《平面向量基本定理》教學(xué)設(shè)計(jì)●三維目標(biāo)1．知識(shí)與技能(1)掌握平面向量的基本定理，能用兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量．(2)能用平面向量的基本定理解決一些簡(jiǎn)單的幾何問題．2．過程與方法由概念的形成過程和在解題中的作用，進(jìn)一步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo)作用．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過學(xué)習(xí)平面向量基本定理和向量的坐標(biāo)表示，實(shí)現(xiàn)幾何與代數(shù)的完美結(jié)合，使學(xué)生明白知識(shí)與知識(shí)、事物之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化．(2)通過例題及練習(xí)，體會(huì)向量語(yǔ)言及運(yùn)算在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的工具作用．●課時(shí)安排：1課時(shí)●重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：平面向量基本定理及其意義．難點(diǎn)：平面向量基本定理的應(yīng)用.(教師用書獨(dú)具)●教學(xué)建議1．關(guān)于平面向量基本定理教學(xué)教學(xué)時(shí)，建議教師從學(xué)生熟知的力學(xué)知識(shí)出發(fā)，結(jié)合教材實(shí)例中有關(guān)力及速度的合成與分解，先讓學(xué)生從感性上認(rèn)識(shí)向量可分解性，在此基礎(chǔ)上結(jié)合向量的平行四邊形法則由學(xué)生自主總結(jié)出平面向量基本定理的內(nèi)容，教師就定理的有關(guān)注意事項(xiàng)做適當(dāng)補(bǔ)充，不必要求學(xué)生會(huì)證明該定理．2．關(guān)于應(yīng)用平面向量基本定理的教學(xué)教學(xué)時(shí)，建議教師結(jié)合實(shí)例，讓學(xué)生明確平面向量基本定理在解決實(shí)際問題中的作用．通過實(shí)例進(jìn)一步理解平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)，為下一節(jié)坐標(biāo)系的建立奠定基礎(chǔ)．●教學(xué)流程eq\x(創(chuàng)設(shè)問題情境，引入平面向量基本定理，并引導(dǎo)學(xué)生初步理解定理及其作用.)?eq\x(引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量共線等知識(shí)，理解基底概念及向量的正交分解的概念.)?eq\x(通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生進(jìn)一步正確理解平面向量基本定理.)?eq\x(通過例2及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握用基底表示向量的方法.)?通過例3及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握利用平面向量基本定理求參數(shù)的值及證明三點(diǎn)共線等問題的方法?eq\x(歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識(shí)本節(jié)課所學(xué)知識(shí).)?eq\x(完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識(shí)并進(jìn)行反饋矯正.)課標(biāo)解讀1.了解平面向量基本定理及其意義．(難點(diǎn))2.了解基底的含義．3.會(huì)用任意一組基底表示指定的向量．4.能應(yīng)用平面向量基本定理解決一些實(shí)際問題．(重點(diǎn))平面向量基本定理【問題導(dǎo)思】已知?ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，如何用a，b表示eq\o(AO,\s\up6(→))？【提示】eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.(1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.平面向量的正交分解【問題導(dǎo)思】一個(gè)放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G，可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直作用于斜面的力F2.類比力的分解，平面內(nèi)任一向量能否用互相垂直的兩向量表示？【提示】能，互相垂直的兩向量可以作為一組基底．一個(gè)平面向量用一組基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我們稱它為向量a的分解．當(dāng)e1，e2所在直線互相垂直時(shí)，這種分解也稱為向量a的正交分解.平面向量基本定理的理解如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，λ，μ是實(shí)數(shù)，判斷下列說法是否正確，并說明理由．(1)若λ，μ滿足λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0；(2)對(duì)于平面α內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得a＝λe1＋λe2成立的實(shí)數(shù)λ，μ有無(wú)數(shù)對(duì)；(3)線性組合λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量；(4)當(dāng)λ，μ取不同的值時(shí)，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．【思路探究】運(yùn)用基底概念與平面向量基本定理進(jìn)行判斷．【自主解答】(1)正確．若λ≠0，則e1＝－eq\f(μ,λ)e2，從而向量e1，e2共線，這與e1，e2不共線相矛盾，同理可說明μ＝0.(2)不正確．由平面向量基本定理可知λ，μ惟一確定．(3)正確．平面α內(nèi)的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立．(4)不正確．結(jié)合向量加法的平行四邊形法則易知，只有當(dāng)λ和μ確定后，其和向量λe1＋μe2才惟一確定．1．對(duì)于平面內(nèi)任何向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示；反之，平面內(nèi)的任一向量也可以分解為兩個(gè)不共線的向量的和的形式．2．向量的基底是指平面內(nèi)不共線的向量，事實(shí)上若e1，e2是基底，則必有e1≠0，e2≠0，且e1與e2不共線，如0與e1，e1與2e1，e1＋e2與2(e1＋e2)等均不能構(gòu)成基底．下列兩個(gè)命題(1)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，則a＝c，b＝d.(2)若e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出來．其中正確的是________．【解析】(1)錯(cuò)，當(dāng)e1與e2共線時(shí)，結(jié)論不一定成立．(2)正確，假設(shè)e1＋e2與e1－e2共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.因?yàn)?－λ與1＋λ不同時(shí)為0，所以e1與e2共線，這與e1與e2不共線矛盾．所以e1＋e2與e1－e2不共線，因而它們可以作為一組基底，該平面內(nèi)的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出來．【答案】(2)用基底表示向量圖2－3－1如圖2－3－1所示，以向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b為鄰邊作?AOBD，又eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).【思路探究】eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))，再將各量轉(zhuǎn)化為eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→)).【自主解答】eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b.∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.又eq\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a－eq\f(5,6)b＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.規(guī)律辦法1．若題目中已給出了基底，求解此類問題時(shí)，常利用向量加法三角形法則或平行四邊形法則，結(jié)合數(shù)乘運(yùn)算，找到所求向量與基底的關(guān)系．2．若題目中沒有給出基底，常結(jié)合已知條件先尋找一組從同一點(diǎn)出發(fā)的兩不共線向量作為基底，而后用上述方法求解．圖2－3－2(2022·南通高一檢測(cè))如圖2－3－2，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分別是DC和AB的中點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).【解】如圖所示，連結(jié)CN，則四邊形ANCD是平行四邊形，即eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)a－b.平面向量基本定理的應(yīng)用圖2－3－3如圖2－3－3，已知在△OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使AB＝AC，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個(gè)分點(diǎn)(靠近B點(diǎn))，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，(1)用a，b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實(shí)數(shù)λ的值．【思路探究】(1)由題意可知A是BC的中點(diǎn)，利用平行四邊形法則求eq\o(OC,\s\up6(→))，利用三角形法則求eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)利用C，D，E三點(diǎn)共線，結(jié)合共線向量定理求解．【自主解答】(1)∵A為BC中點(diǎn)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝2a－b；eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)設(shè)eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，則eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa－2a＋b＝(λ－2)a＋b.∵eq\o(CE,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，∴存在實(shí)數(shù)m，使得eq\o(CE,\s\up6(→))＝meq\o(CD,\s\up6(→))，即(λ－2)a＋b＝m(－2a＋eq\f(5,3)b)，即(λ＋2m－2)a＋(1－eq\f(5,3)m)b＝0.∵a，b不共線且為非零向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2m－2＝0，,1－\f(5,3)m＝0，))解得λ＝eq\f(4,5).1．此類問題要結(jié)合圖形條件與所求證問題，尋求解題思路．本題充分利用三點(diǎn)共線，即共線向量定理，共面向量定理，建立方程組求解，同時(shí)要恰當(dāng)選擇基底簡(jiǎn)化運(yùn)算．2．應(yīng)用平面向量基本定理來證明平面幾何問題的一般方法是：先選取一組基底，再根據(jù)幾何圖形的特征應(yīng)用向量的有關(guān)知識(shí)解題．圖2－3－4如圖2－3－4，已知?ABCD中M為AB的中點(diǎn)，N在BD上，3BN＝BD.求證：M，N，C三點(diǎn)共線．【證明】∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，N在BD上，3BN＝BD，∴eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝3(eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)))＝3eq\o(MN,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))∥eq\o(MC,\s\up6(→))，又M為公共點(diǎn)，∴M，N，C三點(diǎn)共線.用待定系數(shù)法確定向量的表示圖2－3－5(14分)如圖2－3－5，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP∶PM與BP∶PN的值．【思路點(diǎn)撥】可先從已知圖形中選出兩個(gè)簡(jiǎn)單向量作為一組基底建立起數(shù)學(xué)模型，由圖形特征可知選擇eq\o(BM,\s\up6(→))與eq\o(CN,\s\up6(→))作為基向量較好．【規(guī)范解答】設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.4分∵A，P，M和B，P，N分別共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ使得eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.8分而eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up6(→)).即AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.14分基底建模是向量法解決幾何圖形有關(guān)證明和求解的重要方法，關(guān)鍵在于選取的基底是否合適，要注意與已知條件的聯(lián)系．可用方程思想，利用待定系數(shù)法確定向量．1．準(zhǔn)確理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是惟一的．(2)平面向量基本定理中，實(shí)數(shù)λ1、λ2的惟一性是相對(duì)于基底e1，e2而言的，平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底，一旦選定一組基底，則給定向量沿著基底的分解是惟一的．2．對(duì)基底的理解(1)基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不惟一的．平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．(2)關(guān)于基底的一個(gè)結(jié)論設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，當(dāng)λ1e1＋λ2e2＝0時(shí)，恒有λ1＝λ2＝0.(3)零向量與任意向量共線，故不能作為基底．1．下列關(guān)于基底的說法正確的是________．(填序號(hào))①平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是惟一確定的．【解析】作為基底的兩個(gè)向量不共線，故基底中的向量不能是零向量，②不正確，①③正確．【答案】①③2．已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值為________．【解析】∵(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，且e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,2x－3y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝3.))∴x－y＝6－3＝3.【答案】3圖2－3－63．在如圖2－3－6所示的平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，AN＝3NC，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用a，b表示)．【解析】eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,4)(a＋b)＝－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b.【答案】－eq\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b4．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，求λ的值．【解】在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(2,3).一、填空題1．若O是?ABCD的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，下列向量組中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面上表示其他所有向量的基底的是________．①eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))；②eq\o(DA,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))；③eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))；④eq\o(OD,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→)).【解析】只要是平面上不共線的兩個(gè)向量都可作為基底，eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))是有公共點(diǎn)的不共線向量，eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))也是有公共點(diǎn)的不共線向量．【答案】①③2．已知e1，e2是平面所有向量的一組基底，那么下列一組向量不能作為基底的是________．①e1和e1＋e2；②e1－2e2和e2－2e1；③e1－2e2和4e2－2e1；④e1＋e2和e1－e2.【解析】因?yàn)?e1－2e1＝－2(e1－2e2)，所以e1－2e2與4e2－2e1共線．【答案】③圖2－3－73．如圖2－3－7，平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，M是DC的中點(diǎn)，以a，b為基底表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))＝________.【解析】eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a.【答案】b＋eq\f(1,2)a4．設(shè)e1，e2是不共線向量，e1＋2e2與me1＋ne2共線，則eq\f(n,m)＝________.【解析】由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，∴eq\f(n,m)＝2.【答案】25．設(shè)一直線上三點(diǎn)A，B，P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(PB,\s\up6(→))(m≠－1)，O是直線所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示為________．【解析】由eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(PB,\s\up6(→))得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝m(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＋meq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋m\o(OB,\s\up6(→)),1＋m).【答案】eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))＋m\o(OB,\s\up6(→)),1＋m)6．如圖2－3－8，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，若eq\o(CE,\s\up6(→))＝req\o(AB,\s\up6(→))＋seq\o(AC,\s\up6(→))，則r＋s＝________.圖2－3－8【解析】由E是AD的中點(diǎn)，則eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，則r＋s＝－eq\f(1,2).【答案】－eq\f(1,2)7．已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊BC，CA，AB上的點(diǎn)，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，則2eq\o(AD,\s\up6(→))＋3eq\o(BF,\s\up6(→))＋3eq\o(CE,\s\up6(→))＝________.【解析】由eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，易知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以2eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，再由eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，可知3eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，3eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，所以2eq\o(AD,\s\up6(→))＋3eq\o(BF,\s\up6(→))＋3eq\o(CE,\s\up6(→))＝0.【答案】08．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.【解析】設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，則eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，eq\o(AE,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b－a，代入eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，得b－a＝(λ＋eq\f(μ,2))b－(eq\f(λ,2)＋μ)a，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝\f(λ,2)＋μ，,1＝λ＋\f(μ,2)，))解得λ＝μ＝eq\f(2,3)，∴λ＋μ＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)二、解答題9．(2022·保定高一檢測(cè))設(shè)e1，e2為兩個(gè)不共線的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，試用b，c為基底表示向量a.【解】設(shè)a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R則，－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4λ1－3λ2＝－1，,2λ1＋12λ2＝3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－\f(1,18)，,λ2＝\f(7,27)，))∴a＝－eq\f(1,18)b＋eq\f(7,27)c.10．平行四邊形ABCD中，M為DC的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝d，eq\o(AM,\s\up6(→))＝m，eq\o(AN,\s\up6(→))＝n.(1)以b，d為基底，表示eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)以m，n為基底，表示eq\o(AB,\s\up6(→)).【解】如圖所示．(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→)))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→)))＝(b＋eq\f(1,2)d)－(d＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)d.(2)m＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→))＝d＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，①n＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)d，所以2n＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＋d，②由①②消去d，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)n－eq\f(2,3)m.圖2－3－911．如圖2－3－9所示，在△ABC中，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求證：eq\o(AP,\s\up6(→))＝4eq\o(PM,\s\up6(→)).【證明】記eq\o(BM,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up6(→))＝e2，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝－3e2，eq\o(CM,\s\up6(→))＝－e1，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝2e1＋e2.因?yàn)锳，P，M共線，且B，P，N共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，μ，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝－3λe2－λe1，eq\o(BP,\s\up6(→))＝μeq\o(BN,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝2μe1＋μe2＋3λe2＋λe1＝(2μ＋λ)e1＋(μ＋3λ)e2，又eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝2e1＋3e2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，所以AP∶PM＝4∶1，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝4eq\o(PM,\s\up6(→)).(教師用書獨(dú)具)用向量法證明三角形的三條中線交于同一點(diǎn)．【思路探究】令△ABC的中線AD與中線BE交于點(diǎn)G1，中線AD與CF交于點(diǎn)G2，利用向量說明G1與G2重合，證得三條中線交于一點(diǎn)．【自主解答】如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線．令eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→)