培優(yōu)點三含導(dǎo)函數(shù)的抽象函數(shù)的構(gòu)造,一、含導(dǎo)函數(shù)的抽象函數(shù)的構(gòu)造例1：已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)fG)的導(dǎo)函數(shù)為r(x)，滿足f'(x)<f(x)，且f(X+2)為偶函數(shù)，f(4)=1，則不等式f(X)<ex的解集為.【答案】(0，+8)【解析】設(shè)h(x)=/^，則h'(x)=ex'(xIf.ex ex2f，(x)<f(x)，.?.h'(x)<0，所以函數(shù)h(x)是R上的減函數(shù)，?,函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù)，.,.函數(shù)f(-x+2)=f(x+2)，??函數(shù)關(guān)于x=2對稱，??.f(0)=f(4)=1，原不等式等價為h(x)<1，，不等式f(x)<ex等價h(x)<1oh(x)<h(0)，")<1=d0).ex e0h(x)在R上單調(diào)遞減，??.x>0.故答案為(0,+8).例2：已知f(x)=ex-ax2，曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=bx+1.(1)求a，b的值；(2)求f(x)在［0,1］上的最大值;(3)證明：當(dāng)x>0時，ex+(1-e)x-alnx-1>0.【答案】(1)a=1,b=e—2；(2)f(x)max=e-1；(3)證明見解析.【解析(1)ff(x)=ex-2ax,由題設(shè)得f，(1)=e-2a=b,f(1)=e-a=b+1,解得a=1,b=e-2.(2)由(1)知f(x)=ex-x2,.，.f'(x)=ex-2x,f(x)=ex-2,???f(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)>f'(ln2)=2-2ln2>0,所以f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以f(x) =f(1)=e-1.max(3)因為f(x)，又由(2)知，f(x)過點(1,e-1)，且y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(e-2)x+1,故可猜測：當(dāng)x>0,x豐1時，f(x)的圖象恒在切線y=(e-2)x+1的上方.下證：當(dāng)x>0時，f(x)>(e-2)x+1,設(shè)g(x)=f(x)-(e-2)x+1,x>0，則g'(x)=ex-2x-(e-2),g〃(x)=ex-2,由(2)知，g'(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減，在(ln2,+8)上單調(diào)遞增，又g'(x)=3-e>0,g'(1)=0,0<ln2<1,.?.g'(ln2)<0,所以，存在x0G(0,1),使得g'(x)=0,所以，當(dāng)xG(0,x0)Y(1,+8)時，g'(x)>0；當(dāng)xG(x0,1)時，g'(x)<0,故g(x)在(0,x°)上單調(diào)遞增，在(x0，1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，又g(0)=g⑴=0,??.g(x)=e—x2—(e—2)x-1>0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，ex+(2—e)x—1故——-——-->x,x>0.x, , ex+(2—e)x—1 ex+(2—e)x—1、由(2)知， >x>Inx+1,即 >Inx+1,xx所以ex+(2—e)x—1>xInx+x，即ex+(1—e)x—1—xInx>0成立，當(dāng)x=1時，等號成立.＞對點增分集訓(xùn)一、選擇題1.設(shè)函數(shù)以x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖像如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=ff(x)的圖像可能為()【答案】D【解析】由函數(shù)/(X)的圖象可知，當(dāng)%￡(0,+8)時，/(x)單調(diào)遞減，所以工￡(0,+8)時，f(x)<Q,符合條件的只有D選項，故選D.2.曲線>=X3+11在點A(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是()A.-9 B.15 C.9 D.-3【答案】C【解析】Vy=x3+ll,：.y'=3%2,則y'| =3x12=3,X=1，曲線y二心+n在點月(1,12)處的切線方程為j-12=3(x-i),令x=0,解得y=9.???曲線y=+n在點尸(L12)處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是9,故選C.3.已知函數(shù)/(%)的導(dǎo)函數(shù)為7'G),且滿足/(1)=2471)+Inx,則/⑵=()TOC\o"1-5"\h\z3 3A.— B.1 C.-1 D.——2 2【答案】D【解析】依題意/‘(%)=2-(D+L令尤=i,得/(1)=2/(D+i,r(D=-i,1 13所以r(Q=—2+—,所以/(2)=-2+大=一三，故選d.x 2 24.曲線y=sinx+&在點(0,1)處的切線方程是()A.x-3y+3=0b,x-2y+2=0c.2x-y+1=0d.3x-y+1=0【答案】C【解析】求導(dǎo)y'=cosx+ex，則曲線y=sinx+ex,在點(0,1)處的切線的斜率k=cos0+e0=2,由點斜式可得y-1=2(x—0)，即切線方程為2x—y+1=0，故選C.5,函數(shù)f(x)=3x3+x2-3x-1的極小值點是()8a.1 b.(1,-3) c.—3 D.(-3,8)【答案】A［解析］f(<x)=x2+2x-3，由x2+2x-3=0，得x=-3或1.函數(shù)f(x)=3x3+x2-3x-1在(一叫一3)上為增函數(shù)，(-3,1)上為減函數(shù)，(1,+8)上為增函數(shù)，故f(x)在x=1處有極小值，極小值點為1.故選a.6.函數(shù)f(x)=aex-sinx在x=0處有極值，則a的值為()6.A.-1 B.0 C.1 D.e【答案】C【解析】由題意得：f'(x)=aex-cosx,f（X）在x=0處有極值，.，?f，（0）=a-cos0=a_1=0，解得a=1.經(jīng)檢驗滿足題意，本題正確選項C..若函數(shù)fG）=1x2-2x-31nx，則函數(shù)fG）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.（一8,-1）。（3,+8）B.（-1,3）C.（。,3） D.（3,+8）【答案】C1【解析】函數(shù)f（x）=-X2-2x-31nx的定義域為{XIx>0},因為f(x)=x-2-3=x2-2x-3=(x-3)(x+D,xx x(x-3)(x+1)x<0并且x>0，得0<x<3所以函數(shù)f（x）=1x2-2x-31nx的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,3）.故本題正確答案為C..己知f(x)=tanx,f(x)為f(x)導(dǎo)數(shù)，則f\.=()I37A.4 B.2 C.33 D.-2【答案】Asinx【解析】：fsinx【解析】：f(x)=tanx= cos2x+sin2xCOS2x,cos2x.??/'（?=j=4,故本題選A.4.函數(shù)y=x2cosx+%2的導(dǎo)數(shù)為（）A.yr=2xcos%-%2sinx+2x B.y'=2xcosx—sinx+12C.y'=X2cosx-2xsinx-2x D.y'=xcosx-12sinx-x2【答案】A【解析】?.，y=x2cosx+x2,故選A.【答案】D故選A.【答案】D【解析】函數(shù)/(%)=xlnx+a,f\x)=lnx+l,：,/'(1)=1,切線方程為y=%-l+a,故。=。-1+。，解〃=1.故選D..設(shè)函數(shù)/(x)=1+lnx,貝ij()x%=2為/0)%=2為/0)的極大值點%=2為/(1)的極小值點X=X=1為f(x)的極大值點x=1為f(x)的極小值點【答案】D【解析】函數(shù)f(x)=1+lnx，則函數(shù)f'(x)=一—+1=二，x x2x x2令f'(x)=0，解得x=1,當(dāng)f'(x)>0，解得x>1,??.函數(shù)f(x)在(L+8)單調(diào)遞增；由ff(x)<0，解得0<x<1，二函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.二函數(shù)f(x)在x=1取得極小值，故選D..若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在區(qū)間(一%1]上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A.[1,2) B.[1,2] C.[L+8) D.[2,+8)【答案】A【解析】令u=x2-2ax+1+a，則f(u)=lgu,配方得u=x2-2ax+1+a=(x-a)2-a2+a+1,故對稱軸為x=a，如圖所示:由圖象可知，當(dāng)對稱軸a>1時，u=x2—2ax+1+a在區(qū)間（一8』］上單調(diào)遞減，又真數(shù)x2一2ax+1+a>0，二次函數(shù)u=x2-2ax+1+a在（_^,1］上單調(diào)遞減，故只需當(dāng)x=1時，若x2-2ax+1+a>0，則xg（一8，1］時，真數(shù)x2-2ax+1+a>0，代入x=1，解得a<2，所以a的取值范圍是［1,2）.故選A.二、填空題TOC\o"1-5"\h\z1 1.已知f(x)=x2+2對(-3)，貝uf(-3)=2【答案】31 1［解析］f(x)=2x+2f(一3)，令x=-3,.1 2 .1 .12 2則f'(-3)=--+2f(-3)，故f(-3)=-.故填2..曲線y=xex+2x-1在點(0,-1)處的切線方程為[答案]3x-y-1=0【解析】因為y'=(x+1)ex+2，所以y'(0)=3,又切點為(0,-1),所以在點(0，-1)處的切線方程為3x-y-1=0..如圖，函數(shù)y=f(x)的圖象在點P處的切線方程是y=-2x+8，則f(3)+f'(3)=【答案】0【解析】由題意可知f(3)=-2*3+8=2,f(3)=-2，故f(3)+f(3)=0.三、解答題.已知函數(shù)f(x)=x3-12x+8.(1)求函數(shù)＞=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)若x￡[-1,3],求f(x)的最大值.【答案】(1)丁=-12x+8；(2)19.【解析】(1)因為f(X)=X3—12x+8，所以f(0)=8,因為f(x)=3x2—12，所以f'(0)=—12,切線方程為＞—8=-12x，即y=—12x+8.(2)令f'(x)=3x2-12=0，得x=2或x=-2，由xe[一1,3],所以x=2,因為f(—1)=19,f(2)=—8,f(3)=—1，所以f(x)的最大值為19..已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在R上是奇函數(shù)，且在x=1處取得極小值-2.(1)求f(x)的解析式；(2)求過點A(0,16)且與曲線y=f(x)相切的切線方程.【答案】(1)f(x)=x3-3x；(2)9x—y+16=0.【解析】（1）?「f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，??.b=d=0,f(x)=ax3+cx，則ff(x)=3ax2+c,ff，(1)=3a+c=0 [a=1.If(1)=a+c=-2，解得｛c=-3.f(x)=3x2-3,（2）設(shè)切點坐標(biāo)為MQ0,xf(x)=3x2-3,ix3—3x—16 x3—3x—16又k=T——0 ,.T——0 =3x2-3，解得xn=-2,x—0 x—0 0 000.?.過A(0,16)的切線方程為y-16=9%，即9%—y+16=0.“、1 …18.設(shè)函數(shù)f(%)=5%2-a%+21n%(aeR)在％=1時取得極值.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(%)的單調(diào)區(qū)間.【答案(1)3；(2)f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).【解析(1)f'(%)=%-a+2,%當(dāng)%=1時取得極值，則f'(1)=0,即1-a+2=0，解得a=3,經(jīng)檢驗，符合題意..一.1?(2)由(1)得：f(%)=-%2-3%+21n%,???f，(%)=%-3+2=(%-1)(%-2),(%>0),%%令f'(%)>0,解得0<%<1或%>2；令f'(%)<0,解得1<%<2,Af(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(2,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).19.已知函數(shù)f(%)=e%-a%2，且曲線y=f(%)在點%=1處的切線與直線%+(e-2)y=0垂直.(1)求函數(shù)f(%)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(%)21的解集.【答案】(I)/(x)在(一8,+8)為增函數(shù)；(2){x|x>0).：.f'(l)=e-2a,【解析】(1)???/(%)=6-ax2n尸(x)=ex-lax：.f'(l)=e-2a,???曲線>=fM在點x=1處的切線與直線1+(e-2)y=。