2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試一、選擇題〔每題6分,總分值36分〕刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,……中的所有完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列．這個(gè)新數(shù)列的第2003項(xiàng)是(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049設(shè)a,bR,ab≠0，那么，直線axy+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是OxOxyxyOxyOxyO過拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)F作傾斜角為60的直線．假設(shè)此直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，弦AB的中垂線與x軸交于P點(diǎn)，那么線段PF的長等于(A)(B)(C)(D)8假設(shè)x[,]，那么y=tan(x+)tan(x+)+cos(x+)的最大值是(A)(B)(C)(D)x,y都在區(qū)間(2,2)內(nèi)，且xy＝1，那么函數(shù)u=+的最小值是(A)(B)(C)(D)在四面體ABCD中，設(shè)AB=1，CD=，直線AB與CD的距離為2，夾角為，那么四面體ABCD的體積等于(A)(B)(C)(D)二、填空題(每題9分,總分值54分)不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________.設(shè)F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的點(diǎn)，且|PF1|:|PF2|=2:1，那么△PF1F2的面積等于__________.A={x|x24x+3＜0,xR},B={x|≤0,x22(a+7)x+5≤0,xR}．假設(shè)AB,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________.a,b,c,d均為正整數(shù)，且logab=,logcd=，假設(shè)ac=9,那么bd=________.將八個(gè)半徑都為1的球分兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，那么此圓柱的高等于________.設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.|ai只取0或1(i=1,2,…,n1)，an=1}，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，那么=_______.三、解答題(每題20分，總分值60分),證設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù),,對(duì)應(yīng)的不共線三點(diǎn)。證：曲線與中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn)。一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點(diǎn)A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合。第二試一、過圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為A、B，所作割線交圓于C、D兩點(diǎn)，C在P、D之間，在弦CD上取一點(diǎn)Q，使。求證：二、設(shè)三角形的三邊長分別是整數(shù)且,，其中，求這種三角形周長的最小值。三、由n個(gè)點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的條連線段組成一個(gè)空間圖形，其中，，此圖中任四點(diǎn)不共面，每點(diǎn)至少有一條連線段，存在一點(diǎn)至少有q+2條連線段。證明：圖中必存在一個(gè)空間四邊形〔即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA組成的圖形〕。2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試參考答案一、選擇題123456CBACDB提示：注意到,,故;題設(shè)方程可化為和,觀察圖形可知；易知直線AB的方程為,因此A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程,從而弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo),進(jìn)而求得中垂線方程之后，令y=0，得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即PF=；原函數(shù)可化為,可以證明函數(shù)在的區(qū)間上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，y取最大值;消去y之后可得：,用根本不等式可求得函數(shù)u的最小值;可用等積法求得，過程略。二、填空題7..提示：原不等式可以化為:8.4是直角三角形，故的面積為;9.提示：,令,,那么只需在〔1，3〕上的圖象均在x軸的下方，其充要條件是,由此推出;10．93提示：由得,,又，故,推得,;11．提示：如圖，上下層的四個(gè)球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分別是上下兩個(gè)邊長為2的正方形的頂點(diǎn)，且以它們的外接圓為上下底面構(gòu)成圓柱，同時(shí)A1在底面上的射影M為弧AB的中點(diǎn)。由于A1A=A1B=AB=2,,,求得,故所求的高為；提示：,三、解答題13．證明：由可得當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時(shí)取等號(hào)……5分那么……………………15分因?yàn)椴荒芡瑫r(shí)相等，所以……20分14．設(shè),那么代入并由復(fù)數(shù)相等可得即因?yàn)锳,B,C不共線，所以,可見所給曲線是拋物線段〔圖略〕…………5分AB,BC的中點(diǎn)分別是,；所以DE的方程為……………10分聯(lián)立兩式得,得,注意到,所以拋物線與中平行于AC的中位線DE有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此點(diǎn)的坐標(biāo)為,相應(yīng)的復(fù)數(shù)為…………15分15．如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè),MN為AA1的中垂線，設(shè)P〔x,y〕是MN上任一點(diǎn)，那么|PA|=|PA1|……5分代入推得………10分可得其中,.所以…………15分平方后可化為所求點(diǎn)的集合為橢圓外〔含邊界〕局部?！?0分2003年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試解答1、證明∵、、、四點(diǎn)共圓，∴，由，∴，而是△的一個(gè)外角，，∴．故、、、四點(diǎn)共圓，從而．所以．命題得證．2、解∵，∴〔〕．考慮最小的正整數(shù)，使之滿足〔