運(yùn)籌學(xué)多目標(biāo)規(guī)劃二4-4多目標(biāo)規(guī)劃的單純形算法多目標(biāo)規(guī)劃問題與線性規(guī)劃問題相似，可用單純形算法求解。注意：在比較檢驗(yàn)數(shù)大小時(shí)，要先比較較高級別的系數(shù)，再比較較低級別的系數(shù)。例4-9（例4-5）目標(biāo)函數(shù)：MinZ=P1d1-+P2(5d2++d3+)約束方程：

6X1+4X2+d1--d1+=2802X1+3X2+d2--d2+=1004X1+2X2+d3--d3+=120X1,X2,di-,di+0(i=1,2,3)標(biāo)準(zhǔn)型目標(biāo)函數(shù)：MaxS=-P1d1--P2(5d2++d3+)約束方程：

6X1+4X2+d1--d1+=2802X1+3X2+d2--d2+=1004X1+2X2+d3--d3+=120X1,X2,di-,di+0(i=1,2,3)初始單純形表首先滿足第一目標(biāo)P1進(jìn)基變量X1，出基變量y3-主元（4）主元運(yùn)算：第三行除以4主元運(yùn)算：第一行加上第三行（-6）倍主元運(yùn)算：第二行加上第三行（-2）倍重新計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)第二行除以2第一行加上第二行（-1）第三行加上第二行（-1/2）計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)第一行乘上4/5第二行加上第一行（-1/4）第三行加上第一行（3/8）計(jì)算檢驗(yàn)數(shù)最后變量d1-的檢驗(yàn)數(shù)為-P1+(4/5)P2由于假定P1》P2，所以此檢驗(yàn)數(shù)也小于零。

該問題的最優(yōu)方案為生產(chǎn)A產(chǎn)品44個(gè)單位，B產(chǎn)品4個(gè)單位，利潤為280百元。此時(shí)，原料正好用了100噸，工時(shí)比原計(jì)劃超了64小時(shí)。例4-10

設(shè)某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，都要經(jīng)過兩道工序，有關(guān)資料如下表。假如工序1，2都允許加班，使得利潤不少于1000元作為目標(biāo)。又以：第1，2工序的加班工時(shí)之和盡可能在160之內(nèi)為第一目標(biāo)；產(chǎn)品乙必須嚴(yán)格控制在70公斤之內(nèi)為第二目標(biāo)；該廠的利潤越高越好為第三目標(biāo)；盡量減少工序1，2加班工時(shí)為第四目標(biāo).試問：在上述條件下，該廠應(yīng)如何生產(chǎn)？小時(shí)/公斤甲乙能提供的工時(shí)工序121100工序21180產(chǎn)量上界(kg)不限70利潤（元/kg)64解：設(shè)X1，X2為甲，乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)公斤數(shù)，

d1-，d1+分別為低于或超過利潤1000元的偏差d2-，d2+分別為第1道工序剩余和加班的工時(shí)數(shù)d3-，d3+分別為第2道工序剩余和加班的工時(shí)數(shù)d4-，d4+為加班工時(shí)之和低于或超過160工時(shí)數(shù)由于產(chǎn)品X2必須嚴(yán)格控制在70公斤之內(nèi)為目標(biāo)，則可取d5-為實(shí)際公斤數(shù)不到70的偏差，且d5+=0。目標(biāo)函數(shù)：MinZ=P1d4++P2d5++P3d1-+P4(d2++d3+)約束方程：6X1+4X2+d1--d1+=10002X1+X2+d2--d2+=100X1+X2+d3--d3+=80d2++d3++

d4–-d4+=160X2+

d5–=70X1,X2,di-,di+,

d5–

0(i=1,2,3,4)目標(biāo)函數(shù)：MaxS=-P1d4+-P2d5--P3d1--P4(d2++d3+)約束方程：6X1+4X2+d1--d1+=10002X1+X2+d2--d2+=100X1+X2+d3--d3+=80d2++d3++

d4–d4+=160X2+

d5–=70X1,X2,di-,di+,

d5–

0(i=1,2,3,4)表1C00-p300-p40-p40-p1-p2CBXBX1X2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+d5-b-p3d1-641-1000000010000d2-21001-1000001000d3-1100001-1000800d4-000001011-10160-p2d5-0100000000170óp400000-10-10000p3640-100000001000p20100000000070p1000000000-100表1C00-p300-p40-p40-p1-p2CBXBX1X2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+d5-b-p3d1-641-1000000010000d2-21001-1000001000d3-1100001-1000800d4-000001011-10160-p2d5-0100000000170óp400000-10-10000p3640-100000001000p20100000000070p1000000000-100表1C00-p300-p40-p40-p1-p2CBXBX1X2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+d5-b-p3d1-601-1000000-47200d2-20001-10000-1300d3-1000001-100-1100d4-000001011-101600X20100000000170óp400000-10-10000p3640-10000000720p20000000000-10p1000000000-100表1C00-p300-p40-p40-p1-p2CBXBX1X2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+d5-b-p3d1-601-1000000-47200d2-20001-10000-1300d3-1000001-100-1100d4-000001011-101600X20100000000170óp400000-10-10000p3600-1000000-4720p20000000000-10p1000000000-100表1C00-p300-p40-p40-p1-p2CBXBX1X2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+d5-b-p3d1-001-100-660026600d2-00001-1-22001100X11000001-100-1100d4-000001011-101600X20100000000170óp400000-10-10000p3000-100-66002660p20000000000-10p1000000000-100表1C00-p300-p40-p40-p1-p2CBXBX1X2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+d5-b-p3d1-001-1-330000-1630-p4d3+00001/2-1/2-11001/250X110001/2-1/20000-1/2150d4-0000-1/23/2101-1-1/21550X20100000000170óp400001/2-3/210001/25p3000-1-330000-1630p20000000000-10p1000000000-100表1C00-p300-p40-p40-p1-p2CBXBX1X2d1-d1+d2-d2+d3-d3+d4-d4+d5-b-p3d1-001-1-20-20-220320-p4d3+00001/30-2/311/3-1/31/3170/30X110001/30-2/301/3-1/3-2/3200/3-p4d2+0000-1/312/302/3-2/3-1/3310/30X20100000000170óp4000000001-10160p3000-1-20-20-220320p20000000000-10p1000000000-100到目前為止，已經(jīng)不能再進(jìn)行下去，否則會(huì)破壞已經(jīng)滿足的條件。該題的解答：X1=200/3，X2=70，

d1-=320，d2+=310/3，d3+=170/3d4+=d4-=d5-=0即該廠生產(chǎn)方案：生產(chǎn)產(chǎn)品甲200/3公斤，產(chǎn)品乙70公斤，第1道工序加班310/3工時(shí)，第2道工序加班170/3工時(shí)，才能獲利1000-d1-=1000-320=680元。投資規(guī)劃實(shí)例某經(jīng)濟(jì)區(qū)準(zhǔn)備籌集資金，在下個(gè)計(jì)劃期內(nèi)投資建設(shè)新項(xiàng)目，有輕工業(yè)、重工業(yè)和新技術(shù)產(chǎn)業(yè)三種項(xiàng)目，這些項(xiàng)目能否如期建成有一定風(fēng)險(xiǎn)。在建成投產(chǎn)后，其收入與投資額有關(guān)，經(jīng)過分析研究，各項(xiàng)目的建設(shè)方案不能如期投入的風(fēng)險(xiǎn)因子及投產(chǎn)后可以增加的經(jīng)濟(jì)收入的資金收益率百分?jǐn)?shù)如下表項(xiàng)目種類建設(shè)方案風(fēng)險(xiǎn)因子ri資金收益率gi(%)輕工業(yè)10.220輕工業(yè)20.220輕工業(yè)30.312輕工業(yè)40.316新技術(shù)產(chǎn)業(yè)50.430新技術(shù)產(chǎn)業(yè)60.216新技術(shù)產(chǎn)業(yè)70.530重工業(yè)80.720重工業(yè)90.64重工業(yè)100.430重工業(yè)110.115根據(jù)該地區(qū)情況，決策部門提出如下要求：用于