四川省雅安市雨城區(qū)第二中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知隨機(jī)變量X,Y的分布列如下:X321Pabc

Y123Pabc

若a、b、c成等差數(shù)列，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】成等差數(shù)列，即，結(jié)合，計(jì)算出，由此判斷出正確結(jié)論.【詳解】由于成等差數(shù)列，故①，另根據(jù)分布列的知識可知②.由①②得.所以，，由于正負(fù)無法確定，故大小無法比較.，，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)隨機(jī)變量分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望和方差，考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.2.設(shè)A={}，集合B為函數(shù)的定義域，則AB=（

）A.（1，2）

B.[1，2]

C.[1，2）

D.（1，2]參考答案：D3.斜率為2的直線l過雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的左右兩支分別相交，則雙曲線的離心率e的取值范固是（

）A． B．C． D．參考答案：D依題意，結(jié)合圖形分析可知雙曲線的一條漸近線的斜率必大于，即，因此該雙曲線的離心率．故選D．4.若函數(shù)（，，）在

一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下圖所示，分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是(

)A．logab?logcb=logca B．logab?logca=logcbC．logabc=logab?logac D．loga（b+c）=logab+logac參考答案：B【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】通過對數(shù)的換底公式以及對數(shù)運(yùn)算公式loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：對于A，logab?logcb=logca?，與換底公式矛盾，所以A不正確；對于B，logab?logaa=logab，?，符合換底公式，所以正確；對于C，logabc=logab?logac，不滿足對數(shù)運(yùn)算公式loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），所以不正確；對于D，loga（b+c）=logab+logac，不滿足loga（xy）=logax+logay（x、y＞0），所以不正確；故選B．【點(diǎn)評】本題考查對數(shù)的運(yùn)算法則，基本知識的考查．6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象的一個(gè)對稱軸是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得平移后f（x﹣）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得平移后得到的圖象的一個(gè)對稱軸．【解答】解：令，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象對應(yīng)的解析式為y=f（x﹣），則，由，得其對稱軸方程為：，當(dāng)k=0時(shí)，，即為將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后所得的圖象的一個(gè)對稱軸，故選：C．7.為配合“2019雙十二”促銷活動(dòng)，某公司的四個(gè)商品派送點(diǎn)如圖環(huán)形分布，并且公司給A、B、C、D四個(gè)派送點(diǎn)準(zhǔn)備某種商品各50個(gè).根據(jù)平臺數(shù)據(jù)中心統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，需要將發(fā)送給A、B、C、D四個(gè)派送點(diǎn)的商品數(shù)調(diào)整為40，45，54，61，但調(diào)整只能在相鄰派送點(diǎn)進(jìn)行，每次調(diào)動(dòng)可以調(diào)整1件商品.為完成調(diào)整，則（

）A.最少需要16次調(diào)動(dòng)，有2種可行方案B.最少需要15次調(diào)動(dòng)，有1種可行方案C.最少需要16次調(diào)動(dòng)，有1種可行方案D.最少需要15次調(diào)動(dòng)，有2種可行方案參考答案：A【分析】根據(jù)題意得出有兩種可行的方案，即可得出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意A，B兩處共需向C，D兩處調(diào)15個(gè)商品，這15個(gè)商品應(yīng)給D處11個(gè)商品，C處4個(gè)商品，按照調(diào)動(dòng)次數(shù)最少的原則，有以下兩種方案：方案一：A調(diào)動(dòng)11個(gè)給D，B調(diào)動(dòng)1個(gè)給A，B調(diào)動(dòng)4個(gè)給C，共調(diào)動(dòng)16次；方案二：A調(diào)動(dòng)10個(gè)給D，B調(diào)動(dòng)5個(gè)給C，C調(diào)動(dòng)1個(gè)給D，共調(diào)動(dòng)16次；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了學(xué)生的推理能力，屬于中檔題.8.（原創(chuàng)）已知，則為（

）(A)

0

(B)1

(C)2

(D)4參考答案：C由題意，得函數(shù)的定義域?yàn)镽，【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性，推理與證明.9.已知在三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是（）A．π B．3π C． D．2π參考答案：B【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】求出P到平面ABC的距離為，AC為截面圓的直徑，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面積．【解答】解：由題意，AC為截面圓的直徑，AC=，設(shè)球心到平面ABC的距離為d，球的半徑為R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距離為．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面積為4πR2=3π．故選：B．10.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某中學(xué)要把9臺型號相同的電腦送給三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得兩臺，不同送法的種數(shù)為

參考答案：答案：1012.已知一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程組的增廣矩陣為，則x﹣y=

．參考答案：2考點(diǎn)：二階矩陣．專題：矩陣和變換．分析：由增廣矩陣寫出原二元線性方程組，再根據(jù)方程求解x，y即可．解答： 解：由二元線性方程組的增廣矩陣可得到二元線性方程組的表達(dá)式

，解得x=4，y=2，故答案為：2．點(diǎn)評：本題考查增廣矩陣，解答的關(guān)鍵是二元線性方程組的增廣矩陣的涵義，屬于基礎(chǔ)題．13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足,則的最大值等于________．參考答案：12

14.類比是一個(gè)偉大的引路人。我們知道，等差數(shù)列和等比數(shù)列有許多相似的性質(zhì)，請閱讀下表并根據(jù)等差數(shù)列的結(jié)論，類似的得出等比數(shù)列的兩個(gè)結(jié)論：等差數(shù)列等比數(shù)列

若

，則數(shù)列為等差數(shù)列若

，則數(shù)列為等比數(shù)列

參考答案：，（2分）

15.（4分）sin585°的值為_________．參考答案：16.若函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：17.是虛數(shù)單位，能使得成立的成立的最小正整數(shù)是

；【解析】由，得，所以，即,所以最小的正整數(shù)為3。參考答案：由，得，所以，即,所以最小的正整數(shù)為3?！敬鸢浮?

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)，(1,0)，過垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，且|PQ|=3，(1)求橢圓的方程；(2)過的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，則△MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程；若不存在，請說明理由.

參考答案：（1）設(shè)橢圓方程為=1（a>b>0）,由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得c=1………1由PQ|=3，可得=3，……………2分解得a=2，b=，…………………3分故橢圓方程為=1……………4分（2）設(shè)M，N,不妨>0,<0,設(shè)△MN的內(nèi)切圓的徑R，則△MN的周長=4a=8，（MN+M+N）R=4R因此最大，R就最大，………6分，由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，由得+6my-9=0，………8分得，，則AB（）==，……………9分令t=,則t≥1,則,………10分令f（t）=3t+，則f′(t)=3-，當(dāng)t≥1時(shí)，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上單調(diào)遞增，

有f(t)≥f(1)=4,≤=3,即當(dāng)t=1,m=0時(shí)，≤=3,=4R，∴=，這時(shí)所求內(nèi)切圓面積的最大值為π.故直線l:x=1，△AMN內(nèi)切圓面積的最大值為π………………13分19.已知函數(shù),其中.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求函數(shù)的最值；(3)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若對于任意的，總存在唯一的，使得成立，試求m的取值范圍.

參考答案：解：（1）則當(dāng)時(shí)，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在及上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在及上單調(diào)遞增.(2)由，可得..由(1)知，當(dāng)，，函數(shù)在上是減函數(shù)，而函數(shù)在上也是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值.當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值.(3)當(dāng)時(shí)，由于，則，由(1)知，此時(shí)函數(shù)在上是減函數(shù)，從而若時(shí)，由于，則==，易知在上單調(diào)遞增，從而.要使成立，只需，即成立即可,設(shè)則易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，故，所以.20.（13分）如圖所示，設(shè)F是拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作斜率分別為k1、k2的兩條直線l1、l2，且k1?k2=﹣1，l1與E相交于點(diǎn)A、B，l2與E相交于點(diǎn)C，D．已知△AFO外接圓的圓心到拋物線的準(zhǔn)線的距離為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求拋物線E的方程；（2）若?+?=64，求直線l1、l2的方程．參考答案：（1）由題意，F(xiàn)（0，），△AFO外接圓的圓心在線段OF的垂直平分線y=上，∴+=3，∴p=4．∴拋物線E的方程是x2=8y；（2）設(shè)直線l1的方程y=k1x+2，代入拋物線方程，得y2﹣（8k12+4）y+4=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=8k12+4，y1y2=4設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=+4，y3y4=4∴?+?=32+16（k12+）≥64，當(dāng)且僅當(dāng)k12=，即k1=±1時(shí)取等號，∴直線l1、l2的方程為y=x+2或y=﹣x+2．21.已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）處的切線的斜率為3．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）若f（x）≤kx2對任意x＞0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）當(dāng)n＞m＞1（m，n∈N*）時(shí)，證明：．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：計(jì)算題；證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率為3，解方程，即可得到a；（2）f（x）≤kx2對任意x＞0成立對任意x＞0成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到最大值，令k不小于最大值即可；（3）令，求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即得h（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，由n＞m＞1，則h（n）＞h（m），化簡整理，即可得證．解答： 解：（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，又∵f（x）的圖象在點(diǎn)x=e處的切線的斜率為3，∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，∴a=1；

（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，∴f（x）≤kx2對任意x＞0成立對任意x＞0成立，令，則問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值，，令g'（x）=0，解得x=1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．

故g（x）在x=1處取得最大值g（1）=1，∴k≥1即為所求；

（3）令，則，由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，∴h（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即，∴mnlnn﹣nlnn＞mnlnm﹣mlnm，即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn，ln（mnn）m＞ln（nmm）n，∴（mnn）m＞（nmm）n，∴．點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查不等式的證明，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，再由單調(diào)性證明，屬于中檔題．22.（2016秋?桓臺縣校級期末）在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，AC∩EF=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到如圖的五棱錐，且．（1）求證：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出BD∥EF，BD⊥AC，EF⊥AC，從而EF⊥AO，EF⊥PO，由此能證明BD⊥平面POA．（2）設(shè)AO∩BD=H，連接BO，以O(shè)為原點(diǎn)，OF所在直線為x軸，AO所在直線y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣O的余弦值．【解答】證明：（1）∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，CB的中點(diǎn)，∴BD∥EF，∵菱形ABCD的對角線互相垂直，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO?平面POA，PO?平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．解：（2）設(shè)AO∩BD=H，連接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴，在Rt△BH