上海市松江區(qū)教師進(jìn)修學(xué)院附屬立達(dá)中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，且滿足，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B2.已知滿足，則的最小值為

(

)A．1

B．

C．

D．參考答案：B3.若直線的傾斜角為，則(

)

A．等于

B．等于

C．等于

D．不存在參考答案：C略4.已知命題p：?x∈R，x+≥2；命題q：?x0∈[0，]，使sinx0+cosx0=，則下列命題中為真命題的是（）A．p∨（￢q） B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q參考答案：D【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】判斷兩個(gè)命題的真假，然后利用復(fù)合命題的真假判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于命題p：當(dāng)x≤0時(shí)，x+≥2不成立，∴命題p是假命題，則￢p是真命題；對(duì)于命題q：sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]，則q是真命題，所以（￢p）∧q．故選：D．5.已知拋物線的方程為，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D6.已知雙曲線一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），一漸近線方程為3x﹣4y=0，則雙曲線離心率為（）A． B．C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】雙曲線一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），一漸近線方程為3x﹣4y=0，可得c=5，=，結(jié)合c2=a2+b2，即可求出雙曲線離心率．【解答】解：∵雙曲線一焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），一漸近線方程為3x﹣4y=0，∴c=5，=，c2=a2+b2解得：a=4，b=3，e=故選：D7.設(shè)函數(shù)，則（

）A.為的極大值點(diǎn)

B.為的極小值點(diǎn)C.為的極大值點(diǎn)

D.為的極小值點(diǎn)[學(xué)參考答案：D略8.已知某種產(chǎn)品的支出廣告額x與利潤(rùn)額y（單位：萬(wàn)元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：x34567y2030304060則回歸直線方程必過(guò)（）A．（5，36） B．（5，35） C．（5，30） D．（4，30）參考答案：A【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】求出樣本中心坐標(biāo)即可．【解答】解：由題意可知回歸直線方程必過(guò)樣本中心坐標(biāo)（，），即（5，36）．故選：A．9.記，當(dāng)時(shí)，觀察下列等式：，，，可以推測(cè)A-B等于（

）A． B． C． D．參考答案：C略10.函數(shù)的部分圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，M是F1P的中點(diǎn)，|OM|＝3，則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為________．參考答案：412.過(guò)點(diǎn)的直線，與圓相較于A、B兩點(diǎn)，則________________。參考答案：13.設(shè)點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，焦點(diǎn)F（2，0），點(diǎn)A（3，2），使4|PA|+2|PF|有最小值時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)題意算出雙曲線的離心率e=2，右準(zhǔn)線方程為x=．連結(jié)PF，過(guò)P作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，由雙曲線第二定義得|PM|=|PF|，從而得出|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，利用平面幾何知識(shí)可得當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|=|AM|達(dá)到最小值．由此利用雙曲線的方程加以計(jì)算，可得滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：∵雙曲線中，a=1，b=，∴c=2，可得雙曲線的離心率e=2，右準(zhǔn)線方程為x=，設(shè)右準(zhǔn)線為l，過(guò)P作PM⊥l于M點(diǎn)，連結(jié)PF，由雙曲線的第二定義，可得|PM|=|PF|．∴|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P，可得當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PM|=|AM|達(dá)到最小值．此時(shí)經(jīng)過(guò)P、A、M三點(diǎn)的直線與x軸平行，設(shè)P（m，2），代入雙曲線方程得m=，得點(diǎn)P（，2）．∴滿足使4|PA|+2|PF|=4（|PA|+|PF|）有最小值的點(diǎn)P坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題給出定點(diǎn)A與雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P，求4|PA|+2|PF|有最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．著重考查了雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．14.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第一步驗(yàn)證時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是

；參考答案：略15.如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為________．參考答案：y2＝3x

略16.圓心在，半徑為1的圓的極坐標(biāo)方程是（．參考答案：其它正確答案同樣給分）考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．專題：計(jì)算題．分析：由題意圓心在，半徑為1的圓，利用直角坐標(biāo)方程，先求得其直角坐標(biāo)方程，間接求出所求圓的方程．解答：解：由題意可知，圓心在的直角坐標(biāo)為（，），半徑為1．得其直角坐標(biāo)方程為（x﹣）2+（y﹣）2=1，即x2+y2=x+y所以所求圓的極坐標(biāo)方程是：ρ2=?．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查極坐標(biāo)方程的求法，考查數(shù)形結(jié)合，計(jì)算能力．17.已知i是虛數(shù)單位，且，則__________．參考答案：由題意可得：.

14.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是__________．【答案】【解析】【分析】利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式求解.【詳解】因?yàn)椋杂捎?，所以可?【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，熟記轉(zhuǎn)化公式是求解關(guān)鍵，一般直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)利用公式可得，利用公式及點(diǎn)的位置可得；極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)時(shí)一般利用來(lái)實(shí)現(xiàn).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且橢圓過(guò)點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為，求直線l的方程.參考答案：（1）由題得（2）設(shè)，則由，兩式相減，得，于是，故即因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以所求的直線滿足題意19.現(xiàn)有四個(gè)正四棱柱形容器，1號(hào)容器的底面邊長(zhǎng)是a，高是b；2號(hào)容器的底面邊長(zhǎng)是b，高是a；3號(hào)容器的底面邊長(zhǎng)是a，高是a；4號(hào)容器的底面邊長(zhǎng)是b，高是b.假設(shè)，問(wèn)是否存在一種必勝的4選2的方案（與a，b的大小無(wú)關(guān)），使選中的兩個(gè)容器的容積之和大于余下的兩個(gè)容器的容積之和？無(wú)論是否存在必勝的方案，都要說(shuō)明理由.參考答案：存在，選擇3號(hào)和4號(hào)容器.【分析】分別計(jì)算出四個(gè)容器的體積，可求得，從而得到必勝方案，即選擇3號(hào)和4號(hào)容器.【詳解】1號(hào)容器體積為：；2號(hào)容器體積為：；3號(hào)容器體積為：；4號(hào)容器體積為：存在必勝方案，即選擇3號(hào)和4號(hào)容器【點(diǎn)睛】本題考查與棱柱體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠進(jìn)行因式分解得到恒大于零的式子，從而得到所求方案.

20.2000年我國(guó)人口為13億，如果人口每年的自然增長(zhǎng)率為7‰，那么多少年后我國(guó)人口將達(dá)到15億？設(shè)計(jì)一個(gè)算法的程序.參考答案：A=13R=0.007i=1DO

A=A*（1+R）

i=i+1

LOOP

UNTIL

A＞=15

i=i－1PRINT

“達(dá)到或超過(guò)15億人口需要的年數(shù)為：”；iEND21.（12分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=（I）證明AD平面PAB；（II）求異面直線PC與AD所成的角正切值；（III）求二面角P―BD―A的大小的正切值。參考答案：解：（Ⅰ）證明：在中，由題設(shè)可得于是.在矩形中，.又，所以平面.

（Ⅱ）證明：由題設(shè)，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故所以異面直線與所成的角的大小為.（Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)P做于H，過(guò)點(diǎn)H做于E，連結(jié)PE因?yàn)槠矫?，平面，所?又，因而平面，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，，從而是二面角的平面角。由題設(shè)可得，于是再中，所以二面角的大小為．略22.已知函數(shù)（a為實(shí)數(shù)）．（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）若在上的恒成立，求a的范圍；參考答案：（I）見(jiàn)解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令，解得或，根據(jù)根的大小三種情況分類討論，即可求解．（II）依題意有在上的恒成立，轉(zhuǎn)化為在上的恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解．【詳解】(Ⅰ)由題意，函數(shù)，則令，解得或，①當(dāng)時(shí)，有，有，故在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，有，隨的變化情況如下表：極大極小

由上表可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③同②當(dāng)時(shí)，有，有和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（II）依題意有在上的恒成立，即在上的恒成立，故在上的恒