第一節(jié)集合

完全與教材同步，主干知識精心提煉。素質(zhì)和能力源于基礎(chǔ)，基礎(chǔ)知識是耕作“半畝方塘”的工具。視角從【考綱點(diǎn)擊】中切入，思維從【考點(diǎn)梳理】中拓展，智慧從【即時應(yīng)用】中升華?？茖W(xué)的訓(xùn)練式梳理峰回路轉(zhuǎn)，別有洞天。去盡情暢游吧，它會帶你走進(jìn)不一樣的精彩！內(nèi)容

要求ABC集合及其表示√子集√交集、并集、補(bǔ)集√…………三年4考高考指數(shù):★★★★★確定性互異性無序性∈(3)常見集合的符號NN*或N+ZQR自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集(4)集合的表示方法①__________②__________③____________列舉法描述法Venn圖法【即時應(yīng)用】(1)判斷下列結(jié)論是否正確(在后面的括號內(nèi)填“√”或“×”)：①Z={全體整數(shù)}()②R={實(shí)數(shù)集}={R}()③{(1，2)}={1，2}()④{1，2}={2，1}()(2)若集合A={1，a2}，則實(shí)數(shù)a不能取的值為________.【解析】(1)①不正確，正確寫法為Z={整數(shù)};②不正確，正確寫法為R={實(shí)數(shù)}；而{R}表示以實(shí)數(shù)集為元素的集合；③不正確，集合{(1，2)}表示元素為點(diǎn)(1，2)的點(diǎn)的集合，而{1，2}則表示元素為數(shù)1，2的數(shù)的集合，它們是不相等的；④正確，根據(jù)集合中元素的無序性可知{1，2}={2，1}.(2)由a2≠1,得a≠±1.答案：(1)①×②×③×④√(2)±12.集合間的基本關(guān)系A(chǔ)B或BA

文字語言符號語言相等子集真子集空集

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A中任意一個元素均為B中的元素,且B中至少有一個元素不是A中的元素A中任意一個元素均為B中的元素集合A與集合B中的所有元素相同AB(B)

關(guān)系

表示AB且BAA=BAB或BA【即時應(yīng)用】(1)滿足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M的個數(shù)是______.(2)若A={x|x>2或x<1},B={x|a<x<a+1},若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【解析】(1)由已知可得M中一定有1,2,3且含有4,5,6中的一個或兩個,則共有6種情況.(2)由題意知a+1≤1或a≥2,即a≤0或a≥2.答案：(1)6(2)a≤0或a≥23.集合的基本運(yùn)算基本運(yùn)算并集交集補(bǔ)集符號表示圖形表示數(shù)學(xué)語言表示【即時應(yīng)用】(1)滿足條件M∪{1}={1，2，3}的集合M的個數(shù)是______.(2)設(shè)集合A={x|x2+x-6>0},B={x|},則A∪B=______.(3)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x＜-1或x＞4},那么集合等于______.【解析】(1)由題意知M={2,3}或M={1，2，3},共2個.(2)∵A={x|x<-3或x>2},B={x|x≤3},∴A∪B=R.(3)∵={x|-1≤x≤4},∴A∩()={x|-1≤x≤3}.答案：(1)2(2)R(3){x|-1≤x≤3}例題歸類全面精準(zhǔn)，核心知識深入解讀。本欄目科學(xué)歸納考向，緊扣高考重點(diǎn)?！痉椒c(diǎn)睛】推門只見窗前月：突出解題方法、要領(lǐng)、答題技巧的指導(dǎo)與歸納；“經(jīng)典例題”投石沖破水中天：例題按層級分梯度進(jìn)行設(shè)計(jì)，層層推進(jìn)，流暢自然，配以形異神似的變式題，幫你舉一反三、觸類旁通。題型與方法貫通，才能高考無憂！集合的基本概念【方法點(diǎn)睛】1.注意集合中元素的互異性對于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性.2.常見集合代表元素的意義集合

{x|f(x)=0}{x|f(x)>0}{x|y=f(x)}{y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)}集合的意義方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函數(shù)y=f(x)的定義域函數(shù)y=f(x)的值域函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)集【提醒】研究一個集合,首先要看集合中的代表元素,然后再看元素的限制條件,當(dāng)集合用描述法表示時,注意弄清其元素表示的意義是什么.【例1】(1)設(shè)P、Q為兩個非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},則P+Q中有_______個元素.(2)已知-3∈A={a-2,2a2+5a,12},則a=_______.(3)由x，x2-x，x3-3x組成的集合能表示一個有三個元素的集合嗎？如果能表示，說明理由；如果不能表示，則需要添加什么條件才能表示一個有三個元素的集合.【解題指南】(1)從P+Q的定義入手，可列表求出a+b的值.(2)-3是A中的元素，說明A中的三個元素有一個等于-3，可分類討論.(3)只有三個元素互異時，才能表示一個有三個元素的集合.【規(guī)范解答】(1)a+b的值列表如下：由集合中元素的互異性知P+Q中有8個元素.答案：80251136224766811aa+bb(2)∵-3∈A,∴a-2=-3或2a2+5a=-3,∴a=-1或當(dāng)a=-1時，a-2=2a2+5a=-3，不合題意；當(dāng)時，A={-3,12}，符合題意，故答案：(3)它不一定能表示一個有三個元素的集合，因?yàn)閤、x2-x、x3-3x有可能相等，因而不一定滿足集合元素的互異性.由x=x2-x得x=0或x=2；由x=x3-3x得x=0或x=±2.由x2-x=x3-3x得x=0或x=2或x=-1.故只需添加條件x≠0且x≠-1且x≠2且x≠-2，則{x，x2-x，x3-3x}就表示一個有三個元素的集合.【互動探究】本例(2)中，若a2∈{a-2,2a2+5a,12},求由a組成的集合.【解析】若a2=a-2,此時a無解.若a2=2a2+5a,解得a=0或a=-5,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.若a2=12,則a=符合題意.綜上，a=0,-5,由a組成的集合為{0,-5,}.【反思·感悟】解答本例時，元素的互異性起到了至關(guān)重要的作用，求解本例易出現(xiàn)的錯誤就是求出答案后，不進(jìn)行檢驗(yàn)，忽視了元素的互異性.【變式備選】已知集合A是由方程ax2-3x+2=0的所有實(shí)根組成的集合,若A是空集,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】因?yàn)锳是空集,所以方程ax2-3x+2=0無實(shí)根,∴a≠0,Δ=(-3)2-8a＜0,所以a＞,所以a的取值范圍是(,+∞).集合間的基本關(guān)系【方法點(diǎn)睛】1.集合相等若兩個集合相等,首先分析已知元素在另一個集合中與哪一個元素相等,有幾種情況等,然后列方程組求解,要注意挖掘題目中的隱含條件.2.判斷兩集合關(guān)系的方法(1)化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；(2)用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系.【提醒】題目中若有條件B?A，則應(yīng)分B=?和B≠?兩種情況求解.【例2】(1)(2012·鹽城模擬)已知a∈R,b∈R,若{a,,1}={a2,a+b,0},則a2

013+b2

013=______.(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.(3)設(shè)A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若B?A，求實(shí)數(shù)a組成的集合C.【解題指南】(1)由兩集合相等及a≠0，知b=0,從而a2=1.(2)分B=?與B≠?兩種情況求解.(3)化簡集合A，結(jié)合方程ax-1=0的解的情況，分B=?和B≠?兩種情形求解.【規(guī)范解答】(1)由題意知a≠0,∴=0,∴b=0.∴{a,0,1}={a,0,a2}.∴a2=1，即a=±1.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)a=1時不合題意，當(dāng)a=-1時，符合題意.∴a=-1,∴a2

013+b2

013=(-1)2

013+02

013=-1.答案：-1(2)當(dāng)B=?時,有m+1≥2m-1,得m≤2,當(dāng)B≠?時,有解得2＜m≤4,綜上:m≤4.答案：m≤4

(3)∵A={3,5},B?A,∴當(dāng)B=?時，方程ax-1=0無解，則a=0,此時有B?A;當(dāng)B≠?時，則a≠0,由ax-1=0，得x=.即{}?{3,5},∴∴【互動探究】本例(3)條件不變.(1)若集合BA，試求實(shí)數(shù)a的值.(2)若A∩B={3}，試求實(shí)數(shù)a組成的集合C.【解析】(1)若BA，則B=?或{3}或{5}，∴a=0或(2)若A∩B={3}，則B={3},∴【反思·感悟】1.解答本例(2)，(3)時，易忽視B=?這種情況，使解題不完整，造成失分.2.已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問題要合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析.3.子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n個元素，則其子集個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n-1.【變式備選】1.設(shè)集合A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},則滿足C?(A∩B)的集合C有______個.【解析】∵A∩B={(x,y)|}={(1，2)},∴C=?或C={(1,2)},共兩個.答案：22.已知集合A={x|0<ax+1≤5}，集合B={x|<x≤2}.(1)若A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由.【解析】A中不等式的解集應(yīng)分三種情況討論:①若a=0,則A=R；②若a<0,則A={x|}；③若a>0,則A={x|}.(1)當(dāng)a=0時，若A?B，此種情況不存在.當(dāng)a<0時，若A?B,如圖，xAB當(dāng)a>0時，若A?B，如圖，綜上，知當(dāng)A?B時，a<-8或a≥2.xAB(2)當(dāng)a=0時，顯然B?A；當(dāng)a<0時，若B?A，如圖，xBA當(dāng)a>0時，若B?A，如圖，綜上知，當(dāng)B?A時，(3)當(dāng)且僅當(dāng)A?B且B?A時A=B,由(1)(2)知a=2.xBA集合的基本運(yùn)算【方法點(diǎn)睛】1.集合運(yùn)算的常用方法在進(jìn)行集合的運(yùn)算時要盡可能借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.(1)當(dāng)集合元素離散時一般用Venn圖表示；(2)當(dāng)集合元素連續(xù)時一般用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時注意端點(diǎn)值的取舍.2.常用重要結(jié)論(1)若A?B，B?C，則A?C；(2)A∩B=A?A?B;A∪B=A?AB.【提醒】在解決有關(guān)A∩B=?，A∪B=?等集合問題時，一定先考慮?是否成立，以防漏解，另外要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【例3】(1)(2011·山東高考改編)設(shè)集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},則M∩N=______.(2)(2012·連云港模擬)設(shè)集合A={x|x<0},B={x||x|>1},則集合A∪()=______.(3)(2011·遼寧高考改編)已知M，N為集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩=?，則M∪N=______.【解題指南】(1)化簡集合M，求解.(2)先求

再求并集.(3)借助于Venn圖尋找集合M，N的關(guān)系.【規(guī)范解答】(1)∵M(jìn)={x|-3<x<2},∴M∩N={x|1≤x<2}.答案：{x|1≤x<2}(2)∵B={x||x|>1}={x|x>1或x<-1},∴={x|-1≤x≤1},∴A∪()={x|x≤1}.答案：{x|x≤1}(3)如圖，∵N∩=?,∴N?M，∴M∪N=M.答案：M

【互動探究】本例(1)條件不變，求【解析】由本例(1)，知M∩N={x|1≤x<2},∴={x|x<1或x≥2}.【反思·感悟】1.求解本例(3)時，借助于Venn圖，可使抽象問題直觀化，從而發(fā)現(xiàn)集合間的關(guān)系.2.求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然是集合,區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，并結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)行直觀表達(dá)，達(dá)到解題的目的.【變式備選】(1)已知R是實(shí)數(shù)集，M={x|x2-2x>0},N={y|y=x2+1},則=______.【解析】∵M(jìn)={x|x<0或x>2},N={y|y≥1}，∴={x|0≤x≤2}，∴

=［1，2］.答案：［1，2］(2)已知A，B均為集合U={1，3，5，7，9}的子集，且A∩B={3}，()∩A={9}，則A=______.【解析】畫出Venn圖如圖所示，則A={3，9}.答案：{3，9}

把握高考命題動向，體現(xiàn)區(qū)域化考試特點(diǎn)。本欄目以最新的高考試題為研究素材，解析經(jīng)典考題，洞悉命題趨勢，展示現(xiàn)場評卷規(guī)則。對例題不僅僅是詳解評析，更是從命題層面評價考題，從備考角度提示規(guī)律方法，拓展思維，警示誤區(qū)?！究碱}體驗(yàn)】讓你零距離的體驗(yàn)高考，親歷高考氛圍，提升應(yīng)戰(zhàn)能力。為你順利穿越數(shù)學(xué)高考時空增添活力，運(yùn)籌帷幄、決勝千里。【創(chuàng)新探究】以集合為背景的新定義題【典例】(2011·廣東高考改編)設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果a,b∈S有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V=Z且a,b,c∈T有abc∈T;x,y,z∈V,有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是______(只填序號).①T,V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的②T,V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的③T,V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的④T,V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的【解題指南】通過符合題目條件的特例對各結(jié)論進(jìn)行分析.【規(guī)范解答】若T={偶數(shù)}，V={奇數(shù)}則T、V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的，故②③不正確；若T={非負(fù)整數(shù)}，V={負(fù)整數(shù)}，則T關(guān)于乘法是封閉的，V關(guān)于乘法是不封閉的，故④不正確；事實(shí)上，T、V必有一個含有1，由題目條件知含有1的這個集合一定關(guān)于乘法是封閉的.綜合以上分析