統(tǒng)計(jì)學(xué)─從數(shù)據(jù)到結(jié)論第三章數(shù)據(jù)的描述在對數(shù)據(jù)進(jìn)行深入加工之前，總應(yīng)該對數(shù)據(jù)有所印象。可以借助于圖形和簡單的運(yùn)算，來了解數(shù)據(jù)的一些特征。由于數(shù)據(jù)是從總體中產(chǎn)生的，其特征也反映了總體的特征。對數(shù)據(jù)的描述也是對其總體的一個(gè)近似的描述。§3.1如何用圖來表示數(shù)據(jù)？§3.1.1定量變量的圖表示:1.直方圖對于一個(gè)定量變量，比如某個(gè)地區(qū)（地區(qū)1）測量了163個(gè)高三男生的身高（S3height1.txt）。用圖形來表示這個(gè)數(shù)據(jù)，使人們能夠看出這個(gè)數(shù)據(jù)的大體分布或“形狀”的一個(gè)辦法是畫直方圖(histogram)。圖3.1就是利用這個(gè)數(shù)據(jù)由SPSS軟件所畫的直方圖。該圖的橫坐標(biāo)是身高區(qū)間，這里每一格代表5cm的身高范圍（格子寬度因不同的數(shù)據(jù)性質(zhì)或要求而定，這里的格子寬度為5cm），而縱坐標(biāo)為各種身高區(qū)間的身高的頻數(shù)。

直方圖§3.1.1定量變量的圖表示:2.盒型圖簡單一些的是盒形圖(boxplot，又稱箱圖、箱線圖、盒子圖)。圖3.2的左邊一個(gè)是根據(jù)地區(qū)1高三男生的身高數(shù)據(jù)所繪的盒形圖；其右邊的圖代表另一個(gè)地區(qū)（地區(qū)2）的高三學(xué)生的身高（height.txt，height.sav，第三章例.xls）。盒型圖盒子的中間橫線是數(shù)據(jù)的中位數(shù)(median)，封閉盒子的上下兩橫線（邊）為上下四分位數(shù)（點(diǎn)）；按照SPSS的默認(rèn)選項(xiàng)，如果所有樣本中的數(shù)目都在離四分位點(diǎn)1.5倍盒子長度之內(nèi)，則線的端點(diǎn)為最大和最小值，否則線長就是1.5倍的盒子長度（盒子長度稱為四分位間距），在其外面的度量單獨(dú)點(diǎn)出§3.1.1定量變量的圖表示:3.莖葉圖

在直方圖和盒形圖中，很難恢復(fù)數(shù)據(jù)的原貌。而另一種圖：莖葉圖(stem-and-leafplots)可以恢復(fù)數(shù)據(jù)以地區(qū)1高三男生身高為例（圖3.3），莖葉圖既展示了分布形狀又有原始數(shù)據(jù)。它象一片帶有莖的葉子。莖為較大位數(shù)的數(shù)字，葉為較小位數(shù)的數(shù)字。莖葉圖其中莖葉圖中莖的單位為10cm，而葉子單位為1cm。比如，由于第一行莖為150cm，因此葉子中的九個(gè)數(shù)字001223344代表九個(gè)數(shù)目150、150、151、152、152、153、153、154、154cm等。每行左邊有一個(gè)頻數(shù)（比如第一行有9個(gè)數(shù)目，第二行有17個(gè)等等）；可以看出最長的一行為從165cm到169cm的一段（有35個(gè)數(shù)）?！?.1.1定定量量變量量的圖圖表示示:4.散散點(diǎn)圖圖數(shù)據(jù)會(huì)會(huì)有兩兩個(gè)變變量，，如美美國男男士和和女士士初婚婚年限限數(shù)據(jù)據(jù)（marriage.txt））。該數(shù)據(jù)據(jù)描述述了自自1900年到到1998年男男女第第一次次婚姻姻延續(xù)續(xù)的時(shí)時(shí)間。。這里年年份是是一個(gè)個(gè)變量量，婚婚姻延延續(xù)時(shí)時(shí)間是是第二二個(gè)變變量。。由于于不可可能將將所有有人的的婚姻姻年限限都給給出來來，所所以每每年就就取了了一個(gè)個(gè)中間間的值值(中中位數(shù)數(shù))作作為代代表。。散點(diǎn)圖圖§3.1.2定定性性變量量的圖圖表示示：餅餅圖定性變變量（（或?qū)賹傩宰冏兞?，，分類類變量量）不不能點(diǎn)點(diǎn)出直直方圖圖、散散點(diǎn)圖圖或莖莖葉圖圖，但但可以以描繪繪出它它們各各類的的比例例。下面用用SPSS繪的的圖3.5（餅圖圖，piechart）表示了了說世世界各各種主主要語語言人人數(shù)的的比例例(language.txt).餅圖§3.1.2定定性性變量量的圖圖表示示：條條形圖圖而用同同樣數(shù)數(shù)據(jù)畫畫的圖圖3.6稱稱為條形圖圖（barchart）。從每一一條可可以看看出講講各種種語言言的實(shí)實(shí)際人人數(shù)，，而且且分別別給出出了每每個(gè)語語種中中母語語和日日常使使用的的人數(shù)數(shù)（在在圖中中并排排放置置）。。條形形圖顯顯示比比例不不如餅餅圖直直觀。。條形圖圖§3.2如如何何用少少量數(shù)數(shù)字來來概括括數(shù)據(jù)據(jù)？大量的的數(shù)字字既繁繁瑣又又不直直觀；；需要要對數(shù)數(shù)據(jù)做做人們們時(shí)間間和耐耐心所所允許許的簡簡化我們可可以用用““平均均”，，“差差距””或百百分比比等來來概括括大量量數(shù)字字。由于定定性變變量主主要是是計(jì)數(shù)數(shù)，比比較簡簡單，，常用用的概概括就就是比比例或或百分分比。。下面面主要要介紹紹關(guān)于于定量量變量量的數(shù)數(shù)字描描述。?！?.2如如何何用少少量數(shù)數(shù)字來來概括括數(shù)據(jù)據(jù)？可用少少量所所謂匯匯總統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量或概括統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量(summarystatistic)來描述述定量量變量量的數(shù)數(shù)據(jù)。。這些數(shù)數(shù)字是是從樣樣本數(shù)數(shù)據(jù)得得來的的，因因而也也是樣樣本的的函數(shù)數(shù)，任何樣樣本的的函數(shù)數(shù)，只只要不不包含含總體體的未未知參參數(shù)，，都稱稱為統(tǒng)計(jì)量量(statistic)。樣本的的隨機(jī)機(jī)性決決定統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量的隨隨機(jī)性性（統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量也是是隨機(jī)機(jī)變量量）§3.2如如何何用少少量數(shù)數(shù)字來來概括括數(shù)據(jù)據(jù)？概括統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量經(jīng)常常對應(yīng)應(yīng)于總總體的的無法法觀測測到的的某些些參數(shù)數(shù)。這時(shí)，，統(tǒng)計(jì)計(jì)量可可作為為這些些參數(shù)數(shù)的估估計(jì)。。一些些統(tǒng)計(jì)計(jì)量還還可以以用來來檢驗(yàn)驗(yàn)樣本本和假假設(shè)的的總體體是否否一致致。§3.2如如何何用少少量數(shù)數(shù)字來來概括括數(shù)據(jù)據(jù)？注：一些統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量前面面有時(shí)時(shí)加上上“樣樣本””二字字，以以區(qū)別別于總總體的的同名名參數(shù)數(shù)。如如“樣樣本均均值””和““樣本本標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差””，以以區(qū)別別于總總體均均值和和總體體標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差；；但在在不會(huì)會(huì)混淆淆時(shí)可可以只只說““均值值”和和“標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差”。。§3.2.1數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““位置置”數(shù)據(jù)有有位置置嗎？？這里三三個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)的的位置置一樣樣嗎？？§3.2.1數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““位置置”“位置置”一一般是是關(guān)于于數(shù)據(jù)據(jù)中某某變量量觀測測值的的“中中心位位置””或者者數(shù)據(jù)據(jù)分布布的中中心（（center或centertendency）。。和這種種“位位置””有關(guān)關(guān)的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量就稱稱為位置統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量(locationstatistic)。位置統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量當(dāng)然然不一一定都都是描描述““中心心”了了，比比如后后面要要講的的k百百分位位數(shù)（（或k％分分位數(shù)數(shù)）。。§3.2.1數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““位置置”最常用用的位位置統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量就是是小學(xué)學(xué)時(shí)所所學(xué)到到的算算術(shù)平平均數(shù)數(shù)，它它在統(tǒng)統(tǒng)計(jì)中中叫做做均值值(mean)；嚴(yán)嚴(yán)格地地說叫叫做樣樣本均均值(samplemean)，以以區(qū)別別于總總體均均值。。如果記記樣本本中的的觀測測值為為x1,…,xn，則樣樣本均均值定定義為為(樣本本)中中位數(shù)數(shù)(median)是是數(shù)據(jù)據(jù)按照照大小小排列列之后后位于于中間間的那那個(gè)數(shù)數(shù)(如如果樣樣本量量為奇奇數(shù))，或或者中中間兩兩個(gè)數(shù)數(shù)目的的平均均(如如果樣樣本量量為偶偶數(shù))。由于中中位數(shù)數(shù)不易易被極極端值值影響響，所所以中中位數(shù)數(shù)比均均值穩(wěn)穩(wěn)健(robust)。?！?.2.1數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““位置置”上下四四分位位數(shù)（或分分別稱稱為第一四四分位位數(shù)和和第三三四分分位數(shù)數(shù)，firstquantile,thirdquantile））則分別別位于于（按按大小小排列列的））數(shù)據(jù)據(jù)的上上下四四分之之一的的地方方。§3.2.1數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““位置置”§3.2.1數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““位置置”一般地地還稱稱上四四分位位數(shù)為為75百百分位位數(shù)（（75pecentile，有75％％的觀觀測值值小于于它）），下下四分分位數(shù)數(shù)為25百百分位位數(shù)（有25％％的觀觀測值值小于于它））。一般地地，k百分分位數(shù)數(shù)（k-pecentile）意味味著有有k％％的觀觀測值值小于于它。。如果令令a=k%，則k百百分位位數(shù)也也稱為為a分位數(shù)數(shù)(a-quantile)。。樣本中中出現(xiàn)現(xiàn)最多多的數(shù)數(shù)目，，稱為為眾數(shù)(mode)§3.2.2數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““尺度度”這兩個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)據(jù)“胖胖瘦””一樣樣嗎？？§3.2.2數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““尺度度”數(shù)據(jù)中中數(shù)目目的分分散程程度由由尺度統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量（scalestatistic）來描述述。尺度統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量是描描述數(shù)數(shù)據(jù)散散布，，即描描述集集中與與分散散程度度或變變化（（spread或variability）的的度量量?！?.2.2數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的““尺度度”從前面面兩個(gè)個(gè)高三三男生生身高高數(shù)據(jù)據(jù)的盒盒形圖圖。左左邊的的數(shù)據(jù)據(jù)平均均要高高些，，但右右邊的的數(shù)據(jù)據(jù)散布布范圍圍要小小得多多。統(tǒng)計(jì)中有許許多尺度統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量。一一般來說，，數(shù)據(jù)越分分散，尺度度統(tǒng)計(jì)量的的值越大。。§3.2.2數(shù)據(jù)據(jù)的“尺度度”極差(range)；就是極大大值和極小小值之間的的差。前面兩個(gè)高高三男生身身高數(shù)據(jù)的的極差分別別為50cm和32cm。盒形圖盒子子的長度為為兩個(gè)四分分位數(shù)之差差，稱為四分位數(shù)極極差或四分分位間距(interquantilerange)；它描述了了中間半數(shù)數(shù)觀測值的的散布情況況。極差和和四分位極極差實(shí)際上上各自只依依賴于兩個(gè)個(gè)值，信息息量太少。。§3.2.2數(shù)據(jù)據(jù)的“尺度度”另一個(gè)常用用的尺度統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量為（（樣本）標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)。度量樣本本中各數(shù)值值到均值距距離的一種種平均。標(biāo)準(zhǔn)差實(shí)際際上是方差(variance)的平方根。。如果記樣樣本中的觀觀測值為x1,…,xn，則樣本方方差為§3.2.2數(shù)據(jù)據(jù)的“尺度度”兩個(gè)均值一一樣，但右右邊的要““胖”些，，方差為左左邊的一倍倍§3.2.3數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得得分假定兩個(gè)水水平類似的的班級(jí)（一一班和二班班）上同一一門課，但是由于兩兩個(gè)任課老老師的評(píng)分分標(biāo)準(zhǔn)不同同，使得兩兩個(gè)班成績績的均值和和標(biāo)準(zhǔn)差都都不一樣(數(shù)據(jù)：grade.txt)。§3.2.3數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得得分一班分?jǐn)?shù)的的均值和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差分別別為78.53和9.43，，而二班的的均值和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差分別別為70.19和7.00。。那么得到90分的一一班的張穎穎是不是比比得到82分的二班班的劉疏成成績更好呢呢？怎么比比較才能合合理呢？§3.2.3數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)得得分雖然這種均均值和標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差不同的的數(shù)據(jù)不能能夠直接比比較，但是