11.4對面積的曲面積分第十章曲線積分與曲面積分概念的引入對面積的曲面積分的定義對面積的曲面積分的計算法1實例解

第一步:將Σ分為許多極其微小的子域,以dS為代表,dS的質(zhì)量為:

第二步:求和取極限則取

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.光滑的,它的面密度為連續(xù)函數(shù)求它的質(zhì)量.對面積的曲面積分一、概念的引入21.定義函數(shù)f(x,y,z)在Σ上任意取定的點,并作和如果當各小塊曲面的直徑這和式的極限存在,則的最大值①②③④對面積的曲面積分二、對面積的曲面積分的定義

第i小塊曲面的面積),作乘積設(shè)曲面Σ是光滑的,同時也表示有界.把Σ

任意分成n小塊3或記為即如曲面是曲面元素被積函數(shù)則積分號寫成積分曲面稱極限為函數(shù)對面積的曲面積分第一類曲面積分.閉曲面,對面積的曲面積分42.存在條件在光滑曲面Σ上今后,假定的曲面積分存在.對面積連續(xù),對面積的曲面積分3.對面積的曲面積分的性質(zhì)5

補充：第一類面積分對稱性設(shè)分片光滑的x的奇函數(shù)x的偶函數(shù)其中則曲面Σ關(guān)于yOz面對稱,對面積的曲面積分64.對面積的曲面積分的幾何意義空間曲面Σ的面積:5.對面積的曲面積分的物理意義面密度為連續(xù)函數(shù)的質(zhì)量M為:對面積的曲面積分7則按照曲面的不同情況分為以下三種：思想是:化為二重積分計算.(1)對面積的曲面積分三、對面積的曲面積分的計算法8則則(2)(3)對面積的曲面積分9確定投影域并寫出

然后算出曲面面積元素;最后將曲面方程代入被積函數(shù),對面積的曲面積分時,首先應根據(jù)化為二曲面Σ選好投影面,曲面Σ的方程,重積分進行計算.對面積的曲面積分10例解投影域:所截得的部分.故對面積的曲面積分二重積分的對稱性對稱性11解依對稱性知例拋物面有?對面積的曲面積分被積函數(shù)為第一卦限部分曲面.12極坐標投影域：對面積的曲面積分積分曲面13例所圍成的空間立體的表面.對面積的曲面積分14解投影域?qū)γ娣e的曲面積分例所圍成的空間立體的表面.對稱性15(左右兩片投影相同)將投影域選在注分成左、右兩片對面積的曲面積分對稱性16計算曲面積分其中Σ是球面解Σ的方程方程是:方程是:投影域Σ記上半球面為下半球面為不是單值的.的值.練習對面積的曲面積分17對上半球得對下半球Σ是球面對面積的曲面積分18所以極坐標對面積的曲面積分19計算其中Σ為球面之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域Σ解練習上方的部分.對面積的曲面積分20Σ因曲面Σ于是x3是x的奇函數(shù)，x2y是y的奇函數(shù).關(guān)于yOz面及xOz面對稱;

對面積的曲面積分21例解積分曲面方程輪換對稱提示即三個變量輪換位置方程不變.具有輪換對稱性,中的變量x、y、z對面積的曲面積分22

1995年研究生考題,計算,6分解積分曲面Σ在xOy面上的投影域?qū)γ娣e的曲面積分練習▲23積分曲面對面積的曲面積分▲24

對面積的曲面積分的計算

對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分四、小結(jié)四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為二重積分計算;

對面積的曲面積分的幾何意義與物理意義曲面方程三種形式的計算公式25思考題

定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題是對面積的曲面積分因為若Ω為直線上的區(qū)間[a,b],則故▲26思考題

定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題對面積的曲面積分是若Ω是平面區(qū)域G,則故▲27思考題

定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題對面積的曲面積分是若Ω是空間區(qū)域,則故▲28思考題