◆

數(shù)學是什么◆

高等數(shù)學是什么◆

數(shù)學的歷史◆如何學習《高等數(shù)學》緒論

★

恩格斯：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系與空間形式的一門科學。”從數(shù)學的學科結(jié)構(gòu)看，數(shù)學是模型；從數(shù)學的過程看，數(shù)學是推理與計算；從數(shù)學的表現(xiàn)形式看，數(shù)學是符號；從數(shù)學對人的指導看，數(shù)學是方法論；從數(shù)學的價值看，數(shù)學是工具。一、數(shù)學是什么？1）哲學說2）符號說3）科學說4）工具說5）邏輯說6）創(chuàng)新說7）直覺說8）集合說

★15種“數(shù)學的定義”9）結(jié)構(gòu)說（關系說）10）模型說11）活動說12）精神說13）審美說14）藝術說15）萬物皆數(shù)說

——《數(shù)學文化導論》1、數(shù)學是一種哲學亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學和哲學看作是相同的?！迸ｎD在《自然哲學之數(shù)學原理》的序言中說，他把這本書“作為哲學的數(shù)學原理的著作”，“在哲學范圍內(nèi)盡量把數(shù)學問題呈現(xiàn)出來”。歐幾里得：“點是沒有部分的那種東西；線是沒有寬度的長度?！?/p>

——《幾何原本》

★★★————————————————————————————★伽利略（Galeleo）說：“展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學語言寫成的大書，如不掌握數(shù)學符號語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認識不清。”★

1965年獲得了Nobel獎的物理學家費格曼（RichardFegnman）曾說：“若是沒有數(shù)學語言，宇宙似乎是不可描述的?！薄?/p>

Nobel物理學獎獲得者溫伯格（StevenWeinberg）說過：“這是不可思議的，當一個物理學家得到一個思想時，然后卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了?！?、數(shù)學是一種語言，一切科學的共同語言————————————————————————————

F.培根說：“知識就是力量”“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙”?！餂]有Maxwell方程就不可能有電磁波理論，就不會有現(xiàn)代的通訊技術；★沒有Riemann幾何，不可能產(chǎn)生廣義相對論；★沒有Navier-Stokes方程，就不會有流體力學的理論基礎，也不可能產(chǎn)生航空學；★沒有數(shù)理邏輯和量子力學，就沒有現(xiàn)代的計算機；3、數(shù)學是一把鑰匙，一把打開科學大門的鑰匙———————————————————————————————★

諾依曼（VonNeumann）認為：“數(shù)學處于人類智能的中心領域……數(shù)學方法滲透、支配著一切自然科學的理論分支，它已愈來愈成為衡量成就的主要標志?！瘪R克思說：“一門科學只有當它達到能夠成功地運用數(shù)學時，才算真正發(fā)展了?！薄?/p>

人體器官的三維圖像(一維數(shù)學模型)★

數(shù)據(jù)壓縮技術(小波分析)★

數(shù)學在工程學、經(jīng)濟學、管理學、心理學、政治科學諸領域也有重要的作用，產(chǎn)生了很多交叉學科，如數(shù)理經(jīng)濟學、數(shù)理語言學、數(shù)學心理學、數(shù)學政治科學、對策論等。4、數(shù)學是一種工具，一種思維的工具———————————————————————————————★簡潔美★和諧美★對稱美★奇異美5、數(shù)學是一門藝術，一門創(chuàng)造性藝術———————————————————————————————兩個黑洞的斗爭分形現(xiàn)象蝴蝶吸引子數(shù)學努力的目標是：將雜亂整理為有序，使經(jīng)驗升華為規(guī)律，使復雜演變?yōu)楹唵?。?shù)學不僅是一種重要的工具和方法，同時是一種思維模式，即“數(shù)學思維”；不僅是一種知識，而且是一種素質(zhì)。結(jié)語:二、數(shù)學的歷史第一階段：數(shù)學萌芽時期（遠古時代---公元前5世紀）★形成了數(shù)的概念，

產(chǎn)生了數(shù)的運算方法。

★幾何學有了初步發(fā)展。第二階段：常量數(shù)學時期

（公元前6、7世紀---17世紀中葉）★數(shù)學形成了一門獨立的、演繹的科學★這個時期的基本成果，已構(gòu)成現(xiàn)在中學數(shù)學課本的主要內(nèi)容。第一個特征：其所研究的對象是不變的量（常量）或孤立不變的規(guī)則幾何圖形；第二個特征：表現(xiàn)在其研究方法上。既不能把幾何問題用代數(shù)術語陳述出來，也不能通過計算用代數(shù)方法來解決幾何問題。初等代數(shù)與初等幾何是互不相關的問題，▲本階段特征：如：勻速運動；勻加速運動；直邊圖形；圓弧邊圖形等第三階段：變量數(shù)學時期

（17世紀中葉---19世紀中葉）★笛卡爾的《幾何學》；恩格斯指出：數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……?！锱ｎD、萊布尼茨創(chuàng)立微積分.★這個時期的基本成果是解析幾何、微積分、微分方程等，它們是現(xiàn)今高等院校中的基礎課程。第四階段：現(xiàn)代數(shù)學階段

（19世紀至今）★主要分支：非歐幾何、群論、泛函分析、拓撲學、函數(shù)逼近論、常微分方程定性理論、數(shù)理邏輯等.1、幾何、代數(shù)、數(shù)學分析變得更為抽象。2、與其它學科之間相互交叉和滲透，形成了許多邊緣學科和綜合性學科。三、高等數(shù)學是什么？1、高等數(shù)學的涵義●廣義——第三階段的主要成果。包括《微積分》、《解析幾何》、《線性代數(shù)》和《概率論》等，即大學階段的數(shù)學?！癃M義——《高等數(shù)學》課程。主要內(nèi)容：極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微分學、多元函數(shù)積分學、級數(shù)理論、空間解析幾何和簡單微分方程等。

理論基礎：極限理論?！陡叩葦?shù)學》課程的重要性

高等數(shù)學其它數(shù)學課程物理學、天文學、工程技術、管理學、經(jīng)濟學、信息科學……↓↓支持推動“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”例：趣味數(shù)學題(1)割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽(2)截丈問題：(3)

s等于多少悖論：設則：(1)(2)(3)s=1-s

解得s=1/2

認為答案為1/2.主要是當時還沒有級數(shù)收斂的概念.這個問題據(jù)說曾令眾多大師為難,萊布尼茨都“飛矢不動”

(4)芝諾悖論：

“矢”指的是弓箭中的箭。如果我們截取“飛矢”的靜止的，所以，“飛矢”是“不動”的。每一個瞬間，它在空中都是“靜止”的。既然每一個瞬間都是靜止的，所有的瞬間加起來也應該是“芝諾悖論”的錯誤就在于，他將無窮小徹底等同于零。離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。

芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領先于他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發(fā)的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜?shù)木唷鞍⒒锼棺凡簧蠟觚敗?/p>

阿基里斯（Achilles）是希臘神話中善跑的英雄。(4)芝諾悖論：

2、微積分的涵義●微積分學是微分學和積分學的總稱?！袼且环N數(shù)學思想：無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，如：子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分。它是用一種運動的思想看待問題。子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念求曲線的長度、區(qū)域的面積、物體的體積等；微積分是從四個方面的問題來的：

求曲線的切線；

求運動物體的速度；

求一些問題的極大、極小值。

例：圖中陰影的面積、曲線的長度、陰影繞坐標軸的旋轉(zhuǎn)的立體的體積及表面積。例.不規(guī)則圖形面積解決問題的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值求近似取極限微分積分3、《高等數(shù)學》課程的作用

Ⅰ.為其他后續(xù)數(shù)學課程奠定良好的數(shù)學基礎?！毒€性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》、《復變函數(shù)與積分變換》、《數(shù)值分析》等Ⅱ.為同學們學習相關基礎課程及本專業(yè)的專業(yè)課程奠定數(shù)學基礎。《大學物理》、《計算機理論基礎》、《控制理論基礎》等Ⅲ.逐步培養(yǎng)學生應該具有的能力與素質(zhì)：①抽象概括問題的能力；例:(七橋問題)

科尼斯堡有條布勒格爾河上有七座橋，“能否在一次散步中每座橋都走一次，而且只走一次最后又回到出發(fā)點？”②邏輯推理能力；例：某外企招考員工的一道題：有三個筐，一個筐里裝著橘子，一個筐里裝著蘋果，一個筐里混裝著橘子和蘋果，裝完后封好。然后做“橘子”、“蘋果”、“混裝”三個標簽，分別貼到上述三個筐上。由于馬虎，結(jié)果全貼錯了。請想一個辦法，只許從某一個筐里拿出一個水果，就能夠糾正所有的標簽。

——《數(shù)學文化》顧沛著，高等教育出版社。

例：微軟公司招考員工的一道面試題：一個屋子里有50個人，每個人領著一條狗，而這些狗中有一部分病狗。假定有如下條件：a.狗的病不會傳染，也不會不治而愈；b.狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能看別人的狗，從而推理發(fā)現(xiàn)自己的狗是否有??；c.一旦主人發(fā)現(xiàn)自己的狗是一只病狗，就會在當天開槍打死這條狗；d.狗只能由它的主人開槍打死。結(jié)果，第一天沒有槍聲，第二天沒有槍聲，……，第十天發(fā)出了一片槍聲，問有幾條狗被打死？——《數(shù)學文化》，顧沛著，高等教育出版社。

③空間想象能力；④自學能力；⑤比較熟練的運算能力；⑥綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力；例：證明：①在凸凹不平的地面上，將四條腿桌子旋轉(zhuǎn)調(diào)整幾次，一定可以使其放穩(wěn)。②金屬環(huán)加熱過程中，環(huán)上必存在具有相同溫度的關于圓心對稱的兩點.⑦具有處理數(shù)據(jù)和圖形的能力，重點是加強應用意識和數(shù)學建模的能力；⑧具有進行邏輯推理和選擇計算方法的能力；⑨具有判斷計算和推理結(jié)果正確性的能力；例：某公司的一個崗位三年聘期，提供了兩種薪酬支付方式，A：月薪1000，每月加薪100；B：季薪6000，每季度加薪300，若你在這個崗位上，請問你選擇哪種支付方式？四、如何學習高等數(shù)學？聽懂、練會、考好、用活1.培養(yǎng)興趣。興趣是最好的老師！沒有興趣的學習是痛苦的折磨。2.多加練習。聽數(shù)學不如讀“數(shù)學”，讀數(shù)學不如做“數(shù)學”3.掌握規(guī)律

復習----學習新知識----練習----總結(jié)

學習中要抓住三個問題：基本概念，基本原理，典型范例。要求：基本概念要準確；基本