吉林省長春市市第五十二中學2022年高二數(shù)學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a為函數(shù)f（x）=x3﹣12x的極小值點，則a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2參考答案：D【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】可求導數(shù)得到f′（x）=3x2﹣12，可通過判斷導數(shù)符號從而得出f（x）的極小值點，從而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2時，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2時，f′（x）＜0，x＞2時，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的極小值點；又a為f（x）的極小值點；∴a=2．故選D．2.有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是（

）參考答案：A3.當0<a<1時，函數(shù)y＝ax和y＝(a－1)x2的圖象只能是下圖中的()參考答案：D略4.已知是兩個命題，若“”是假命題，則A．都是假命題

B．都是真命題C．是假命題是真命題

D．是真命題是假命題參考答案：D5.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c.若C＝120°，c＝a，則()A．a>b

B．a<b

C．a＝b

D．a與b的大小關系不能確定參考答案：A6.若拋物線上一點到焦點的距離為1，則點的橫坐標為A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.一個等比數(shù)列的第3項和第4項分別是12和18，則該數(shù)列的第項等于A.27

B．

C．

D．8參考答案：B8.若命題p：2是偶數(shù)，命題q：2是3的約數(shù)，則下列結論中正確的是(

)A．“p∨q”為假

B．“p∨q”為真C．“p∧q”為真

D．以上都不對參考答案：B9.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，

即，．給出如下四個結論：①；②；③；④整數(shù)屬于同一“類”的則有“”．其中，正確結論的個數(shù)為（）．A．

B．C．

D．參考答案：C略10.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，，則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列，類比這一性質可知，若{cn}是正項等比數(shù)列，且{dn}也是等比數(shù)列，則dn的表達式應為（

）A. B.C. D.參考答案：D將等差數(shù)列中的加法和除法分別類比成等比數(shù)列中的乘法和開方，可得在等比數(shù)列中的表達式應為．選D．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察以下三個等式：(1)13＋23＝9；(2)13＋23＋33＝36；(3)13＋23＋33＋43＝100，歸納其特點可以獲得一個猜想是13＋23＋33＋…＋n3＝______________.參考答案：略12.設偶函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有，且當x∈[－3，－2]時，f(x)＝2x，則f(113.5)的值是____________．參考答案：13.曲線在點P（1,3）處的切線方程是__________________________參考答案：14.已知函數(shù),則

▲

.參考答案：015.已知函數(shù)y=ax2+b在點（1，3）處的切線斜率為2，則=

．參考答案：2【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，可得a的方程，再由切點，可得a+b=3，解得b，進而得到所求值．【解答】解：函數(shù)y=ax2+b的導數(shù)為y′=2ax，則在點（1，3）處的切線斜率為k=2a=2，即為a=1，又a+b=3，解得b=2，則=2．故答案為：2．16.在△ABC中，若a=2，A=60°，則=

．參考答案：4【考點】正弦定理．【專題】計算題；轉化思想；解三角形．【分析】根據(jù)題意，結合正弦定理可得=，將a=2，A=60°代入計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由正弦定理可得=，而a=2，A=60°，則===4，即=4，故答案為：4．【點評】本題考查正弦定理的運用，熟練運用正弦定理是解題的關鍵．17.已知方程恰有四個不同的實數(shù)根，當函數(shù)時，實數(shù)k的取值范圍是____.參考答案：【分析】求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調性和極值，作出函數(shù)的圖象，設，將方程根的個數(shù)轉化為一元二次方程根的分布進行求解即可．【詳解】函數(shù)，由得，得或，此時為增函數(shù)，由得，得，此時為減函數(shù)，即當時，函數(shù)取得極小值，極小值為，當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，當，，且，作出函數(shù)的圖象如圖：設，則當時方程有3個根，當時方程有2個根，當或時方程有1個根，則方程等價為，若恰有四個不同的實數(shù)根，等價為有兩個不同的根，當，方程不成立，即，其中或，設，則滿足，得，即，即，即實數(shù)的取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法轉化為一元二次方程根的分布，求出函數(shù)的導數(shù)研究的單調性和極值是解決本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M，N分別是BD1，B1C的中點，（1）求證：MN⊥B1C；（2）求三棱錐B1-BCD1的體積.參考答案：

（1）取的中點為，連接在中，，同理在中，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，平面，所以平面，所以，所以（2）19.已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax2，e=2.71828…，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e﹣2）x+b．（1）求a，b的值；（2）設x≥0，求證：f（x）＞x2+4x﹣14．參考答案：【考點】導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】綜合題；轉化思想；演繹法；導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）求導數(shù)，得切線方程，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e﹣2）x+b，即可求a，b的值；（2）由（1）可得f（x）=ex﹣x2，證明f（x）＞x2+4x﹣14，只要證明ex﹣2x2﹣4x+14＞0，構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可證明結論．【解答】解：（1）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=ex﹣2ax，f′（1）=e﹣2a，f（1）=e﹣a，∴y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣（e﹣a）=（e﹣2a）（x﹣1），由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e﹣2）x+b曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（e﹣2）x+b，得，∴a=b=1；（2）證明：由（1）可得f（x）=ex﹣x2，要證f（x）＞x2+4x﹣14，只要證明ex﹣2x2﹣4x+14＞0．設g（x）=ex﹣2x2﹣4x+14，g′（x）=ex﹣4x﹣4，設h（x）=ex﹣4x﹣4，則h′（x）=ex﹣4，∴h（x）在（0，2ln2）上單調遞減，（2ln2，+∞）上單調遞增，設曲線y=h（x）與x軸的交點為（m，0）∵h（0）=﹣3＜0，h（2）=e2﹣12＜0，h（3）=e3﹣16＞0，∴2＜m＜3，em=4m+4，∵x∈（0，m），g′（x）＜0，x∈（m，+∞），g′（x）＞0，∴g（x）≥g（m）=18﹣2m2，∵2＜m＜3，∴g（x）≥2（9﹣m2）＞0，即f（x）＞x2+4x﹣14．【點評】本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查構造法的運用，屬于中檔題．20.已知函數(shù)f（x）=（a、b為常數(shù)），且f（1）=，f（0）=0．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的奇偶性，并證明；（Ⅲ）對于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：考點：函數(shù)恒成立問題．專題：函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用．分析：（Ⅰ）運用代入法，得到a，b的方程，解得a，b，可得f（x）的解析式；（Ⅱ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．運用奇函數(shù)的定義，即可得證；（Ⅲ）f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立，即為2x﹣1＜m?4x，運用參數(shù)分離和換元法，結合指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的值域，可得右邊的最大值，即可得到m的范圍．解答： 解：（Ⅰ）由已知可得，，解得a=1，b=﹣1，所以；（Ⅱ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．證明如下：f（x）的定義域為R，∵，∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；

（Ⅲ）∵，∴，∴2x﹣1＜m?4x∴=g（x），故對于任意的x∈[0，2]，f（x）（2x+1）＜m?4x恒成立等價于m＞g（x）max令，則y=t﹣t2，則當時，故，即m的取值范圍為．點評：本題主要考查函數(shù)的解析式、奇偶性等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，抽象概括能力，考查化歸的思想．21.（本小題滿分13分）設。（1）求的值；（2）歸納{}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明。參考答案：解：（1）…4分

（2）根據(jù)計算結果，可以歸納出

………..6分

證明：①當n=1時,與已知相符，歸納出的公式成立?！?分

②假設當n=k()時，公式成立，即那么,

所以，當n=k+1時公式也成立?！?2分

由①②知，時，有成立?！?13分略22.已知a1=3，an=2an﹣1+（t+1）?2n+3m+t（t，m∈R，n≥2，n∈N*）（1）t=0，m=0時，求證：是等差數(shù)列；（2）t=﹣1，m=是等比數(shù)列；（3）t=0，m=1時，求數(shù)列{an}的通項公式和前n項和．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）兩邊同除以2n，由等差數(shù)列的定義，即可得證；（2）兩邊同加上3，由等比數(shù)列的定義，即可得證；（3）兩邊同除以2n，可得=+1+，即為==1+，再由數(shù)列恒等式，可得數(shù)列{an}的通項公式；再由錯位相減法和等比數(shù)列的求和公式，計算即可得到所求和．【解答】解：（1）證明：t=0，m=0時，an=2an﹣1+2n，兩邊同除以2n，可得=+1，即有是首項為，公差為1的等差數(shù)列；（2）證明：t=﹣1，m=時，an=2an﹣1+3，兩邊同加上3，可得an+3=2（an﹣1+3），即有數(shù)列{an+3}為首項為6，公比為2的等比數(shù)列；（3）t=0，m=1時，an=2an﹣1+2n+3，兩邊同除以2n，可得=+1+，即為==1+，即有得=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=+