會(huì)計(jì)學(xué)1D102二重積分的計(jì)算13559當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效.由于機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共22頁說明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共22頁例1.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X–型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共22頁例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共22頁例3.計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對(duì)x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共22頁例4.交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共22頁例5.

計(jì)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共22頁對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共22頁即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共22頁設(shè)則特別,對(duì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共22頁若f≡1則可求得D的面積思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共22頁例6.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共22頁注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共22頁例7.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共22頁內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共22頁則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共22頁(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共22頁思考與練習(xí)1.設(shè)且求提示:交換積分順序后,x,y互換機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共22頁2.交換積分順序提示:

積分域如圖機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共22頁解：原式備用題1.

給定改變積分的次序.機(jī)動(dòng)目