1§16.2

直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算二重積分定義：(3)求和：(4)取極限：(1)分割：(2)近似：二重積分的計(jì)算(D是矩形區(qū)域)y0xz

yabcdDD是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

y0xz

yabcdDD是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

Q(y

)=.

二重積分的計(jì)算(D是矩形區(qū)域).I0xz

yyabcdD.Q(y

)=I同理，也可以先對(duì)y積分..z=f(x,y)D是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

二重積分的計(jì)算(D是矩形區(qū)域)6一、矩形區(qū)域上的二重積分的計(jì)算780xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y)yD:(y)x(y)cyd

二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）0xz

ycdDz=f(x,y)x=(y)x=(y).yD:(y)x(y)cyd

.Q(y

)

=I=

二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）.0xz

yx=(y)ycdDD:(y)x(y)cyd.Q(y

)

=I=z=f(x,y)x=(y)

二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）D:

x1(y)xx2(y)cydI=0y

xx2(y)x1

(y)cdy

X—型，Y—型區(qū)域D0y

xcdyDx2(y)x1

(y)I=

X—型，Y—型區(qū)域.D:

x1(y)xx2(y)cyd0y

xcdyDD:

y1(x)yy2(x)axb0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)xI=.D:

x1(y)xx2(y)cyd

X—型，Y—型區(qū)域0y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x.I=D:

x1(y)xx2(y)cydD:

y1(x)yy2(x)axb

X—型，Y—型區(qū)域0y

xcdyD0y

xI=ab

y1(x)

y2(x)Dx2(y)x1

(y)x.I=D:

x1(y)xx2(y)cydD:

y1(x)yy2(x)axb

X—型，Y—型區(qū)域170y

x113y=xx=y2D...例2.11y=x20y

xD2先對(duì)y積分（從下到上）1畫出區(qū)域D

圖形3

先對(duì)x積分（從左到右）...y=x...例3.

用兩種順序計(jì)算x0z

yab1D1（定積分三角代換）..瓦里斯公式例4.=0yx

D:x+y=1,x–y=1，x=0所圍11–1先對(duì)y積分.y=1–xy=x–1.例5.將二重積分化成二次積分0y

xD:x+y=1,x–y=1，x=0所圍11–1先對(duì)

y

積分.先對(duì)x積分D1D2.x=1–yx=y+1（不分塊兒行嗎？）.

用兩種順序計(jì)算

D:

由四條直線:x=3，x=5,

3x–2y+4=0,3x–2y+1=0

共同圍成的區(qū)域

oxy35583x–2y+4=03x–2y+1=0D.D1D2D3先對(duì)y積分先對(duì)x積分..（需分塊）..（需分塊）例6.

將二重積分化成二次積分

D:..0y

x11y=xy=x2.例7.

將二重積分換序D:..0y

xaa....x=y例8.

將二重積分換序262728303132333435解例2

求òò+Ddxdyyx)(2，其中D是由拋物線2xy=和2yx=所圍平面閉區(qū)域.3637解38解積分區(qū)域如圖39解原式例5

改變積分)0(),(20222>òò-adyyxfdxaaxxax

的次序.40解利用對(duì)稱關(guān)系41

例7

求由曲面解:1、作出該立體的簡(jiǎn)圖,并確定投影消去變量z得一垂直于面的柱面

立體鑲嵌在其中,立體在所圍成的立體的體積4243曲面的投影區(qū)域就是該柱面在xoy面上所圍成的區(qū)域2、列出體積計(jì)算的表達(dá)式3、配置積分限,化二重積分為二次積分4445思考題46設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x

軸對(duì)稱，D1

是D

中對(duì)應(yīng)于

y

≥0的部分，則：利用對(duì)稱性計(jì)算二重積分47解例

計(jì)算積分

òò=yxydxedyI212141òò+yyxydxedy121.òò=xxxydyedxI2211例2

求òò+Ddxdyyx)(2，其中D是由拋物線2xy=和2yx=所圍平面閉區(qū)域.例5

改變積分)0