2023年高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則A． B． C． D．2．為比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數(shù)學六大素養(yǎng)進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差3．數(shù)學中的數(shù)形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結合產(chǎn)物，曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論：①曲線C經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結論的序號是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④4．已知復數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．5．在棱長為a的正方體中，E、F、M分別是AB、AD、的中點，又P、Q分別在線段、上，且，設平面平面，則下列結論中不成立的是（）A．平面 B．C．當時，平面 D．當m變化時，直線l的位置不變6．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．7．已知直線，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)圖像關于對稱 D．函數(shù)圖像關于對稱11．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．812．一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足：，，若對任意的正整數(shù)均有，則實數(shù)的最大值是_____.14．已知雙曲線的一條漸近線為，且經(jīng)過拋物線的焦點，則雙曲線的標準方程為______.15．角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則的值是．16．直線過圓的圓心，則的最小值是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖在直角中，為直角，，，分別為，的中點，將沿折起，使點到達點的位置，連接，，為的中點．（Ⅰ）證明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．18．（12分）金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學生．新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：愿意不愿意男生6020女士4040（1）根據(jù)上表說明，能否有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關；（2）現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取10人．若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生，設選取的3人中女生人數(shù)為，寫出的分布列，并求．附：，其中．0.050.010.0013.8416.63510.82819．（12分）如圖所示，四棱柱中，底面為梯形，，，，，，.（1）求證：；（2）若平面平面，求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，側棱底面，，，，是棱的中點.（1）求證：平面；（2）若，點是線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）數(shù)列滿足，，其前n項和為，數(shù)列的前n項積為.（1）求和數(shù)列的通項公式；（2）設，求的前n項和，并證明：對任意的正整數(shù)m、k，均有.22．（10分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當時，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

畫出，，根據(jù)向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數(shù)形結合可得結果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎題.2．C【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.【詳解】根據(jù)雷達圖得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學抽象邏輯推理數(shù)學建模直觀想象數(shù)學運算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點睛】本題考查統(tǒng)計問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識.3．B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯(lián)立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當且僅當時取等號），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線C相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得④正確.故選：B.【點睛】本題考查曲線與方程的應用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質(zhì)及結論，考查學生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.4．A【解析】

對復數(shù)進行乘法運算，并計算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因為，所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算及虛部的概念，計算過程要注意.5．C【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.【詳解】因為,所以,因為E、F分別是AB、AD的中點,所以,所以,因為面面,所以.選項A、D顯然成立；因為,平面,所以平面,因為平面,所以,所以B項成立；易知平面MEF,平面MPQ,而直線與不垂直,所以C項不成立.故選：C【點睛】本題考查直線與平面的位置關系.屬于中檔題.6．C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算．【詳解】由可得，因為，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵．7．C【解析】

先得出兩直線平行的充要條件，根據(jù)小范圍可推導出大范圍，可得到答案.【詳解】直線，，的充要條件是，當a=2時，化簡后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的，故舍去，最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點睛】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．8．B【解析】

由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應用.9．D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡，結合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因為在上遞減，，即．故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎題.10．C【解析】

依題意可得，即函數(shù)圖像關于對稱，再求出函數(shù)的導函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】解：由，，所以函數(shù)圖像關于對稱，又，在上不單調(diào).故正確的只有C，故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性的判定，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.11．A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．12．D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為,故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關于關于參數(shù)的關系,根據(jù)表達式的取值分析出,再用數(shù)學歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當時,,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當時,證明：對任意的正整數(shù)都有.當時,成立.假設當時結論成立,即,則,即結論對也成立.由數(shù)學歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實數(shù)的最大值是2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時注意結合參數(shù)的范圍問題進行分析.屬于難題.14．【解析】

設以直線為漸近線的雙曲線的方程為，再由雙曲線經(jīng)過拋物線焦點，能求出雙曲線方程．【詳解】解：設以直線為漸近線的雙曲線的方程為，∵雙曲線經(jīng)過拋物線焦點，∴，∴雙曲線方程為，故答案為：．【點睛】本題主要考查雙曲線方程的求法，考查拋物線、雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題．15．【解析】試題分析：由三角函數(shù)定義知，又由誘導公式知，所以答案應填：．考點：1、三角函數(shù)定義；2、誘導公式．16．【解析】

直線mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.∴（）（m+n）＝22+2＝4，當且僅當m＝n時取等號.∴則的最小值是4.故答案為：4.【點睛】本題考查了圓的標準方程、“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點，連結、，四邊形是平行四邊形，由，，得，從而，，求出，由此能證明．（Ⅱ）以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【詳解】證明：（Ⅰ）取中點，連結、，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵為的中點，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以為原點，、、所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，∴，，，設面的法向量，則，取，得，同理，得平面的法向量，設二面角的平面角為，則，∴二面角的余弦值為．【點睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質(zhì)定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求線面角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題．18．（1）有99%把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關；（2）詳見解析.【解析】

（1）計算得到，由此可得結論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù)，由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對應的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學期望計算公式計算可得期望.【詳解】（1）∵的觀測值，有的把握認為愿意參加新生接待工作與性別有關．（2）根據(jù)分層抽樣方法得：男生有人，女生有人，選取的人中，男生有人，女生有人．則的可能取值有，，，，，的分布列為：．【點睛】本題考查獨立性檢驗、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學期望的求解；關鍵是能夠明確隨機變量服從于超幾何分布，進而利用超幾何分布概率公式求得隨機變量每個取值所對應的概率.19．（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取中點為，連接，，，，根據(jù)線段關系可證明為等邊三角形，即可得；由為等邊三角形，可得，從而由線面垂直判斷定理可證明平面，即可證明.（2）以為原點，，，為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，并求得平面和平面的法向量，即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：取中點為，連接，，，如下圖所示：因為，，，所以，故為等邊三角形，則.連接，因為，，所以為等邊三角形，則.又，所以平面.因為平面，所以.（2）由（1）知，因為平面平面，平面，所以平面，以為原點，，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易求，則，，，，則，，.設平面的法向量，則即令，則，，故.設平面的法向量，則則令，則，，故，所以.由圖可知，二面角為鈍二面角角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，由線面垂直判定線線垂直，由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小，屬于中檔題.20．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形可得，故而平面；（2）以為原點建立空間坐標系，求出平面的法向量，計算與的夾角的余弦值得出答案．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，分別是，的中點，，，又，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）解：，，又，故，以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，是的中點，是的三等分點，，1，，，，，，，，，0，，，2，，設平面的法向量為，，，則，即，令可得，，，，，直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題考查了線面平行的判定，空間向量與直線與平面所成角的計算，屬于中檔題．21．（1），；（2），證明見解析【解