2022年湖南省湘潭市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.A.f(x)+CB.f'(x)+CC.f(x)D.f'(x)

4.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

5.A.A.2B.1C.0D.-1

6.函數f(x)=lnz在區(qū)間[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

7.

8.

9.下列關于動載荷的敘述不正確的一項是()。

A.動載荷和靜載荷的本質區(qū)別是前者構件內各點的加速度必須考慮，而后者可忽略不計

B.勻速直線運動時的動荷因數為

C.自由落體沖擊時的動荷因數為

D.增大靜變形是減小沖擊載荷的主要途徑

10.用待定系數法求微分方程y"-y=xex的一個特解時，特解的形式是(式中α、b是常數)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

11.設函數f(x)=COS2x，則f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

12.A.有一個拐點B.有兩個拐點C.有三個拐點D.無拐點

13.（）。A.充分必要條件B.充分非必要條件C.必要非充分條件D.既非充分也非必要條件

14.

15.

16.f(x)在[a，b]上可導是f(x)在[a，b]上可積的()。

A.充要條件B.充分條件C.必要條件D.無關條件

17.二次積分等于()A.A.

B.

C.

D.

18.設y＝sin2x，則y等于（）．A.A.－cos2xB.cos2xC.－2cos2xD.2cos2x

19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.

23.y=lnx，則dy=__________。

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.設f(x)=e5x，則f(x)的n階導數f(n)(x)=__________．

31.32.為使函數y=arcsin(u＋2)與u=｜x｜-2構成復合函數，則x所屬區(qū)間應為__________．

33.

34.

35.

36.過點M0(1，2，-1)且與平面x-y+3z+1=0垂直的直線方程為_________。

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.

42.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．43.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．44.45.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

46.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

48.49.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．50.求微分方程的通解．51.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

52.證明：53.54.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．55.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．56.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

57.

58.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．59.

60.

四、解答題(10題)61.

62.

63.(本題滿分10分)

64.求直線y=2x+1與直線x=0，x=1和y=0所圍平面圖形的面積，并求該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積。

65.

66.設且f(x)在點x=0處連續(xù)b．

67.

68.

69.求曲線y=x2在(0，1)內的一條切線，使由該切線與x=0、x=1和y=x2所圍圖形的面積最小。

70.

五、高等數學(0題)71.

六、解答題(0題)72.

參考答案

1.B解析：

2.B

3.C

4.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

5.Df(x)為分式，當x=-1時，分母x+1=0，分式沒有意義，因此點

x=-1為f(x)的間斷點，故選D。

6.D由拉格朗日定理

7.A

8.C

9.C

10.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由項f(x)=xex，α=1是特征單根，應設y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以選A。

11.B由復合函數求導法則，可得

故選B．

12.D

13.C

14.A

15.A解析：

16.B∵可導一定連續(xù)，連續(xù)一定可積；反之不一定。∴可導是可積的充分條件

17.A本題考查的知識點為交換二次積分的積分次序．

由所給二次積分限可知積分區(qū)域D的不等式表達式為：

0≤x≤1，0≤y≤1-x，

其圖形如圖1-1所示．

交換積分次序，D可以表示為

0≤y≤1，0≤x≤1-y，

因此

可知應選A．

18.D本題考查的知識點為復合函數求導數的鏈式法則．

19.D

20.C21.本題考查的知識點為冪級數的收斂區(qū)間。由于所給級數為不缺項情形，

22.y=f(0)

23.(1/x)dx

24.6x26x2

解析：

25.y=lnx+Cy=lnx+C解析：

26.

27.

28.

29.arctanx+C

30.31.2．

本題考查的知識點為極限的運算．

能利用洛必達法則求解．

如果計算極限，應該先判定其類型，再選擇計算方法．當所求極限為分式時：

若分子與分母的極限都存在，且分母的極限不為零，則可以利用極限的商的運算法則求極限．

若分子與分母的極限都存在，但是分子的極限不為零，而分母的極限為零，則所求極限為無窮大量．

檢查是否滿足洛必達法則的其他條件，是否可以進行等價無窮小量代換，所求極限的分子或分母是否有非零因子，可以單獨進行極限運算等．32.[-1，1

33.e1/2e1/2

解析：

34.x/1=y/2=z/-1

35.

36.

37.

38.

解析：

39.ee解析：

40.41.由一階線性微分方程通解公式有

42.函數的定義域為

注意

43.

44.45.由等價無窮小量的定義可知

46.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

47.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

列表：

說明

55.由二重積分物理意義知

56.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

57.

58.

59.

則

60.

61.

62.

63.本