會(huì)計(jì)學(xué)1D泰勒高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第六上冊(cè)1.求

n

次近似多項(xiàng)式要求:故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令則第1頁(yè)/共29頁(yè)2.余項(xiàng)估計(jì)令(稱為余項(xiàng)),則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第2頁(yè)/共29頁(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共29頁(yè)公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)

.泰勒中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)泰勒目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共29頁(yè)公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項(xiàng)

.在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫為注意到③④*

可以證明:④式成立機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)/共29頁(yè)特例:(1)當(dāng)n=0

時(shí),泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時(shí),泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第6頁(yè)/共29頁(yè)稱為麥克勞林（Maclaurin

）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由此得近似公式第7頁(yè)/共29頁(yè)二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第8頁(yè)/共29頁(yè)其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第9頁(yè)/共29頁(yè)類似可得其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)/共29頁(yè)其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共29頁(yè)已知其中類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第12頁(yè)/共29頁(yè)三、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用誤差M

為在包含0,x

的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)

n

和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)

n和誤差限,確定公式中x

的適用范圍.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共29頁(yè)已知例1.

計(jì)算無理數(shù)e

的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計(jì)算可知當(dāng)n=9

時(shí)上式成立,因此的麥克勞林公式為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共29頁(yè)說明:注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.本例若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后6位,則各項(xiàng)舍入誤差之和不超過總誤差為這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共29頁(yè)例2.

用近似公式計(jì)算cosx

的近似值,使其精確到0.005,試確定x

的適用范圍.解:近似公式的誤差令解得即當(dāng)時(shí),由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到0.005.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)/共29頁(yè)2.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第17頁(yè)/共29頁(yè)3.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第18頁(yè)/共29頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第19頁(yè)/共29頁(yè)2.常用函數(shù)的麥克勞林公式

(P140~P142)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù),例如目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第20頁(yè)/共29頁(yè)42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第21頁(yè)/共29頁(yè)42246420246泰勒多項(xiàng)式逼近機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第22頁(yè)/共29頁(yè)思考與練習(xí)

計(jì)算解:原式第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P1431;4;5;7;8;10(1),(2)第23頁(yè)/共29頁(yè)泰勒

(1685–1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.第24頁(yè)/共29頁(yè)麥克勞林(1698–1746)英國(guó)數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級(jí)數(shù).第25頁(yè)/共29頁(yè)由題設(shè)對(duì)證:備用題

1.有且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第26頁(yè)/共29頁(yè)下式減上式,得令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第27頁(yè)/共29頁(yè)兩邊同乘n!=整數(shù)+假設(shè)e

為有理數(shù)(p,q

為正整數(shù)),