函數(shù)的單調(diào)性

2023/1/17.y=x2

從圖象可以看到：圖象在y軸的右側(cè)部分是上升的，也就是說，當(dāng)x在區(qū)間[0，+）上取值時(shí)，隨著x的增大，相應(yīng)的y值也增大，即如果取x1，x2[0，+），得到y(tǒng)1=f(x1)，y2=f(x2),那么當(dāng)x1<

x2時(shí)有y1<

y2。這時(shí)我們就說函數(shù)y=x2在[0，+）上是增函數(shù)。圖象在y軸的左側(cè)部分是下降的，也就是說，當(dāng)x在區(qū)間（-，0）上取值時(shí)，隨著x的增大，相應(yīng)的y值反而隨著減小，即如果取x1，x2（-，0），得到y(tǒng)1=f(x1)，y2=f(x2),那么當(dāng)x1<

x2時(shí)有y1>

y2。這時(shí)我們就說函數(shù)y=x2在（-，0）上是減函數(shù)。x1x2y1y2x2x1y2y12023/1/17.y=x3

2023/1/17.如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<

x2

時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)x1x2y=f(x)f(x1)f(x2)2023/1/17.如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)y=f(x)f(x1)f(x2)x1x22023/1/17.如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間中做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。2023/1/17.例1：下圖是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)。解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中y=f(x)在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2，1)，[3，5]上是增函數(shù)。y=f(x)2023/1/17.例2：證明函數(shù)f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)。證明：設(shè)x1，x2是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<

x2，則f(x1)-f(x2)=（3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2)。由x1<

x2，得x1-

x2<

0，于是f(x1)-f(x2)<

0，即f(x1)<f(x2)所以，f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)。2023/1/17.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：1、設(shè)x1，x2屬于給定區(qū)間2、作差f(x1)--f(x2)并判斷符號(hào)3、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義肯定此命題成立2023/1/17.例3：證明函數(shù)在上是減函數(shù)。2023/1/17.小結(jié)：1.有關(guān)單調(diào)性的定義；2.關(guān)于單調(diào)區(qū)間的概念；3.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法：定義法2023/1/17.練習(xí)1、如圖，已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象（包括端點(diǎn)），根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)。y=f(x),