會(huì)計(jì)學(xué)1本構(gòu)方程及NS方程流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的分析分析流場(chǎng)中任意流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)是研究整個(gè)流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。流體運(yùn)動(dòng)要比剛體運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多，流體微團(tuán)基本運(yùn)動(dòng)形式有平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線(xiàn)變形和角變形運(yùn)動(dòng)等。實(shí)際運(yùn)動(dòng)也可能遇到只有其中的某幾種形式所組成。當(dāng)流體微團(tuán)無(wú)限小而變成質(zhì)點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)也是由平動(dòng)、線(xiàn)變形、角變形及旋轉(zhuǎn)四種基本形式所組成。第1頁(yè)/共71頁(yè)平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線(xiàn)變形運(yùn)動(dòng)和角變形運(yùn)動(dòng)右圖為任意t時(shí)刻在平面流場(chǎng)中所取的一個(gè)正方形流體微團(tuán)。由于流體微團(tuán)上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度不一致，經(jīng)過(guò)微小的時(shí)間間隔后，該流體微團(tuán)的形狀和大小會(huì)發(fā)生變化，變成了斜四邊形。第2頁(yè)/共71頁(yè)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式與微團(tuán)內(nèi)各點(diǎn)速度的變化有關(guān)。設(shè)方形流體微團(tuán)中心M的流速分量為ux

和uy

，則微團(tuán)各側(cè)邊的中點(diǎn)A、B、C、D的流速分量分別為：微團(tuán)上每一點(diǎn)的速度都包含中心點(diǎn)的速度以及由于坐標(biāo)位置不同所引起的速度增量?jī)蓚€(gè)組成部分。第3頁(yè)/共71頁(yè)平移運(yùn)動(dòng)速度微團(tuán)上各點(diǎn)公有的分速度ux

和uy

，使它們?cè)赿t時(shí)間內(nèi)均沿x方向移動(dòng)一距離uxdt,沿y方向移動(dòng)一距離uydt。因而，把中心點(diǎn)M的速度

ux和uy

，定義為流體微團(tuán)的平移運(yùn)動(dòng)速度。線(xiàn)變形運(yùn)動(dòng)微團(tuán)左、右兩側(cè)的A點(diǎn)和C點(diǎn)沿x方向的速度差為，當(dāng)這速度差值為正時(shí)，微團(tuán)沿x方向發(fā)生伸長(zhǎng)變形；當(dāng)它為負(fù)時(shí)，微團(tuán)沿x方向發(fā)生縮短變形。線(xiàn)變形速度單位時(shí)間，單位長(zhǎng)度的線(xiàn)變形稱(chēng)為線(xiàn)變形速度。流體微團(tuán)沿x方向的線(xiàn)變形速度：第4頁(yè)/共71頁(yè)旋轉(zhuǎn)角速度把對(duì)角線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)角速度定義為整個(gè)流體微團(tuán)在平面上的旋轉(zhuǎn)角速度。

；；

角變形速度：直角邊AMC（或BMD）與對(duì)角線(xiàn)EMF的夾角的變形速度第5頁(yè)/共71頁(yè)亥姆霍茲速度分解定理整理推廣得第6頁(yè)/共71頁(yè)微元體及其表面的質(zhì)量通量微元體內(nèi)的質(zhì)量變化率輸入微元體的質(zhì)量流量質(zhì)量守恒直角坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程－輸出微元體的質(zhì)量流量＝y(tǒng)

xz

dzdxdy不可壓縮流體連續(xù)性微分方程第7頁(yè)/共71頁(yè)1、x方向：dt時(shí)間內(nèi)沿從六面體x處與x+dx處輸入與輸出的質(zhì)量差：Y方向：

；Z方向：2、dt時(shí)間內(nèi)，整個(gè)六面體內(nèi)輸入與輸出的質(zhì)量差：第8頁(yè)/共71頁(yè)3、微元體內(nèi)的質(zhì)量變化：從而有：或：連續(xù)性方程連續(xù)方程物理意義：流體在單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)單位體積空間輸出與輸入的質(zhì)量差與其內(nèi)部質(zhì)量變化的代數(shù)和為零。矢量形式：（適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體）第9頁(yè)/共71頁(yè)上式表明，對(duì)于不可壓縮液體，單位時(shí)間單位體積空間內(nèi)流入與流出的液體體積之差等于零，即液體體積守恒。適用范圍：恒定流或非恒定流；理想液體或?qū)嶋H液體。連續(xù)性方程是流體流動(dòng)微分方程最基本的方程之一。任何流體的連續(xù)運(yùn)動(dòng)均必須滿(mǎn)足。一維流動(dòng)的連續(xù)方程若流體不可壓縮：第10頁(yè)/共71頁(yè)理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程

理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程式是研究流體運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)?？梢杂门ｎD第二定律加以推導(dǎo)。

受力分析：1、質(zhì)量力：2、表面力：fxρdxdydz切向應(yīng)力＝0（理想流體）法向應(yīng)力＝壓強(qiáng)x軸正方向x軸正方向x軸負(fù)方向第11頁(yè)/共71頁(yè)理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程根據(jù)牛頓第二定律得x軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程即歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程第12頁(yè)/共71頁(yè)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程

以流體微元為分析對(duì)象，流體的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為如下的矢量形式：

這里：

是流體微團(tuán)的加速度，微分符號(hào)：

稱(chēng)為物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或隨體導(dǎo)數(shù)，它表示流體微團(tuán)的某性質(zhì)時(shí)間的變化率。

(1)(2)(3)第13頁(yè)/共71頁(yè)應(yīng)力狀態(tài)及切應(yīng)力互等定律yxz微元體上X和Z方向的表面力粘性流場(chǎng)中任意一點(diǎn)的應(yīng)力有9個(gè)分量，包括3個(gè)正應(yīng)力分量和6個(gè)切應(yīng)力分量：應(yīng)力狀態(tài)：切應(yīng)力互等定律在6個(gè)切應(yīng)力分量中，互換下標(biāo)的每一對(duì)切應(yīng)力是相等的。第14頁(yè)/共71頁(yè)微元體表面力的總力分量X方向的表面力：Y方向的表面力：Z方向的表面力：第15頁(yè)/共71頁(yè)動(dòng)量流量及動(dòng)量變化率y

xz

dzdxdy動(dòng)量在微元體表面的輸入與輸出動(dòng)量流量

動(dòng)量通量動(dòng)量流量x流通面積＝圖中標(biāo)注的是動(dòng)量的輸入或輸出方向，而動(dòng)量或其通量本身的方向均指向x方向，即分速度vx的方向。第16頁(yè)/共71頁(yè)x方向：輸入輸出微元體的動(dòng)量流量y方向：z方向：微元體內(nèi)的動(dòng)量變化率x方向：y方向：z方向：流體的瞬時(shí)質(zhì)量為X方向的瞬時(shí)動(dòng)量為第17頁(yè)/共71頁(yè)x方向的運(yùn)動(dòng)方程：以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程y方向的運(yùn)動(dòng)方程：z方向的運(yùn)動(dòng)方程：注：上式就是以應(yīng)力表示的粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程，適用于層流、湍流、牛頓、非牛頓流體。第18頁(yè)/共71頁(yè)方程的物理意義：方程左邊是：任意時(shí)刻t通過(guò)考察點(diǎn)A的流體質(zhì)點(diǎn)加速度的三個(gè)分量；方程右邊是：作用在單位體積流體上的表面力和體積力在各坐標(biāo)上的分量。方程可簡(jiǎn)略表示成：這就是以單位體積的流體質(zhì)量為基準(zhǔn)的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律第19頁(yè)/共71頁(yè)粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程，需補(bǔ)充方程才能求解。Navier－Stokes方程對(duì)一維流動(dòng)問(wèn)題：補(bǔ)充方程：牛頓剪切定律對(duì)粘性流體流動(dòng)問(wèn)題：補(bǔ)充方程：廣義的牛頓剪切定律即：牛頓流體本構(gòu)方程目的將應(yīng)力從運(yùn)動(dòng)方程中消去，得到由速度分量和壓力表示的粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程，即N-S方程。關(guān)鍵：尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系第20頁(yè)/共71頁(yè)牛頓流體的本構(gòu)方程引入的基本假設(shè)：為了尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，Stokes提出三個(gè)基本假設(shè)：應(yīng)力與變形速率成線(xiàn)性關(guān)系;應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系各向同性；靜止流場(chǎng)中，切應(yīng)力為零，各正應(yīng)力均等于靜壓力第21頁(yè)/共71頁(yè)牛頓流體的本構(gòu)方程：第22頁(yè)/共71頁(yè)本構(gòu)方程的討論：正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力：流體正應(yīng)力與三個(gè)速度偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)(即:線(xiàn)變形率)，同固體力學(xué)中的虎克定律。線(xiàn)變形率與流體流動(dòng)：從流體流動(dòng)角度看，線(xiàn)變形率的正負(fù)反映了流體的流動(dòng)是加速還是減速；體變形率的正負(fù)反映了流動(dòng)過(guò)程中流體體積是增加還是減少。正應(yīng)力與線(xiàn)變形速率：附加粘性正應(yīng)力附加粘性正應(yīng)力的產(chǎn)生是速度沿流動(dòng)方向的變化所導(dǎo)致的。第23頁(yè)/共71頁(yè)正應(yīng)力與壓力：由于粘性正應(yīng)力的存在，流動(dòng)流體的壓力在數(shù)值上一般不等于正應(yīng)力值。但有：這說(shuō)明：三個(gè)正壓力在數(shù)值上一般不等于壓力，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等。切應(yīng)力與角邊形率：流體切應(yīng)力與角變形率相關(guān)。牛頓流體本構(gòu)方程反映了流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，是流體力學(xué)的虎克定律（反映應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系）。第24頁(yè)/共71頁(yè)流體運(yùn)動(dòng)微分方程——Navier－Stokes方程適用于牛頓流體第25頁(yè)/共71頁(yè)常見(jiàn)條件下N－S方程的表達(dá)形式：適用于牛頓流體常粘度條件下N－S方程：矢量形式：第26頁(yè)/共71頁(yè)適用于牛頓流體不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：第27頁(yè)/共71頁(yè)常粘度條件下不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：非定常項(xiàng)定常流動(dòng)為0靜止流場(chǎng)為0對(duì)流項(xiàng)靜止流場(chǎng)為0蠕變流時(shí)≈0單位質(zhì)量流體的體積力單位質(zhì)量流體的壓力差擴(kuò)散項(xiàng)（粘性力項(xiàng)）對(duì)靜止或理想流體為0高速非邊界層問(wèn)題≈0第28頁(yè)/共71頁(yè)流動(dòng)微分方程的應(yīng)用求解步驟根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)對(duì)一般形式的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，獲得針對(duì)具體問(wèn)題的微分方程或方程組。提出相關(guān)的初始條件和邊界條件。

初始條件：非穩(wěn)態(tài)問(wèn)題邊界條件固壁－流體邊界：流體具有粘性，在與壁面接觸處流體速度為零。液體－氣體邊界：對(duì)非高速流，氣液界面上，液相速度梯度為零。液體－液體邊界：液液界面兩側(cè)的速度或切應(yīng)力相等。第29頁(yè)/共71頁(yè)廣義牛頓粘性應(yīng)力公式粘性流體動(dòng)力學(xué)基本方程一、應(yīng)力張量分析二、變形速率張量三、本構(gòu)方程四、連續(xù)方程六、能量方程五、運(yùn)動(dòng)方程七、方程組的封閉性第30頁(yè)/共71頁(yè)廣義牛頓粘性應(yīng)力公式在流體作直線(xiàn)層流運(yùn)動(dòng)的條件下，我們可以直接由試驗(yàn)得到切應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系式。在流體作非直線(xiàn)層流運(yùn)動(dòng)的條件下，并不能直接由試驗(yàn)給出應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)系式。為了得到這樣的關(guān)系式，必須對(duì)粘性流體中的應(yīng)力性質(zhì)作仔細(xì)的分析。第31頁(yè)/共71頁(yè)一、應(yīng)力張量分析運(yùn)動(dòng)流體中任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可以由九個(gè)分量來(lái)表示，這九個(gè)應(yīng)力分量組成一個(gè)二階對(duì)稱(chēng)張量分別為與坐標(biāo)軸x，y，z相垂直的平面上的應(yīng)力

第32頁(yè)/共71頁(yè)任意平面上的應(yīng)力可表示為+n為任意平面的法向單位向量

第33頁(yè)/共71頁(yè)為便于書(shū)寫(xiě)，我們規(guī)定：分別用e1、e2、e3代替i、j、k，帶有下標(biāo)的量的下標(biāo)分別用i=1，2，3代替x,y,z。并且遵循愛(ài)因斯坦符號(hào)算法規(guī)則：一項(xiàng)中下標(biāo)符號(hào)重復(fù)的量，表示此項(xiàng)是變換下標(biāo)后的各項(xiàng)相加。例如：

第34頁(yè)/共71頁(yè)在靜止流體中或理想流體中，過(guò)一點(diǎn)的任意平面的法向應(yīng)力的方向，都與該平面的單位法線(xiàn)向量n的方向相反，且法向應(yīng)力的數(shù)值p與n無(wú)關(guān)，即式中，p只是坐標(biāo)位置及時(shí)間的函數(shù)p=p(x,y,z,t)。這個(gè)壓力就是經(jīng)典熱力學(xué)平衡態(tài)意義上的壓力。在粘性流體動(dòng)力學(xué)中，流體質(zhì)點(diǎn)的物理量都處在變化過(guò)程中，過(guò)一點(diǎn)的不同平面上的法向應(yīng)力的數(shù)值并不一定相同。因此，嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，并不存在平衡態(tài)意義上的壓力。但我們可以定義一平均意義上的壓力Pm,，它是球形流體微團(tuán)(也可取任意形狀的流體微團(tuán)，結(jié)果相同)表面所承受的法向應(yīng)力Pnn的平均值的負(fù)值，即第35頁(yè)/共71頁(yè)式中a為球形微團(tuán)的半徑。球面上的法向應(yīng)力和球面微元面積分別可寫(xiě)成第36頁(yè)/共71頁(yè)于是此式右側(cè)包括9項(xiàng)，分別積分之，最后得即第37頁(yè)/共71頁(yè)由此可見(jiàn)，流場(chǎng)中任意一點(diǎn)的平均壓力pm，等于過(guò)此點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)面上的法向應(yīng)力p11,p22,p33的算術(shù)平均值的負(fù)值。平均壓力偏量:平均壓力與平衡態(tài)壓力之差pm-p。現(xiàn)在讓我們把從應(yīng)力張量pm中分離出來(lái)。為此，令即為單位二階張量；D稱(chēng)作偏應(yīng)力張量。第38頁(yè)/共71頁(yè)上式可寫(xiě)成分量形式式中為偏應(yīng)力張量的分量；為單位二階張量的分量

因此應(yīng)力張量又可寫(xiě)成第39頁(yè)/共71頁(yè)二、變形速率張量我們?cè)?jīng)得到描寫(xiě)流體變形速率的9個(gè)分量，由這9個(gè)分量可以組成一個(gè)描寫(xiě)變形速率的二階對(duì)稱(chēng)張量E式中因此變形速率張量E可表示為式中第40頁(yè)/共71頁(yè)過(guò)一點(diǎn)的任意平面上的變形速率可寫(xiě)成式中第41頁(yè)/共71頁(yè)三、應(yīng)力張量與變形速率張量的關(guān)系斯托克斯根據(jù)牛頓粘性公式提出了關(guān)于應(yīng)力與變形速率之間的一般關(guān)系的三條假定：

(1)應(yīng)力與變形速率成線(xiàn)性關(guān)系；

(2)應(yīng)力與變形速率的關(guān)系在流體中各向同性；

(3)在靜止流體中,切應(yīng)力為零，正應(yīng)力的數(shù)值為靜壓力p。根據(jù)這三條假定,不難給出應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式。我們將分兩步討論：

第一步，建立偏應(yīng)力張量D與變形速率E之間的關(guān)系； 第二步，建立平均壓力偏量與變形速率E之間的關(guān)系。

第42頁(yè)/共71頁(yè)(一)偏應(yīng)力張量D與變形速率張量E之間的關(guān)系根據(jù)斯托克斯的第(1)、(2)條假定，偏應(yīng)力張量與變形速率張量之間的關(guān)系可寫(xiě)成或式中系數(shù)a，b可以是坐標(biāo)位置的函數(shù)，但由于假定各向同性，因此它們與作用面的方向無(wú)關(guān)。將該式用于牛頓平板試驗(yàn)，上式可寫(xiě)成對(duì)比牛頓粘性應(yīng)力公式可以確定系數(shù)第43頁(yè)/共71頁(yè)于是系數(shù)b可以應(yīng)用平均壓力pm的性質(zhì)來(lái)確定。

第44頁(yè)/共71頁(yè)將此三式相加可得而由定義故上式左側(cè)為零于是由得從而或?qū)懗傻?5頁(yè)/共71頁(yè)（二）平均壓力偏量與變形速率之間得關(guān)系我們?cè)赋?，?yán)格說(shuō)來(lái)，在粘性流體動(dòng)力學(xué)中并不存在平衡態(tài)壓力，而是人為定義的平均壓力。平均壓力與平衡態(tài)壓力是又差別的，這個(gè)差別反映了由于速度場(chǎng)的不均勻所造成的流體質(zhì)點(diǎn)得狀態(tài)對(duì)于平衡態(tài)得偏離。利用斯托克斯假定可以確定平均應(yīng)力偏量與變形速率之間的關(guān)系。由于斯托克斯的第（1），（2）條假定，可以給出下列線(xiàn)性關(guān)系式中g(shù),c為系數(shù)，它們可以是坐標(biāo)的函數(shù)，但由于假定各向同性，因此它們與平均壓力偏量的作用面的方向無(wú)關(guān)。第46頁(yè)/共71頁(yè)利用斯托克斯的第三條假定，可以確定系數(shù)c。在靜止流體中，代入上述關(guān)系式可得c=0令則上式可寫(xiě)成于是或或通常稱(chēng)為第二粘性系數(shù)，或體變形粘性系數(shù)

第47頁(yè)/共71頁(yè)(三)應(yīng)力張量與變形速率張量的一般關(guān)系式將式(12—18)、(12—22)代入式(12—10)可得應(yīng)力與變形速率的一般關(guān)系式或?qū)懗纱耸椒Q(chēng)作廣義牛頓粘性應(yīng)力公式。第48頁(yè)/共71頁(yè)(四)討論(1)應(yīng)力與變形速率成線(xiàn)性關(guān)系的假定，對(duì)于大多數(shù)真實(shí)流動(dòng)來(lái)說(shuō)是與實(shí)際相符的。但是在像激波層這樣的區(qū)域中，應(yīng)力與變形速率成線(xiàn)性關(guān)系的假定是不符合實(shí)際的，此時(shí)廣義牛頓粘性應(yīng)力公式不再適用。(2)應(yīng)力與變形速率關(guān)系在流體中各向同性是建立在流體分子結(jié)構(gòu)各向同性的前提之下的。對(duì)于絕大多數(shù)的流體來(lái)說(shuō)，這個(gè)前提能夠得到滿(mǎn)足。但是對(duì)于長(zhǎng)分子結(jié)構(gòu)的流體，就不再具有各向同性的性質(zhì)，因此廣義牛頓粘性應(yīng)力公式不再適用。第49頁(yè)/共71頁(yè)(3)由關(guān)系式可見(jiàn)，平均壓力偏量pm-p取決于。對(duì)于不可壓縮流體，由于，因此pm=p，即平均壓力等于平衡態(tài)壓力。但是應(yīng)當(dāng)注意，平均壓力仍然是法向應(yīng)力的平均值的負(fù)值，而并不是pm、p11、p22、p33這四個(gè)值相等。對(duì)于靜止流體，由于變形速率為零，因此pm=p，此時(shí)第50頁(yè)/共71頁(yè)對(duì)于可壓縮流體，在一般情況下，與p相比往往是小量。因此，斯托克斯又假定于是，實(shí)際上．對(duì)絕大多數(shù)氣體和液體的真實(shí)流動(dòng)都可以認(rèn)為但是在像激波層這樣的區(qū)域中，由于與p相比可能是同量級(jí)的．這時(shí)候就不能再假定因此也就不能認(rèn)為p=pm第51頁(yè)/共71頁(yè)（4）第二粘性系數(shù)只可能是正值。在的條件下，平衡態(tài)壓力總是大于平均壓力的結(jié)論，即p>pm首先對(duì)式上式兩側(cè)乘以，則可得

單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體所作的實(shí)際膨脹功單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體在平衡態(tài)條件下所作的可逆膨脹功單位時(shí)間內(nèi)單位質(zhì)量流體所作的體積變化的耗散功第52頁(yè)/共71頁(yè)粘性流體動(dòng)力學(xué)基本方程一、連續(xù)方程式與應(yīng)力無(wú)關(guān)，因此它的形式不變二、運(yùn)動(dòng)方程,一般形式的運(yùn)動(dòng)方程如下為作用在單位質(zhì)量流體上的表面力第53頁(yè)/共71頁(yè)利用張量表示法運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成將廣義牛頓粘性應(yīng)力公式代入上式此式又稱(chēng)納維-斯托克斯方程，向量形式為第54頁(yè)/共71頁(yè)各種特殊情況下的NS方程（1）對(duì)于，的流體，N-S方程可以寫(xiě)成式中右側(cè)第四項(xiàng)中的偏微分部分可寫(xiě)稱(chēng)第55頁(yè)/共71頁(yè)于是納維-斯托克斯方程可寫(xiě)成它的向量形式為2）對(duì)于不可壓縮流體，由于向量形式張量形式第56頁(yè)/共71頁(yè)三、能量方程能量方程的一般式為為表面力在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)單位質(zhì)量流體所作的功。為以熱傳導(dǎo)方式傳給單位質(zhì)量流體的熱量。由富里埃定律知第57頁(yè)/共71頁(yè)從分子輸運(yùn)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，熱傳導(dǎo)反映了分子的能量輸運(yùn)，粘性力反映了分子的動(dòng)量輸運(yùn)。若假定分子輸運(yùn)通量(即動(dòng)量或能量)與分子的輸運(yùn)強(qiáng)度(即宏觀(guān)速度梯度或溫度梯度)成正比，并假定概率分布函數(shù)隨空聞與時(shí)間的變化都很小，則由分子運(yùn)動(dòng)論可以直接得到廣義牛頓粘性應(yīng)力公式和富里埃熱傳導(dǎo)定律。將以上兩式代入能量方程可得三種形式的能量方程式：能量，溫度，焓第58頁(yè)/共71頁(yè)四、關(guān)于粘性流體動(dòng)力學(xué)方程組的封閉性

連續(xù)方程式，納維-斯托克斯方程式和能量方程式是研究牛頓流體的粘性流體動(dòng)力學(xué)的基本方程組。在這些方程中，獨(dú)立的未知物理量共包含14個(gè)標(biāo)量函數(shù)，但是基本方程組中只包含5個(gè)獨(dú)立方程，因此這組方程并不封閉。為了使方程組封閉，除必須給出三個(gè)表示流體物性的確切關(guān)系式外，還必須補(bǔ)充6個(gè)獨(dú)立方程。而這些補(bǔ)充的關(guān)系式和方程組只能由其它的條件、假定、或規(guī)律來(lái)提供。第59頁(yè)/共71頁(yè)在通常的流體力學(xué)問(wèn)題中，輻射熱與其它量相比為小量，故可假定在通常的流體力學(xué)問(wèn)題中，質(zhì)量力為重力，即f=g如果能再找到兩個(gè)聯(lián)系熱力學(xué)狀態(tài)參數(shù)的狀態(tài)方程，則可使方程封閉。但是，到目前為止，尚未找到普遍適用的狀態(tài)方程。我們?cè)谶@里只準(zhǔn)備討論一類(lèi)簡(jiǎn)單的流體，即它們?cè)跓釋W(xué)上和熱量上是完全的氣體，即它們滿(mǎn)足第60頁(yè)/共71頁(yè)由以上諸式構(gòu)成了重力場(chǎng)中完全氣體在無(wú)輻射條件下的封閉方程組7個(gè)未知物理量7個(gè)方程，封閉第61頁(yè)/共71頁(yè)常物性不可壓縮流體基本方程式

第62頁(yè)/共71頁(yè)粘性流動(dòng)的邊界條件

由上面幾節(jié)的討論，我們已經(jīng)得到粘性流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的基本方程組。由偏微分方程理論知，任何一個(gè)方程或封閉方程組具有無(wú)數(shù)組可能的解。因此，若要得到完全確定的解，必須給出完全確定的定解條件，