2023年中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破——圓的綜合題1.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O為△ABC的外接圓．(1)如圖1，求證：AD是⊙O的切線；(2)如圖2，CD交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AG⊥BE，垂足為F，交BC于點(diǎn)G．①求證：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的長．2.給出如下定義：對于的弦和外一點(diǎn)（，，三點(diǎn)不共線，且，在直線的異側(cè)），當(dāng)時(shí)，則稱點(diǎn)是線段關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．圖1是點(diǎn)為線段關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的示意圖．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2．(1)如圖2，，．在，，，三點(diǎn)中，是線段關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的是；(2)如圖3，，，點(diǎn)是線段關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．①的大小為；②在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)是線段關(guān)于點(diǎn)的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；③點(diǎn)在直線上，當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．3.如圖，在的內(nèi)接四邊形中，是它的對角線，的中點(diǎn)是的內(nèi)心．(1)當(dāng)，重合時(shí)，直接寫出，的位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系,直接判斷四邊形的形狀．(2)找出所有與線段相等的線段，并說明理由．(3)求，的面積之比．(4)若，設(shè)為，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式．4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在軸的正半軸上，且，以點(diǎn)為圓心，1為半徑畫，與軸交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的下方），點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個動點(diǎn)，從點(diǎn)開始以5度/秒的速度沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動一周，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．(1)如圖1，連接，當(dāng)時(shí)，求t的值；(2)如圖2，點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，連接，以為邊在左側(cè)作等邊，①當(dāng)秒時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②連接，當(dāng)最大時(shí)，求此時(shí)t的值和這個最大值．5.如圖1，是半圓O的直徑，是一條弦，的平分線交半圓O于點(diǎn)D．交于點(diǎn)G，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)過作的切線交延長線于點(diǎn)，如圖2，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，求的值；(3)圖1中，若，，求的長．6.如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在⊙O上，且PA=PB，點(diǎn)M是⊙O外一點(diǎn)，MB與⊙O相切于點(diǎn)B，連接OM，過點(diǎn)A作AC∥OM交⊙O于點(diǎn)C，連接BC交OM于點(diǎn)D．（1）填空：OD=AC；求證：MC是⊙O的切線；（2）若OD=9，DM=16，連接PC，求sin∠APC的值；（3）如圖2，在（2）的條件下，延長OB至N，使BN=，在⊙O上找一點(diǎn)Q，使得的值最小，請直接寫出其最小值為．7.如圖1，在平面內(nèi)點(diǎn)A，B，P，滿足，若，則稱點(diǎn)P，B是點(diǎn)A的直角等腰點(diǎn)；若，則稱點(diǎn)P，B是點(diǎn)A的銳角等腰點(diǎn)．（1）如圖2的網(wǎng)格中，A，B為格點(diǎn)，在圖中分別畫出格點(diǎn)P，使得點(diǎn)P，B是點(diǎn)A的直角等腰點(diǎn)或銳角等腰點(diǎn)．（2）如圖3在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在該直線：上點(diǎn)D在x軸上，半徑為3的⊙D與x軸交于點(diǎn)C（在點(diǎn)D的左邊）．①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，若點(diǎn)P，C是原點(diǎn)O的銳角等腰點(diǎn)，求P的坐標(biāo)．②若時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)A的右邊，點(diǎn)E在⊙D上，在直線l上恰好存在三個點(diǎn)P，使得點(diǎn)P，E是點(diǎn)C的直角等腰點(diǎn)，求P的縱坐標(biāo)．8.如圖，在中，，的垂直平分線分別與，及的延長線相交于點(diǎn)，，．是的外接圓，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求證：；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值．9.已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作⊙O的切線交CB的延長線于點(diǎn)P，且∠PAB=45°．（1）如圖1，求∠ACB的度數(shù)；（2）如圖2，AD是⊙O的直徑，AD交BC于點(diǎn)E，連接CD，求證：ACCD；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)BC4CD時(shí)，點(diǎn)F，G分別在AP，AB上，連接BF，F(xiàn)G，∠BFG=∠P，且BF=FG，若AE=15，求FG的長．10.如圖，點(diǎn)A和動點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4，過點(diǎn)C作直線m⊥l，過點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線CD上取點(diǎn)F，使DF＝，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ＝3x．(1)用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ＝，DF＝．(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作直線BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為2，求AP的長．11.〖特例感知〗（1）如圖（1），是的圓周角，BC為直徑，BD平分交于點(diǎn)D，，，求點(diǎn)D到直線AB的距離．〖類比遷移〗（2）如圖（2），是的圓周角，BC為的弦，BD平分交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，探索線段AB，BE，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．〖問題解決〗（3）如圖（3），四邊形ABCD為的內(nèi)接四邊形，，BD平分，，，求的內(nèi)心與外心之間的距離．12.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)E，弦CF⊥BD于點(diǎn)G，連結(jié)AG，且滿足∠1＝∠2．（1）求證：四邊形AGCD為平行四邊形．（2）設(shè)tanF＝x，tan∠3＝y(tǒng)，①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．②已知⊙O的直徑為2，y＝，點(diǎn)H是邊CF上一動點(diǎn)，若AF恰好與△DHE的某一邊平行時(shí)，求CH的長．③連結(jié)OG，若OG平分∠DGF，則x的值為．13.如圖1，為銳角三角形的外接圓，點(diǎn)D在上，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，滿足交于點(diǎn)G，，連結(jié)，．設(shè)．(1)用含的代數(shù)式表示．(2)求證：．(3)如圖2，為的直徑．①當(dāng)?shù)拈L為2時(shí)，求的長．②當(dāng)時(shí)，求的值．14.綜合實(shí)踐：在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，第一小組同學(xué)展示了如下的操作及問題：如圖1，同學(xué)們先畫出半徑為的，將圓形紙片沿著弦折疊，使對折后劣弧恰好過圓心，同學(xué)們用尺子度量折痕的長約為，并且同學(xué)們用學(xué)過的知識驗(yàn)證度量的結(jié)果是正確的．驗(yàn)證如下：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長交虛線劣弧于點(diǎn)，∴，由折疊知，，連接，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∴，通過計(jì)算：，同學(xué)們用尺子度量折痕的長約為是正確的．請同學(xué)們進(jìn)一步研究以下問題：(1)如圖2，的半徑為，為的弦，，垂足為點(diǎn)，劣弧沿弦折疊后經(jīng)過的中點(diǎn)，求弦的長（結(jié)果保留根號）；(2)如圖3，在中劣弧沿弦折疊后與直徑相交于點(diǎn)，若，，求弦的長（結(jié)果保留根號）．15.如圖，AB是⊙O的直徑，