山東省濟寧市時莊中學2021年高三數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是函數(shù)的極小值點，則=（

）(A)-16

(B)-2

(C)16

(D)2參考答案：D試題分析：,令得或，易得在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，由已知得，故選D.1考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及極值.【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值，屬于難題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負，那么在處取極大值，如果左負右正，那么在處取極小值.2.(12)已知外接圓的半徑為1，圓心為O．若，且，則等于（

）(A)

(B)

(C)

(D)3參考答案：D.因為，所以，所以，為的中點，故是直角三角形，角為直角.又，故有為正三角形，，，與的夾角為，由數(shù)量積公式可得選D.3.在△ABC中，BC=1，∠B=,△ABC的面積S=，則sinC=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D4.如圖是一個四面體的三視圖，三個正方形的邊長均為2，則四面體外接球的體積為（）A．π B．4π C．π D．8π參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)題意可得它的外接球與原正方體是同一個，由此算出外接球的半徑R，結合球的體積公式即可算出該幾何體外接球的體積，得到答案．【解答】解：∵三視圖中的三個四邊形都是邊長為2的正方形∴題中的幾何體與正方體有相同的外接球∴該外接球的直徑2R=2，得R=，因此，該幾何體外接球的體積為V==4，故選B．【點評】本題給出由正方體切出的多面體，在已知它的三視圖的情況求其外接球的體積．著重考查了三視圖的理解、正方體的外接球和球體積公式等知識，屬于中檔題．5.參考答案：D6.右圖的程序框圖是把k進制數(shù)a（共有n位數(shù)）化為十進制數(shù)b的程序框圖，在該框圖中若輸入，則輸出b的值為（

）A．290

B．294

C．266

D．274參考答案：B【知識點】算法和程序框圖【試題解析】解法一：

，選B

解法二：

執(zhí)行上圖所示程序：

開始，輸入，，；

，，

；，，不滿足條件，進入循環(huán)；

，，，不滿足條件，進入循環(huán)；

，，，不滿足條件，進入循環(huán)；

，，，滿足條件，跳出循環(huán)；

輸出，結束。選B7.已知集合則為（）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略8.設，若，則

。參考答案：9.設且，則“函數(shù)”在R上是增函數(shù)”是“函數(shù)”“在上是增函數(shù)”的(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：A10.在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，對任意都有．若，則等于

（

）

A．256

B．510

C．512

D．1024參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列{an}中，a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，a2n+1=a2n+n，a1=1，則a20=

．參考答案：46【考點】8H：數(shù)列遞推式．【分析】由已知數(shù)列遞推式分別取n=1，2，3，…，10，累加求得答案．【解答】解：由a2n=a2n﹣1+（﹣1）n，得a2n﹣a2n﹣1=（﹣1）n，由a2n+1=a2n+n，得a2n+1﹣a2n=n，∴a2﹣a1=﹣1，a4﹣a3=1，a6﹣a5=﹣1，…，a20﹣a19=1．a3﹣a2=1，a5﹣a4=2，a7﹣a6=3，…a19﹣a18=9．又a1=1，累加得：a20=46．故答案為：46．12.設為空間直角坐標系內一點，點在平面上的射影的極坐標為（極坐標系以為極點，以軸為極軸），則我們稱三元數(shù)組為點的柱面坐標．已知點的柱面坐標為，則直線與平面所成的角為．參考答案：等略13.在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知，，則cosA=(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A略14.已知函數(shù)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：a≤2

15.在平面直角坐標系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位，沿y軸正方向平移5個單位，得到直線l1．再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位，沿y軸負方向平移2個單位，又與直線l重合．若直線l與直線l1關于點（2，3）對稱，則直線l的方程是．參考答案：6x﹣8y+1=0【考點】直線的一般式方程．【專題】數(shù)形結合；方程思想；轉化思想；直線與圓．【分析】利用直線的平移變換、直線的對稱性即可得出．【解答】解：設直線l的方程為：y=kx+b，將直線l沿x軸正方向平移3個單位，沿y軸正方向平移5個單位，得到直線l1：y=k（x﹣3）+5+b，化為y=kx+b+5﹣3k，再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位，沿y軸負方向平移2個單位，y=k（x﹣3﹣1）+b+5﹣2，化為y=kx+3﹣4k+b．又與直線l重合．∴b=3﹣4k+b，解得k=．∴直線l的方程為：y=x+b，直線l1為：y=x++b，設直線l上的一點P（m，b+），則點P關于點（2，3）的對稱點P′（4﹣m，6﹣b﹣m），∴6﹣b﹣m=（4﹣m）+b+，解得b=．∴直線l的方程是y=x+，化為：6x﹣8y+1=0．故答案為：6x﹣8y+1=0．【點評】本題考查了垂直平分線的性質、直線的平移變換、直線的對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.某商店經營一批進價為每件4元的商品，在市場調查時得到，此商品的銷售單價x與日銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)滿足：，，，

，則當銷售單價x定為（取整數(shù)）

元時，日利潤最大．參考答案：717.若{an}，{bn}滿足，，則{bn}的前2018項和為

．參考答案：∵，且∴∴的前2018項和為.故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，數(shù)列{bn}滿足a1=b1，點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】等差數(shù)列的通項公式；等比數(shù)列；數(shù)列的求和．【專題】計算題．【分析】（1）要求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式，先要根據(jù)已知條件判斷，數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不難得到數(shù)列{an}為等比數(shù)列，而由數(shù)列{bn}滿足a1=b1，點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，n∈N*，易得數(shù)列{bn}是一個等差數(shù)列．求出對應的基本量，代入即可求出數(shù)列{an}，{bn}的通項公式．（2）由（1）中結論，我們易得，即數(shù)列{cn}的通項公式可以分解為一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列相乘的形式，則可以用錯位相消法，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），兩式相減得an+1﹣an=2an，an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．所以an=3n﹣1．由點P（bn，bn+1）在直線x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．則數(shù)列{bn}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．則bn=1+（n﹣1）?2=2n﹣1（Ⅱ）因為，所以．則，兩式相減得：．所以=．【點評】解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時，根據(jù)已知條件構造關于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項公式及前n項和公式，然后代入進行運算．19.2018年4月全國青少年足球超級聯(lián)賽火爆開啟，這是體育與教育的強強聯(lián)手，這是培養(yǎng)足球運動員的黃金搖籃，也是全國青少年足球的盛宴．組委會在某場聯(lián)賽結束后，隨機抽取了300名觀眾進行對足球“喜愛度”的調查評分，將得到的分數(shù)分成6段：[64，70)，[70，76)，[76，82)，[82，88)，[88，94)，[94，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值并估計這300名觀眾評分的中位數(shù)；（2）若評分在“88分及以上”確定為“足球迷”，現(xiàn)從“足球迷”中按區(qū)間[88，94)與[94，100]兩部分按分層抽樣抽取5人，然后再從中任意選取兩人作進一步的訪談，求這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間[94，100]的概率．參考答案：解：（1）因為(a+0.025+0.035+0.050+0.030+0.020)×6＝1，所以．設y為觀眾評分的中位數(shù)，由前三組的概率和為0.40，前四組的概率和為0.70，知82＜y＜88，所以0.4+(y-82)×0.05＝0.5，則y＝84．（2）以樣本的頻率作為概率，評分在“88分及以上”確定為“足球迷”，現(xiàn)從“足球迷”中按分層抽樣抽取5人，則從評分在區(qū)間[88，94)的“足球迷”中抽取3人，記為A，B，C，從評分在區(qū)間[94，100]的“足球迷”中抽取2人，記為a，b．從5人中選取2人作進一步的訪談的所有事件為AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10個基本事件，這兩人中至少有1人的評分在區(qū)間[94，100]的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共7個基本事件，則選取的2人中至少有1人的評分在區(qū)間[94，100]上的概率．

20.若斜率為的兩條平行直線，與曲線相切并至少有兩個切點，且曲線上的所有點都在，之間（也可在直線，上），則把，稱為曲線的“夾線”，把，間的距離稱為曲線在“方向上的寬度”，記為已知函數(shù)（Ⅰ）若點P橫坐標為0，求圖象在點P處的切線方程；（Ⅱ）試判斷和是否是的“夾線”，若是，求；若不是，請說明理由；（Ⅲ）求證：函數(shù)的圖象不存在“夾線”.參考答案：（Ⅰ）由，，，所以坐標為，圖象在點P處的切線方程是即………………3分（Ⅱ）和是的“夾線”.由（Ⅰ）知是圖象在點P處的切線.，.

在函數(shù)和中，當時，，，是函數(shù)和圖象的一個切點.…4分當時，，，是函數(shù)和圖象的另一個切點.和的圖象相切且至少有兩個切點.……5分同理可證和的圖象相切且至少有兩個切點.………6分對任意x∈R，，，

和是的“夾線”.……8分………9分（Ⅲ）證明：設的圖象上任一點為,，，在點處的切線方程為…10分即，……12分時，當且僅當時取到，此時切線與的圖象只有一個交點.

的圖象和它在任一點處的切線至多只有一個切點.…………13分函數(shù)的圖象不存在“夾線”.…………………14分21.已知，函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）判斷函數(shù)在上的單調性；（2）是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（3）若實數(shù)滿足，求證：.參考答案：（2）解：∵，，，由（1）易知，當時，在上的最小值：，即時，．

ks5u

又，∴．

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解．而，即方程無實數(shù)解．故不存在.

（3）證明：，由（2）知，令得.

略22.（本小