2第二節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及一般審斂法則若定理1

正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.若收斂,則由于則部分和數(shù)列有界,故從而又已知因此它有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).收斂,單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”3定理2(比較審斂法)設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),且存在對(duì)一切有(常數(shù)k>0)(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)證:因?yàn)榧?jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性,因此不妨設(shè)對(duì)一切令則有:收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.和分別表示強(qiáng)級(jí)數(shù)和弱級(jí)數(shù)的部分和,則有都有4(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理

1

可知,弱級(jí)數(shù)則有(2)若弱級(jí)數(shù)因此這說明強(qiáng)級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,5解由圖可知6重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).78910定理3.(比較審斂法的極限形式)設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),若則有(1)當(dāng)時(shí),兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)且級(jí)數(shù)收斂時(shí),級(jí)數(shù)也收斂;(3)當(dāng)且級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí),級(jí)數(shù)也發(fā)散.證:根據(jù)極限定義,對(duì)存在當(dāng)時(shí),即有11(1)當(dāng)時(shí),取由定理

2

可知級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;(2)當(dāng)時(shí),由定理2可知,若級(jí)數(shù)收斂,也收斂.利用(3)當(dāng)時(shí),存在當(dāng)時(shí),即由定理2可知,若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)也發(fā)散.則級(jí)數(shù)12～例4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知級(jí)數(shù)發(fā)散.例8.

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:根據(jù)比較審斂法的極限形式知收斂.～1314二.比值審斂法和根值審斂法1.比值審斂法定理4設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)證:(1)當(dāng)由取使收斂,收斂.時(shí),級(jí)數(shù)收斂;或時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí),知存在當(dāng)時(shí)由比較審斂法可知,級(jí)數(shù)15或時(shí),必存在當(dāng)因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散.時(shí),(2)當(dāng)說明:當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

p-級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散16解17比值審斂法失效,改用比較審斂法18例7.

討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.而192.根值審斂法定理5設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且則(1)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.20時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

p-級(jí)數(shù)說明:但級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散2122三.交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理6(Leibnitz

判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)的絕對(duì)值萊布尼茲

(德)

1646～171623證:顯然是單調(diào)遞增有界數(shù)列,因此有又故級(jí)數(shù)收斂于S,且的余項(xiàng):24收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂2526四.絕對(duì)收斂與條件收斂定義:對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散,收斂,原級(jí)數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂

.則稱可以證明:絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.27例17.證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.28(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.293031作業(yè)11-2:P2681(3)