Z空間中列緊集的判定2賴寶鋒等度收斂：我們說12空間中的子集A等度收斂是指對任意8>0，存在一個只與8有關(guān)的N>0，使得對任意A中的元素l=(l,l,l,……)，都有+212)+212)<8jj=N+1定理：設A為12空間的緊集，則A列緊當且僅當A有界且等度收斂。證明：必要性假設A列緊，則A完全有界，于是A有界，并且對任意8>0，存在A的有窮28-網(wǎng)：l(1),l⑵，…，l(n)。對任意1<i<n，存在一個N>0，使得f存在1<存在1<i<n，使得||l-l(i)||<一8、 |l(i)|2)2jj=Ni+1取N=max{N}1<i<nV1<V1<i<n、 |l(i)|2)2jj=N+1對任意對任意lGA即(￡|lj-l:)|2)：<18。于是，j=1+w +V1|l|2)2=(￡|l-l(i)+l(i)|2)2<(￡j=N+1由l的任意性，

充分性j=N+1<(￡|l-l(i)|2)；+(￡|l(i)|2)；<-+-=8j22j=N+1A有界且等度收斂。jjj=1A等度收斂。這樣+ \^ +|l-l(i)|2)2+(￡|l(i)|2)2j=N+1根據(jù)12的完備性，要證明A列緊，只需要證明A完全有界即可，即證明對任意8>0，A都有有窮的8-網(wǎng)。對任意8>0，存在只與8有關(guān)的N>0對任意8>0，存在只與8有關(guān)的N>0，使得對任意l=(l,l,l,......) GA，都有1 2 3|lj|ljj=N+1+ 82|2)<-3我們?nèi)={(l,l,...,l)I31 ,l ,......,s.t.(l,l,l......)GA}uRN。由a的有界性，1 2NN+1N+2 1 2 3我們得到了M的有界性，即M為RN的有界子集。因此，m列緊，故M完全有界，即有有限的L8-網(wǎng)：{(l(i),l(i),.....,l(i)),i=1,2,3,...,n}。這樣，{(l(i),12i),.....,lN),lN+1,lN+2,......),i=1,2,3,...,n}就是A有限的8-網(wǎng)。其中，l"l",lN)3,.……使得(l(i),l(i),.....,l(i),l(i\,l(i),......)GA事實上，任取l=(l,l,l,......,l,l,l ,......)Ga，則必然存在一個1<i<n，使1 2 3 NN+1N+2得II(l,l,....,l)-(l(i),l(i),...,l(i))II<-，即1 2N 1 2 N 3NfIl-I82Ki)I<一jj 9j=1于是，fIl—fIl—l(i)I2=2^11—l(i)12+2^11—l(i)I2jj jj jjj=1j=1 j=N+1x^ +(fIl-l(i)I2)2=II(l—l(i),l—l(i),......)II<II(l,l，…...)II+II(l(i),l(i),......)II<8+8jj N+1N+1N+2N+2 N+1N+2 N+1N+2 3 3j=N+1283是，fIl-l(i)|2<482。這樣，jj9j=N+1也就是V"^f11—li)1j=1|2=fN|lj—j=1l(jV"^)I斗fj=N11Il,-，l(k<24b斗9582=982<82(f\l-l(ij1)I22)<8j=1因此，｛（l（i）,l（i）,.....,l（i）,l（i）.,l（i）,......）,i=1,2,3,...,n｝就是A有限的8-網(wǎng)。再由12的完備性，A列緊。結(jié)論得證！推論：設L為L2（。）中的有界線性算子，其有特征值｛人｝，而相應的特征函數(shù)付｝是L2（。）的一組標準正交基，M為L2（。）的有界子集，那么L（M）列緊只需要Sixr收斂，即可。nn-1證明：WQ)與12同構(gòu)，我們定義其同構(gòu)映射為G，如下:())T(1,1,……)nn 1 2n-1為了證明￡(肱)列緊，我們只需要證明q(L(M))列緊，即可。于是，我們只需要證明a(L(M))有界且等度收斂，即可！肱有界，故存在一個常數(shù)R>0，使得，對任意uwM，都有13II<R°Z?(Q)任取"=￡心S(Q)，則nnn-1IILuII<11AIlliuII<11AIIRTOC\o"1-5"\h\zL2(Q) L2(Q)于是，)有界，也就是a(L(M))有界。Lw=SkZ(|)J于是，nnnIILuII=(EIX|2|Z|2)2r2(n) "打n二1由于II侃IIMR，因此IzIVR，這樣JIILu