會計學(xué)1D一般周期的常數(shù)項級數(shù)2023/1/18設(shè)周期為2l

的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理條件,則它的傅里葉展開式為(在f(x)的連續(xù)點處)其中定理.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第1頁/共24頁2023/1/18證明:

令,則令則所以且它滿足收斂定理條件,將它展成傅里葉級數(shù):(在F(z)的連續(xù)點處)變成是以2為周期的周期函數(shù),機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共24頁2023/1/18其中令(在f(x)的連續(xù)點處)證畢機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共24頁2023/1/18說明:其中(在f(x)的連續(xù)點處)如果

f(x)

為偶函數(shù),則有(在f(x)的連續(xù)點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點x處,傅里葉級數(shù)收斂于如果

f(x)為奇函數(shù),則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共24頁2023/1/18例1.

交流電壓經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失,試求半波整流函數(shù)的解:

這個半波整流函數(shù),它在傅里葉級數(shù).上的表達(dá)式為的周期是機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共24頁2023/1/18機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共24頁2023/1/18n>1

時機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共24頁2023/1/18由于半波整流函數(shù)f(t)直流部分說明:交流部分由收收斂定理可得2k

次諧波的振幅為

k越大振幅越小,因此在實際應(yīng)用中展開式取前幾項就足以逼近f(x)了.上述級數(shù)可分解為直流部分與交流部分的和.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共24頁2023/1/18例2.

把展開成(1)正弦級數(shù);(2)余弦級數(shù).解:(1)將f(x)作奇周期延拓,則有在x=2k

處級數(shù)收斂于何值?機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共24頁2023/1/18(2)將作偶周期延拓,則有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共24頁2023/1/18說明:

此式對也成立,由此還可導(dǎo)出據(jù)此有機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共24頁2023/1/18當(dāng)函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,方法1令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共24頁2023/1/18方法2令在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓將代入展開式在即上的正弦或余弦級數(shù)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共24頁2023/1/18例3.

將函數(shù)展成傅里葉級數(shù).解:

令設(shè)將F(z)延拓成周期為10的周期函數(shù),理條件.由于F(z)是奇函數(shù),故則它滿足收斂定機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共24頁2023/1/18利用歐拉公式二、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式設(shè)f(x)是周期為2l的周期函數(shù),則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共24頁2023/1/18注意到同理機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共24頁2023/1/18傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式:因此得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共24頁2023/1/18式的傅里葉級數(shù).例4.

把寬為,高為h,周期為T的矩形波展成復(fù)數(shù)形解:

在一個周期它的復(fù)數(shù)形式的傅里葉系數(shù)為內(nèi)矩形波的函數(shù)表達(dá)式為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共24頁2023/1/18機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共24頁2023/1/18為正弦級數(shù).內(nèi)容小結(jié)1.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點)其中當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時,(偶)(余弦)2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式利用歐拉公式導(dǎo)出機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共24頁2023/1/18思考與練習(xí)1.將函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)時為什么最好先畫出其圖形?答:

易看出奇偶性及間斷點,2.計算傅里葉系數(shù)時哪些系數(shù)要單獨算?答:

用系數(shù)公式計算如分母中出現(xiàn)因子n－k作業(yè):

P2561(1),(3);2(2);3

從而便于計算系數(shù)和寫出收斂域.必須單獨計算.習(xí)題課目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共24頁2023/1/18備用題期的傅立葉級數(shù),并由此求級數(shù)(91考研)

解: