從不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)解談起2009-07-2814:51:35說(shuō)兩句標(biāo)簽：不定方程五年級(jí)五年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第七講從不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)解談起第七講從不定方程1/n=1/x+1/y的整數(shù)斛談起對(duì)于形如'=1+-L的方程，尋找整蜘-y使之滿足方程，稱為求不定方11xy求不定方程的整數(shù)解.這里n是取定的一個(gè)自然數(shù).對(duì)于方程1=-+-.⑴oky顯見(jiàn)廠尸12是一個(gè)整數(shù)解.還有沒(méi)有別的解？如何求解7有人憑直覺(jué)能看出一些解來(lái)，但數(shù)學(xué)要求我們有「?個(gè)成熟的方法去處理同一類問(wèn)題.由!二十.二兩邊減去,二，得：.石比yX'1_1?通分：4=1：因此F=耳，這里區(qū)-6大于0.為了使右端的分?jǐn)?shù)形■y^.-6式更簡(jiǎn)明，我們不妨把戈Y看成一個(gè)整體，即令tr-6,那么Qt+6.因此了二6乂（：+t）由于送整數(shù)，上式右邊也是整數(shù)，所以?也必須是整數(shù)，這樣我們推知：土是E2的因數(shù)（約數(shù)）?由于是求不定方程2=1+上的整數(shù)解，這樣，原先岬曼無(wú)邊際”的找兩oxy個(gè)未知數(shù)??？的困難問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成找簡(jiǎn)單的62的因子t的問(wèn)題了.一個(gè)完全平方數(shù)的因子必然是奇數(shù)個(gè)；如6士有因子6、1和36,2和1比3和1Z4和9.6稱為自補(bǔ)的因子.后面的?和金等都稱為互補(bǔ)因子,這樣）不妨記為:t—6,t=1,11=36；t=2tt-'=18jt=3itrx=12；t=4iLA士，。由di..62=Jtj=g也即一=J笈=8+Ly=—+6=t7+6這里t和t'是苧二36的互補(bǔ)因子匕當(dāng)t=t』=6時(shí)自補(bǔ)因子也包括在內(nèi)）所以!=工+］一的全部整數(shù)解為：6K.y0111f111t"=t.3=6,—=一+一；H0&1212-、1&斗獷&4H——一--I67426；*1245［；￡+2跖111f11\=b；H1$9IS1"36+12J111(1116101父I超十46十9」由于圣明位對(duì)筆；弓的解與9M青況我們都看成一種了。以上情況推廣到一般情況；求不定方程⑶^-/PGN0195.TTXT/PGN>iixy的整數(shù)解，只要找出點(diǎn)的全部成組互補(bǔ)因子t和t「則就可得到全部解.例如，求不定方格111TOC\o"1-5"\h\z=+...12Ky（班門二1辦的整數(shù)解，首先分解1力二（22?3）2=24*克，它的因子根據(jù)分解式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以排成一個(gè)表.」2°■.21223,24￥124S16.3612■■2448求9L&3G72144TOC\o"1-5"\h\z按照互補(bǔ)或自補(bǔ)因子配對(duì)有：Civ1445V<2v72）『f辦嬰）（4,3?,（6；24）,（爪18）：,（16.,,（12，1邕「所以J=:+1共有8種解的因，個(gè)數(shù)+1=&：12版y2J13156,14弘'1560-?164E十■十-十-十1S'36"'20m’212S2424以上是忖館L■2中L的全部解自然會(huì)想到如果把上式的,再分解成兩今nxyx,『?jiǎn)挝环謹(jǐn)?shù)”［分子為1分母為整數(shù)）的和，那么我們相當(dāng)于求：1111—=—+—+—mxyz的整數(shù)解，例如求解1111—=—+——+—J6xyz可以利用已經(jīng)解過(guò)的;二工一1的3種解，再把其中3分解成1+L例如1=6岑yyyzq1+方5］唱如此等等?？傊蠼?=上+3+!也是有路可循的了.特別，如n是質(zhì)數(shù)，n=p,nxyzTOC\o"1-5"\h\z2=丁?除了P=2以外，P+1是合數(shù).再分裂一［，例如p2Pzpp-blp+pp+1」利用"）口有因子麗m'因此六=+十一二廠產(chǎn)”工」+^+―5—.⑷"p"2r（p7坪’例恤99七+總二9得+白1111111—=—+-I-=—++,575次6&汶q730醛_=_++=—+——+——797x88><99567T在這些基本訓(xùn)練基酬上，我們很容易把整數(shù)1分拆為若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和。分成兩部分，唯一方式：￡-1C1.分成三部分，只有3種方式：明顯的有1=￡十;十上先有g(shù)g十;，再借用;=占+與=義+與這兩種分解形式（因?yàn)?口有互補(bǔ)因子（1,4）,蹶霸,可有并且可斷言只有這三種形式.為證明這一論斷，先介紹“推廣的抽展原理冉飛稱之為平均值原理更確切）；一個(gè)（正買數(shù)，分放于幾個(gè)拍屋中，必有一個(gè)抽雇內(nèi)存放的數(shù)大于■或等于平均值注意，這里的數(shù)不局限于整數(shù)）1分拆為三個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，必有一部分>；,而》:的單位分?jǐn)?shù)只有只有?和二［不妨設(shè)L則！.二期二；問(wèn)題轉(zhuǎn)化成;23'"xyzx2宜3對(duì)于前一種情況，1-3=再用推廣的抽屜原理，-二上中，不-22y-Eyz妨設(shè)匕工，必有一個(gè)只有如上兩種情況（顯然工盧卜.對(duì)于，TOC\o"1-5"\h\zyz4yA3y2yu：和分別必有和;歸類成i=1%：*：和J%J的情況。34z64236244,對(duì)于后一種情況.1-）.十工，同樣用推廣的抽屜原理，有又3yzy2工《工=：,所以由看=工十）得）=!"_；=；,也歸類成三種形式之中.§.忘3333yzz333：故推斷正確口在某些問(wèn)題研究申，并不要求馬上找出全部解，只要能將一個(gè)單位分?jǐn)?shù)分拆為兩個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和即可，這里我們介紹另一種技巧，先看nn+1n（n+1）、（我們這里是在討論單位分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)用到Q）式.其實(shí)（5）式又可以改變形式寫成；_11n::打+1;n七+1'它在計(jì)算中也有巧妙應(yīng)用，為保持原問(wèn)題討論的連續(xù)性，它的具體應(yīng)用請(qǐng)看習(xí)題）。公式（5）在將整數(shù)1分裂成若干個(gè)單位分?jǐn)?shù)和的求解中，用起來(lái)很方便.例如可將1分裂為3年分母不等的單位分?jǐn)?shù)之和.111fl1）1111=—H=FF=—H1.222{32^3）2361而且,只要不計(jì)較分母太大看起來(lái)不直觀，我們可以把1分裂成任意多個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，如CW111=—+—+—-2362-41262-4126（4項(xiàng)）2-412742111—+111—+—4——+■2520一+——4一12142（6項(xiàng)）2630加1,2S5642作項(xiàng)）—十一十十十十一十十十2和3020129125542（1。項(xiàng)）口1111111111

_+_4--4-+4-4-+-4-（1。項(xiàng)）口26-3020121090125642如果要求你用兩種不同的方式把1寫成1。個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，你不妨在分裂成9項(xiàng)時(shí)，另選一種方式用公式[一工十一如選）=3+上，即可口nn+1n（n+1）2021420實(shí)際上:,：公式工=々十只是最初濟(jì)的1=1+1=^+上的nn+1n[ii+1）n.區(qū)yti+七ti+t

特殊情況，只是心士的互補(bǔ)因子選為i和川而已所以基本功在于L的nzy分解。上述基本分解還有一種簡(jiǎn)便一些的算法，它不必分解成的因子，而只要求分解n的所有因子，還以數(shù)字12為例；1=[-工，把12（注意不是12勺）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12,6個(gè)因子任取2個(gè)配成一個(gè)組合，共有15種：C1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,6）,（1,12）（2,3）,（2,。,（2,6）,（2,12）（3,4）,（36）,（3,12）（4,6）,（4,12）（6.12）對(duì)于每一組合（a,b）,寫成1=士+」■，則有；a.十ba+b1a.b=十1212(a+b)12(a+t)11=十1212C-)心+切(V)("b)ab例如1_1V2~~\22J例如1_1V2~~\22J=_|_=_|_6乂54乂53020’所以工=1+工有1$種方式，但這里有重復(fù)，如由（1,2）配出的工=焉二12.k.y1212：X；p+前由（2,4）配出的工=昌。是相同的.只要在因子的配組中篩去這種情況即可.以上討論相應(yīng)于不定方程-=-+-對(duì)于其他分?jǐn)?shù)形式的不定方程，分nxy子不是L的，例如11+*y，一般同學(xué)都可“猜”出W+葭當(dāng)然還有N326333.:那么請(qǐng)問(wèn)是否只有兩種方式？答：是.理由呢？因?yàn)橛赏茝V的抽屜原理，L和工中至少有一個(gè)“，"二義cb），也即至少有一個(gè)或?yàn)椤?，或二?32-Q''''2為《從而歸于兩種形式.那么難度再增加一些，對(duì)不定方程（=1+1求整數(shù)：5=耳y求整數(shù)解呢V用“靈感來(lái)摸明卜學(xué)是一種解，最容易的是-1;if3113-1那么還有第三種解嗎？用推廣的抽屜原理分析：■!分拆成兩個(gè)部分，當(dāng)u時(shí)：（不妨設(shè)j襄y設(shè)即裒7）必有3>；,1只有洲可能；從而k.y屏］底I我5WJ3.4-=14-或工=§—9，合理情況只有在前一種中的工=1一種，所以y」JV4yId的整數(shù)解只有卜卜:及兩種口5zy5555315習(xí)題習(xí)題七111.求不定方程與一刀,亍的全部整數(shù)解口-L」十二.求不定方程而-7+3的整數(shù)解中，使葉y為最小以及最大的兩組解.1_113,應(yīng)用公式雙用十1）內(nèi)斯十1（5）,證明：TOC\o"1-5"\h\z1；1；1.…1_99W2+>5+99^100—100。-4.證明,.111111111111117_+_++44++4+++4=一361015.212836455566：789110512087111=—十——十一5.求不定方程10*y胃的整藪解，你能求出全部整數(shù)解并證明再役有別的角嗡總計(jì)算1111+++■■■十習(xí)題解答

習(xí)頻七解答2.3伊=2/30我為找出它的全部因子,我們這里介紹“字典法則期大案都知道英語(yǔ)字典排序規(guī)則，先有區(qū)部，再看第二個(gè)字母的順序，第二個(gè)字母相同時(shí)，看第三個(gè)字母的順序，等等這里因子的嘉值正好借用作順序編號(hào)《當(dāng)烝上題每個(gè)因子恰濟(jì)是?次氟,如別的也一樣,4口：23X22*51的因子字典法排序?yàn)椋?0?30*$吐］2°*31?51=15,20?習(xí)頻七解答2.3伊=2/30我為找出它的全部因子,我們這里介紹“字典法則期大案都知道英語(yǔ)字典排序規(guī)則，先有區(qū)部，再看第二個(gè)字母的順序，第二個(gè)字母相同時(shí)，看第三個(gè)字母的順序，等等這里因子的嘉值正好借用作順序編號(hào)《當(dāng)烝上題每個(gè)因子恰濟(jì)是?次氟,如別的也一樣,4口：23X22*51的因子字典法排序?yàn)椋?0?30*$吐］2°*31?51=15,20?32?51=4工21*30*22,21*3^*于二1。,7一*5￡0,2--35?5^1821?32?51二如,乃?30?51=202—30-5MQQ,22*31?5==63先排加的有&個(gè)再排團(tuán)的也有&個(gè)最后”的也有e個(gè)"共有《茄？流注24個(gè)」2—T5,J0*期?5工=75,必乎?5M721-3一5吐6,回到本題,302的27個(gè)因子從小到大捷方向“Q”排序?yàn)?；TOC\o"1-5"\h\z.12.345691012.151&20啰30ji'44||4||||+4++4:90045030022518015010090756050453630.其實(shí)只要排出3。以下，另一頭用3乎的互補(bǔ)因子即可，利用11,1_1,1W~30+t+30+t?~X+7立即知什v=60+tR1現(xiàn)在問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求t+t的最大最小值問(wèn)題了一道里要求小學(xué)生會(huì)聯(lián)想和類比，大家知道等積問(wèn)題的一種結(jié)論；面枳固定的長(zhǎng)方形中，正方形的周長(zhǎng)最小.或者兩數(shù)乘積不變的情況下，兩數(shù)相等時(shí)和最小口現(xiàn)在Lf=3W固定，要t+t,最小了當(dāng)然是H=3"所以:「最小為12”那么火打最大，也即60+t忙最大，經(jīng)前面3F排成二行的表一看就知為60+900+1=951o決?按照公式二^二一工可得：M口+D口n+11_111_11百7一二于2X3=2~3)111111■■■T軟4一與""99^100-99Too5因此1111+十+,■,+1嵬22：^,33^499裁1。。111111111=]_—+一__十一—一.十?一-十———十——?22334939999100,199=1=O100100,11,111111111'362'10152于22834111111_1111_113?+45"?"5*55-+66=5"6"和‘小石一T11_11記卜而=廠鼠因此11111111111111一十一十一.十—十—+—十—+—十—十—十—+—十十36,10152128364555667891105120,11=I=曼首先設(shè)笛因?yàn)轱@然不會(huì)有元=y=i的解由推廣的抽屜原理:又因也須是整數(shù)，所以x可前的值只有?匕*4①如意1=2r--；---=----=—+1U陽(yáng)。y工利用前面知銀52只有兩組互補(bǔ)因子（L25）,（5,5）,所以推知利G只有兩組解；］G只有兩組解；］11i,i+=--I-■1010830②文明=3,5一1111=②文明=3,5一1111=+30yz運(yùn)用推廣的抽履原理。手＜福*5十半y為整.口播取值為：，4、5一如y=3,詈-1=［一＜=所以L=1=.是一組解￡30y30330y3z3-0如？=4,3-1=?._!==；,E要