廣東省陽(yáng)江市陽(yáng)春銅業(yè)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若兩條不同的直線(xiàn)與同一平面所成的角相等，則這兩條直線(xiàn)（

）.A.平行

B.相交

C.異面

D.以上皆有可能參考答案：D略2.點(diǎn)在曲線(xiàn)上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)處切線(xiàn)的傾斜角為，則的取值范圍是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略3.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，則b=（）A．4 B．4 C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】首先利用正弦和余弦定理轉(zhuǎn)化出2（a2﹣c2）=b2，結(jié)合a2﹣c2=2b，直接算出結(jié)果．【解答】解：sinAcosC=3cosAsinC，利用正、余弦定理得到：解得：2（a2﹣c2）=b2①由于：a2﹣c2=2b②由①②得：b=4故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正、余弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．4.過(guò)點(diǎn)M（2，－4）作與拋物線(xiàn)y2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)l有（

） A．0條 B．1條 C．2條 D．3條參考答案：C略5.某工廠(chǎng)生產(chǎn)某型號(hào)水龍頭，成功率x%和每噸銅成本y（元）之間的回歸直線(xiàn)方程為，表明（

）A．成功率每減少1%，銅成本每噸增加314元B．成功率每增加1%，銅成本每噸增加2元C．成功率每減少1%，銅成本每噸增加2元D．成功率不變，銅成本不變，總為314元參考答案：C由回歸直線(xiàn)方程可得，成功率x%和每噸銅成本y（元）之間成負(fù)相關(guān)，故可得當(dāng)成功率每減少1%時(shí)，銅成本每噸增加2元。選C。

6.函數(shù)f（x）=sin2x的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【分析】將f（x）=sin2x看成外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)，分別求導(dǎo)即可．【解答】解：將y=sin2x寫(xiě)成，y=u2，u=sinx的形式．對(duì)外函數(shù)求導(dǎo)為y′=2u，對(duì)內(nèi)函數(shù)求導(dǎo)為u′=cosx，故可以得到y(tǒng)=sin2x的導(dǎo)數(shù)為y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故選D【點(diǎn)評(píng)】考查學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)的認(rèn)識(shí)，要求學(xué)生會(huì)對(duì)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)．7.用反證法證明命題：“若，那么，，中至少有一個(gè)不小于”時(shí)，反設(shè)正確的是A.假設(shè)，，都不小于

B.假設(shè)，，都小于C.假設(shè)，，至多有兩個(gè)小于D.假設(shè)，，至多有一個(gè)小于參考答案：B略8.直線(xiàn)：x＋y－＝0的傾斜角為A.300

B.450

C.600

D.1350參考答案：D9.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且

（

）A． B．－1 C．0 D．－2參考答案：B略10.方程x2+y2﹣4x=0表示的圓的圓心和半徑分別為（）A．（﹣2，0），2 B．（﹣2，0），4 C．（2，0），2 D．（2，0），4參考答案：C【考點(diǎn)】圓的一般方程．【分析】把圓的方程利用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，即可得到圓心與半徑．【解答】解：把圓x2+y2﹣4x=0的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圓心坐標(biāo)為（2，0），半徑為2，故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，要求學(xué)生會(huì)把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為

▲

．參考答案：﹣2；

12.已知數(shù)據(jù)x1,x2,……,x10的方差為2，且(x1-2)2+(x2-2)2+……+(x10-2)2=110，則數(shù)據(jù)x1,x2,……,x10的平均數(shù)是

.參考答案：-1或5

略13.直線(xiàn)L過(guò)拋物線(xiàn)C：x2=4y的焦點(diǎn)，且與y軸垂直，則L與C所圍成的圖形的面積等于．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先確定直線(xiàn)的方程，再求出積分區(qū)間，確定被積函數(shù)，由此利用定積分可求直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)圍成的封閉圖形面積．【解答】解：拋物線(xiàn)x2=4y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），∵直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C：x2=4y的焦點(diǎn)且與y軸垂直，∴直線(xiàn)l的方程為y=1，由，可得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣2，2．∴直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)圍成的封閉圖形面積為（1﹣）dx=（x﹣x3）|=．故答案是：．14.我們把形如的函數(shù)稱(chēng)為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，可以利用對(duì)數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊取對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得于是，運(yùn)用此方法可以求得函數(shù)在（1，1）處的切線(xiàn)方程是

.參考答案：略15.右表是某單位1-4月份水量（單位：百?lài)崳┑囊唤M數(shù)據(jù)：由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，其線(xiàn)性回歸直線(xiàn)方程是，由此可預(yù)測(cè)該單位第5個(gè)月的用水量是

百?lài)?參考答案：1.75略16.直線(xiàn)x+y－3=0的傾斜角是_______________．參考答案：_π17.將甲、乙、丙、丁四位老師分配到三所不同的學(xué)校去任教，每所學(xué)校至少分配一人且甲、乙兩人不在同一所學(xué)校，則共有________種不同的分配方案（用數(shù)字作答）。參考答案：30【分析】首先不考慮甲乙的特殊情況,算出總的分配方案,再減去甲乙同校的情況,得到答案.【詳解】將四名老師分配到三個(gè)不同的學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少分到一名老師有種排法；甲、乙兩名老師分配到同一個(gè)學(xué)校有種排法；故有甲、乙兩名老師不能分配到同一個(gè)學(xué)校有36-6=30種排法.故答案為30．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合里面的捆綁法和排除法,屬于基本題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)其中a，b為常數(shù)且在處取得極值．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在上的最大值為1，求a的值．參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）或【分析】由函數(shù)的解析式，可求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)是的一個(gè)極值點(diǎn)，可構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，根據(jù)求出b值；可得函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式，分析導(dǎo)函數(shù)值大于0和小于0時(shí)，x的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，寫(xiě)出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的情況，求出極值，把極值同端點(diǎn)處的值進(jìn)行比較得到最大值，最后利用條件建立關(guān)于a的方程求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)樗?，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，，當(dāng)時(shí)，，，，隨x的變化情況如下表：x100增極大值減極小值增

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為因?yàn)榱?，，因?yàn)樵?/p>

處取得極值，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以在區(qū)間上的最大值為，令，解得當(dāng)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增所以最大值1可能在或處取得而所以，解得當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增所以最大值1可能在或處取得而，所以，解得，與矛盾.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以最大值1可能在處取得，而，矛盾。綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，其中根據(jù)已知條件確定a，b值，得到函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的解析式并對(duì)其符號(hào)進(jìn)行分析，是解答的關(guān)鍵屬于中檔題．19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，∴，，∴曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（2）.當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增.20.(本小題滿(mǎn)分14分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，記．

(Ⅰ)求，并證明是等比數(shù)列；(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．參考答案：解：（Ⅰ）∵，，

∴，∴,

……1分

∴,

………1分

另外，由得，當(dāng)時(shí)，有，

…1分

∴，

即，

……1分

∴，

……1分

又∵，∴，

…1分略21.甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊(duì)獲勝的概率是，沒(méi)有平局．若采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則甲隊(duì)獲勝的概率等于（

）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：D略22.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖：是邊長(zhǎng)為2的正三角形，面ABC，BD//CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中點(diǎn).①求證：DE=DA；②求證：DM//面ABC；③求C到面ADE的距離．參考答案：①證明：面ABC，BD//CE，

……1分

是邊長(zhǎng)為2的正三角形且CE=CA=2BD，

在直角三角形ABC中，可求得……………