2022屆高二數(shù)學(xué)期末備考專題極坐標(biāo)與參數(shù)方程1求點(diǎn)的極坐標(biāo)：有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對,叫極徑，叫極角；極坐標(biāo)：M是平面上一點(diǎn)，表示OM的長度，是MOx，則有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對,叫極徑，叫極角；一般地，[0,2)，。例1（1）點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(1,3)，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（C）A．(2,)B．(2,)2D．(2,2),()C．(2,)kZ33323提示：(2,2k),(kZ)都是點(diǎn)的極坐標(biāo)3（2）點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(3,1),在0,02的要求下,它的極坐標(biāo)為(2,11)6提示：點(diǎn)的直角坐標(biāo)為x3,y1，∴x2y22y3，tan3x（3）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,3)，則在相應(yīng)的極坐標(biāo)系中它的極坐標(biāo)可以是（C）A(2,5)B．(2,5)C．(2,5)D．(2,11)6336常有的曲線的極坐標(biāo)方程（1）直線過點(diǎn)M(0,0),傾斜角為常有的等量關(guān)系：正弦定理OPOM，OMP0OPM；OMPsinOPMsin（2）圓心(0,0)epp331ecos1cos24cos24cos34512y28xe1,p41cos442cos4|FA|44(22)|FB|44(22)cos51cos144|AB||FA||FB|16y24x11y24xp212(,)|FA||FB|cos(,)111cos1cos111(xa)2(xb)2r2|FA||FB|22|FA||FB|xarcos,xbrsinx2y21xacos,xbsin(x0,y0),傾斜角為的參數(shù)方程：a2b2tanyy0即xx0yy0t，xx0cossin即xx0tcos(t是參數(shù))注：cosxx0，sinyy0依照銳角三角函數(shù)定義，yy0tsintt的幾何意義是有向線段的數(shù)量；例3已知過點(diǎn)P(9,3)的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交于、兩點(diǎn)，則最小值為提示：設(shè)x9tcos傾斜角為，則ABt1t2或=|t1||t2|，t19,t23，y3tsincossin則l( )93l( )9sin3cos9sin33cos3l()0cossin，cos2sin2cos2sin2，令，tan33(193)3所以，tan1,150，l( )minl(150)9383注意：本題可以取傾斜角3cos150sin150的補(bǔ)角為。x21t例4（1）直線2(t為參數(shù)被圓x2y24截得的弦長為______________1ty12提示：直線為xy10，圓心到直線的距離d1222（2）過點(diǎn)xt1x3xt1,,3s,t為參數(shù))2為參數(shù))t為參數(shù))22411ytyyt1tst2s263s100s1s263，s1s210s1s2(s1s2)24s1s2P(1,1)6x1tcosx13tx13tx2y24622x2y241t1ty1tsiny1y1622(13t)2(11t)24,t2(31)t20tt2xcos2212ysin2x2y2y2xcos2(cos,sin)4xtany(x4xy0)ysinx2sin24cos4sintan

cossin

4M(,)sintan向X軸作垂線MN，RtMNF中，F(xiàn)Ncos。依照拋物線定義得，MH2FN，2cos，即2。cos1例6已知曲線C的極坐標(biāo)方程是4cos．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸x2t1的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是：2，求直線與曲線C相y2t2交所成的弦的弦長．解：曲線C的極坐標(biāo)方程是4cos化為直角坐標(biāo)方程為2＋2－4=0，即（－2）2＋2=4--------------------------------------2分x2t1直線的參數(shù)方程2，化為一般方程為－－1=0，2ty2-------------------------------4分曲線C的圓心（2，0）到直線的距離為1222-------------------------------------6分所以直線與曲線C訂交所成的弦的弦長21=．--------------------------------10分42例7已知橢圓的極坐標(biāo)方程為212，點(diǎn)，為其左，右焦點(diǎn)，直線的參數(shù)3cos24sin2x22t,2(t,tR)2t,2:yx22x2y24413F1(1,0),F2(1,0)10232,6d122d1022,8222d1d222.1012x,yF(x,y)0P(x,y)x32cosx32cosy2siny2sin(x3)2y24C(3,0),P(0,1)PCOy3x1M(,)6xcosy3x1sin3cos1ysin111RtPMCcos(5sin3cos)22sin()2sin()633l:cos4OMOP12(,)(0,),則012.0cos4,3cos即為所求軌跡方程Ⅱ由Ⅰ知3,03(,)OMOP12012OMOP12012x2y21221612x2y120x4cosd4cos43sin12y23sin545cos3sin3452cos(3)3cos()15dmin4555335(2,3)222sin()20P(x,y)22sin()20244222(sincossincossin)20xcos2x2y2ysin44x2y22y2x20P(x,y)(x1)2(y1)24x2cosy2sin2(sincos)22sin()22sin()22[22,22]P(x,y)xcos44ysin22sin(xcos)P(x,y)P(x,y)sin4y

x12coscos)222y12(sin2sin22sin( )22[222,222]F1F242、N，設(shè)F2F1M(0),4當(dāng)α為何值時，MN與橢圓短軸長相等解法一：以橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)長軸所在直線為極軸建立極坐標(biāo)系這里:a=3,c=22,b1,pa2c2,e22,所以橢圓的極坐標(biāo)方程為：c43ep11ecos322cos設(shè)M點(diǎn)的極坐標(biāo)為(1,)，N點(diǎn)的極坐標(biāo)為(2,)，MN116,12322cos322cos()98cos2解法二：設(shè)橢圓的633由MN2得，298cos2方程為42又0，所以或5.66x2y21(22,0)MN922tcos(l為參數(shù)）ytsin(18sin2)t242tcos10MNt1、t2MNt1t232cos24(18sin2)6218sin218sin2s