2022年度福建省廈門市崇德中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題：p1：?x∈R，sin2+cos2=，p2：?x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny，p3：銳角△ABC中，sinA＜cosB，p4：△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB，其中的假命題是（）A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p3，p4參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】逐一分析給定四個命題的真假，可得結(jié)論．【解答】解：sin2+cos2=1恒成立，故命題p1：?x∈R，sin2+cos2=為假命題；當(dāng)x=y=0時，sin（x﹣y）=sinx﹣siny=0，故命題p2：?x，y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny為真命題；銳角△ABC中，A+B＞，即A＞﹣B，即sinA＞sin（﹣B）=cosB，故命題p3：銳角△ABC中，sinA＜cosB為假命題；：△ABC中，若A＞B，則a＞b，則2RsinA＞2RsinB，則sinA＞sinB，故命題p4：△ABC中，若A＞B，則sinA＞sinB為真命題；故選：C2.已知雙曲線:右支上非頂點的一點關(guān)于原點的對稱點為,為其右焦點,若,設(shè),且,則雙曲線離心率的取值范圍是(

)A．

B．

C.

D．參考答案：B3.已知某射擊運動員，每次擊中目標(biāo)的概率都是．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率：先由計算器算出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)；因為射擊4次，故以每4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

5727

0293

7140

9857

0347

4373

8636

96471417

46980371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

6710

4281據(jù)此估計，該射擊運動員射擊4次至少擊中3次的概率為（

）

A.0.85

B.0.8192

C.0.8

D.0.75參考答案：D4.隨機(jī)變量X～B（n，），E（X）=3，則n=（）A．8 B．12 C．16 D．20參考答案：B【考點】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【分析】根據(jù)二項分布的數(shù)學(xué)期望公式計算得出．【解答】解：E（X）==3，∴n=12．故選B．5.已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：①f（0）f（1）＞0；

②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0；

④f（0）f（3）＜0.其中正確結(jié)論的序號是（

）

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④參考答案：C略6.是虛數(shù)單位，等于

（

）A．

B．

C．

D． 參考答案：D7.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（

）參考答案：A8.設(shè)隨機(jī)變量，滿足：，，若，則（

）A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：A9.已知函數(shù)，直線，曲線與直線的一側(cè)所圍成的平面區(qū)域的面積為，曲線與直線的另一側(cè)所圍成的平面區(qū)域的面積為，若對任意的正數(shù)，都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（－∞,0）B．（－∞,1）C.（0,+∞）D．（1,+∞）參考答案：B10.以下四個命題中：①為了了解800名學(xué)生對學(xué)校某項教改試驗的意見，打算從中抽取一個容量為40的樣本，考慮用系統(tǒng)抽樣，則分段的間隔k為40．②線性回歸直線方程=x+恒過樣本中心（，），且至少過一個樣本點；③在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）內(nèi)取值的概率為0.1，則ξ在（2，3）內(nèi)取值的概率為0.4；其中真命題的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：B【考點】線性回歸方程；正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】①系統(tǒng)抽樣時將整個的編號分段要確定分段的間隔，當(dāng)總體個數(shù)除以樣本容量是整數(shù)時，則間隔確定，當(dāng)不是整數(shù)時，通過從總體中刪除一些個體（用簡單隨機(jī)抽樣的方法）使剩下的總體中個體的個數(shù)能被樣本容量整除；②根據(jù)樣本點中心（，）點必在回歸直線上，不一定過樣本點，即可分析真假；③根據(jù)ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0），則正態(tài)分布圖象的對稱軸為x=2，根據(jù)在（﹣∞，1）內(nèi)取值的概率為0.1，進(jìn)而得到隨機(jī)變量ξ在（2，3）內(nèi)取值的概率．【解答】解：①由題意知本題是一個系統(tǒng)抽樣，總體中個體數(shù)是800，樣本容量是40，根據(jù)系統(tǒng)抽樣的步驟，得到分段的間隔K==20，故①是假命題；②線性回歸直線方程=x+恒過樣本中心（，），但不一定過樣本點，故②是假命題；③由于ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2）（σ＞0），則正態(tài)分布圖象的對稱軸為x=2，故ξ在（﹣∞，2）內(nèi)取值的概率為0.5，又由ξ在（﹣∞，1）內(nèi)取值的概率為0.1，則ξ在（1，2）內(nèi)取值的概率為0.4故ξ在（2，3）內(nèi)取值的概率為0.4，故③是真命題；故選：B【點評】本題考查系統(tǒng)抽樣、回歸直線以及正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，解決本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知（x，y）滿足，則k=的最大值等于

．參考答案：1【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；不等式．【分析】由已知條件作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，則k的幾何意義為點P（x，y）到定點A（﹣1，0）的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：k的幾何意義為點P（x，y）到定點A（﹣1，0）的斜率，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則由圖象可知AB的斜率最大，其中B（0，1），此時k==1．故答案為：1．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的突破，是中檔題．12.雙曲線的漸近線方程為

▲

.參考答案：略13.如圖是一個算法流程圖，若輸入x的值為，則輸出y的值是____.參考答案：－2由題意得，故答案為．點睛:算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和偽代碼的考查．先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)的初始條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)的終止條件，要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項．

14.對于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組（n是不小于3的正整數(shù)），對于任意的，，當(dāng)時有，則稱，是該數(shù)組的一個“逆序”，一個數(shù)組中所有“逆序”的個數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”，則數(shù)組中的逆序數(shù)等于______；若數(shù)組中的逆序數(shù)為，則數(shù)組中的逆序數(shù)為_____．參考答案：

3

由題意知數(shù)組(3,1,4,2)中的逆序有3,1；3,2；4,2；∴逆序數(shù)是3，∵若數(shù)組中的逆序數(shù)為n-1，∵這個數(shù)組中可以組成個數(shù)對，∴數(shù)組中的逆序數(shù)為.15.函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線方程為2x+y﹣3=0，則f（2）+f'（2）=．參考答案：﹣3【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【分析】先將x=2代入切線方程可求出f（2），再由切點處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率可求出f'（2）的值，最后相加即可．【解答】解：由已知切點在切線上，所以f（2）=﹣1，切點處的導(dǎo)數(shù)為切線斜率，所以f'（2）=﹣2，所以f（2）+f′（2）=﹣3．故答案為：﹣3．16.正四面體ABCD的棱長為1，其中線段平面，E，F(xiàn)分別是線段AD和BC的中點，當(dāng)正四面體繞以AB為軸旋轉(zhuǎn)時，線段EF在平面上的射影長的范圍是

▲

．

參考答案：[，]．略17.某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如下圖所示為她們刺繡最簡單的三個圖案，這些圖

案都是由小圓構(gòu)成，小圓數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小圓的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小圓．則f(5)的值為

.參考答案：41三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）設(shè)△的內(nèi)角所對的邊分別為,且,,.(1)求的值;

(2)求的值.參考答案：(1)由余弦定理,得,………………2分

又,,,所以,……4分解得,.…………………6分

(2)在△中,,……7分

由正弦定理得,…………9分

因為,所以為銳角,所以………10分

因此.………12分19.（12分）為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量，某企業(yè)擬在2013年進(jìn)行技術(shù)改革，經(jīng)調(diào)查測算，產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費用m萬元（m≥0）滿足x=3﹣（k為常數(shù)）．如果不搞技術(shù)改革，則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬件．已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元．由于市場行情較好，廠家生產(chǎn)均能銷售出去，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍（生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金）（1）試確定k的值，并將2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為技術(shù)改革費用m萬元的函數(shù)（利潤=銷售金額﹣生產(chǎn)成本﹣技術(shù)改革費用）；（2）該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤．參考答案：（1）y=28﹣m﹣（m≥0）；（2）該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．（1）由題意可知，當(dāng)m=0時，x=1（萬件）∴1=3﹣k，∴k=2，∴x=3﹣∴每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×（元），∴2010年的利潤y=x?（1.5×）﹣（8+16x）﹣m=28﹣m﹣（m≥0）；（2））∵m≥0，∴y=28﹣m﹣28﹣m﹣=29﹣[（m+1）+]≤=21當(dāng)且僅當(dāng)m+1=，即m=3時，ymax=21．∴該企業(yè)2010年的技術(shù)改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大，最大為21萬元．20.如圖：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D為AB中點．（1）求證：BC1∥平面A1CD；（2）求二面角D﹣CA1﹣A的正切值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連接AC1交A1C于O點，連接DO，則O為AC1的中點，由D為AB中點，知DO∥BC1，由此能夠證明BC1∥平面A1CD．（2）以CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出二面角D﹣CA1﹣A的正切值．【解答】（1）證明：連接AC1交A1C于O點，連接DO，則O為AC1的中點，∵D為AB中點，∴DO∥BC1，又∵DO?平面A1CD，BC1?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（2）解：以CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D為AB中點．∴=（﹣2，2，2），設(shè)二面角D﹣CA1﹣A的大小為θ，則∵平面ACA1的法向量是=（0，1，0）∴cosθ==，∴tanθ=，∴二面角D﹣CA1﹣A的正切值是．21.已知數(shù)列，其前項和為.經(jīng)計算得：

.（Ⅰ）觀察上述結(jié)果，猜想計算的公式；（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明所提猜想.

參考答案：（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析（Ⅰ）猜想：.

…