有探索，合作交流的習(xí)慣.因而讓學(xué)生通過(guò)探索、合作交流得出平方差公式就有了可能..從問(wèn)題診斷方面看教學(xué)方法的選取既要能適應(yīng)學(xué)生在這一時(shí)期的能力發(fā)展水平，又要能促進(jìn)他們的思維向高一級(jí)階段發(fā)展.故采用“創(chuàng)設(shè)情景一自主探究、合作交流一猜想一驗(yàn)證一加深理解一應(yīng)用與拓展”的教學(xué)方法，學(xué)生在觀察、分析、猜想、驗(yàn)證中總結(jié)出平方差公式，揭示公式的結(jié)構(gòu)特征.針對(duì)以上分析，本節(jié)課利用多媒體、實(shí)物投影、紙板教具展示教學(xué)的部分環(huán)節(jié)，如創(chuàng)設(shè)情境、公式的幾何意義等.五、教學(xué)基本流程六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)創(chuàng)設(shè)情境、引出問(wèn)題問(wèn)題1小明同學(xué)去商店買(mǎi)了單價(jià)是10.2元/千克的蘋(píng)果9.8千克，售貨員剛拿起計(jì)算器，小明就說(shuō)出應(yīng)付99.96元，結(jié)果與售貨員計(jì)算出的結(jié)果相吻合.售貨員驚訝地問(wèn)：“這位同學(xué)，你怎么算得這么快？”小明同學(xué)說(shuō)：“我利用了在數(shù)學(xué)課上剛學(xué)過(guò)的一個(gè)公式.”你知道小明同學(xué)用的是一個(gè)什么樣的公式嗎？你現(xiàn)在能算出來(lái)嗎？學(xué)了本節(jié)課以后，你就能很快解決這個(gè)問(wèn)題了.從而引出課題：平方差公式【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)情境引入、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，順利引入新課.(二)探索新知，嘗試發(fā)現(xiàn)問(wèn)題2計(jì)算下列多項(xiàng)式的積：(規(guī)律探索)(1)(x1)(x1)； (2)(m2)(m2)； (3)(2x1)(2x1).【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生獨(dú)立完成，并回答；鞏固多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則的同時(shí)，探索規(guī)律.問(wèn)題3依照以上三道題的計(jì)算回答下列問(wèn)題： (小組討論后回答以下的問(wèn)題)①三道題目有什么共同點(diǎn)？

②結(jié)果有什么共同點(diǎn)？③同學(xué)們對(duì)此問(wèn)題能否省略中間過(guò)程直接得出結(jié)果？【問(wèn)題牽引】(ab)(ab)?【設(shè)計(jì)意圖】教師提問(wèn)，學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，式子左邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差，并猜想出： (ab)(ab)a2b2.在學(xué)生已掌握的多項(xiàng)乘法法則的基礎(chǔ)上，探索具有特殊形式的多項(xiàng)式乘法一平方差公式，這樣更加自然、合理.猜想：(ab)(ab)a2b2應(yīng)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方法證明：(ab)(ab)a2ababb2a2b2求證：(ab)(ab)a2b2新知 平方差公式：(ab)(ab)a2b2【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于任意的a、b,由學(xué)生運(yùn)用多項(xiàng)式乘法計(jì)算：(ab)(ab)a2ababb2a2b2,證明了其公式的正確性.問(wèn)題4如圖所示：邊長(zhǎng)為a的大正方形，去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形后剩下的面積怎樣計(jì)算？(其中ab)法一：

*b?*b?【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生小組合作，利用割補(bǔ)法完成剪拼活動(dòng) ，根據(jù)圖形面積的相等關(guān)系，進(jìn)一步從幾何角度驗(yàn)證平方差公式的正確性，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從多角度、多方面來(lái)思考問(wèn)題.（三）發(fā)現(xiàn)新知，總結(jié)歸納問(wèn)題5你能用文字語(yǔ)言表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？新知：（ab）（ab）a2b2文字?jǐn)⑹觯簝蓚€(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述，從而提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力.（四）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)問(wèn)題6平方差公式（ab）（ab）a2b2的結(jié)構(gòu)特征是什么？①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，其中a與a”是相同項(xiàng)，b與b”是相反項(xiàng)；②右邊是二項(xiàng)式，相同項(xiàng)與相反項(xiàng)的平方差,即a2b2;歸納得出：a、b可以表示具體的數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀察平方差公式，體驗(yàn)公式的簡(jiǎn)潔性 ，并通過(guò)分析公式的本質(zhì)特征掌握公式.在認(rèn)清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了公式的核心.（五）鞏固運(yùn)用，內(nèi)化新知(ab)(ab)alb2 /ab結(jié)果

1.填空1.填空(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(0.3x-1)(1+0.3x)讓學(xué)生體會(huì)：在兩個(gè)因式中，符號(hào)相同的一項(xiàng)作a,符號(hào)不同的一項(xiàng)作b.【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)學(xué)生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤，作具體的分析，以加深學(xué)生對(duì)公式的理解，進(jìn)一步掌握平方差公式的本質(zhì)特征和運(yùn)用平方差公式必須具備的條件.例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算:(1)(3x2)(3x2)； (2)(b2a)(2ab)；(3)(x2y)(x2y); (4)(4m5)(4m5).方法總結(jié)：運(yùn)用平方差公式的關(guān)鍵是正確尋找公式中的 a和b,只有正確找到a和b,?-切就變得容易.【設(shè)計(jì)意圖】放手讓學(xué)生動(dòng)手完成，充分展現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題，從而解決問(wèn)題.鞏固平方差公式，進(jìn)一步體會(huì)字母a、b可以是數(shù)，也可以是式，加深對(duì)字母a、b含義廣泛性的理解，解決不同類型的問(wèn)題.第(4)題用不同方法計(jì)算，以體現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)造性.例2計(jì)算：102溜8; < >解決情境中的問(wèn)題：10.29.8【設(shè)計(jì)意圖】呼應(yīng)情境，解惑傳道，解答學(xué)生心中的疑惑，讓學(xué)生體會(huì)到平方差公式的威力.把兩數(shù)相乘轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與這兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)式通性.2,下列各式的計(jì)算對(duì)不對(duì)，如果不對(duì)，應(yīng)當(dāng)如何改正？TOC\o"1-5"\h\z(x2)(x2) x2 2； ( )(3a2)(3a 2) 9a2 4.( )3.在下列多項(xiàng)式的乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是( ).1 1 2 2A.(x1)(1x)B.(ab)(ba) C.(ab)(ab)D.(xy)(xy)2 24.下列計(jì)算正確的是(

_____2_ _2_A.(2x3)(2x3)2x29 B.(5x)(x6)x230_2 2C.(14b)(14b)116b D.(x4)(x4)x45.計(jì)算(y2)(y2)(y1)(y5)【設(shè)計(jì)意圖】檢測(cè)學(xué)生對(duì)平方差公式的掌握情況，通過(guò)對(duì)計(jì)算正誤的判斷進(jìn)一步鞏固平方差公式，通過(guò)計(jì)算的演練進(jìn)一步掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，從而正確、靈活運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算.(六)總結(jié)概括，自我評(píng)價(jià)這節(jié)課你有哪些收獲？【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合