荷載平衡法基本原理和簡(jiǎn)單應(yīng)用荷載平衡法是美籍華人林同炎教授首先提出來(lái)的。依據(jù)預(yù)應(yīng)力混凝土的第三種概念：預(yù)加應(yīng)力可以認(rèn)為是對(duì)混凝土構(gòu)件預(yù)先施加與使用荷載相反方向的荷載，用以抵消部分或全部工作荷載——荷載平衡法正是基于該原理。荷載平衡法對(duì)簡(jiǎn)支梁的設(shè)計(jì)意義不大，主要是關(guān)心設(shè)計(jì)人員合理選擇預(yù)應(yīng)力筋線型和預(yù)加力的大小，以削減使用條件下的撓度;但對(duì)連續(xù)梁、平板、框架等較簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)則特別有用。

一、等效荷載

一般來(lái)說(shuō)，預(yù)應(yīng)力筋對(duì)梁的作用，可用一組等效荷載來(lái)代替。這種等效荷載一般由兩部分組成：一是在結(jié)構(gòu)錨固區(qū)引人的壓力和某些集中彎矩;二是由預(yù)應(yīng)力筋曲率引起的垂直于束中心線的橫向分布力，或由預(yù)應(yīng)力筋轉(zhuǎn)折引起的集中力。該橫向力可以反抗作用在結(jié)構(gòu)上的外荷載，因此也可以稱之為反向荷載或等效荷載[1]。

曲線預(yù)應(yīng)力筋在預(yù)應(yīng)力混凝土梁中最為常見(jiàn)，且通常都采納沿梁長(zhǎng)曲率固定不變的二次拋物線形，以圖1-1所示簡(jiǎn)支梁為例來(lái)說(shuō)明。簡(jiǎn)支梁配置一拋物線筋，跨中的偏心距為e，梁端的偏心距為零。所以由預(yù)應(yīng)力Np產(chǎn)生的彎矩圖也是拋物線的，跨中處彎矩最大值為Np·e，離左端處的彎矩值為。

將M對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)，即可求出這彎矩引起的等效荷載q，即：q=d2M/dx2=-8Npe/L2。式中的負(fù)號(hào)表示方向向上，故曲線筋的等效荷載為向上的均布荷載（嚴(yán)格說(shuō)抵消荷載方向應(yīng)垂直于束中心線，但由于角度甚小，可近似認(rèn)為垂直于梁中心線），如圖1-1所示。曲線預(yù)應(yīng)力筋在梁端錨固處的作用力與梁縱軸有一傾角，可由曲線筋的拋物線方程求導(dǎo)數(shù)得到。對(duì)跨中垂度為e的拋物線形束，其曲線的一般方程為[2]：y=4e[x/L-（x/L）2]。該曲線預(yù)應(yīng)力筋束的斜度為：y’=4e/L（1-2x/L）。當(dāng)x=0或L時(shí)，y’=±4e/L。由于拋物線的垂度e相對(duì)于跨度L很小，這樣梁兩端錨具預(yù)加力Np下的豎向分力與水平分力可分別表示為：Npsinθ=4Npe/L，Npcosθ=Np。

荷載平衡法用于預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁的設(shè)計(jì),會(huì)大大簡(jiǎn)化連續(xù)梁的分析計(jì)算。荷載平衡法應(yīng)用于連續(xù)梁時(shí)，除了預(yù)加力的等效荷載概念外，還應(yīng)用了吻合力筋的概念。即假設(shè)預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁中的預(yù)應(yīng)力筋的布置是與外荷載產(chǎn)生的彎矩圖外形相像，并且在兩端點(diǎn)預(yù)應(yīng)力筋沒(méi)有偏心，則預(yù)應(yīng)力筋就平衡了連續(xù)梁上的這一部分荷載，也不產(chǎn)生次內(nèi)力。例如兩跨連續(xù)梁，在滿跨均布荷載作用下的彎矩分布如圖1-2（b），當(dāng)預(yù)應(yīng)力筋根據(jù)圖1-2（c）的外形布置時(shí)，預(yù)應(yīng)力筋所產(chǎn)生的等效荷載恰好與外力荷載數(shù)值相同，作用力方向相反，即兩者所產(chǎn)生的彎矩效應(yīng)相互抵消，該外形的布置是吻合力筋，不產(chǎn)生次內(nèi)力。這就使得設(shè)計(jì)計(jì)算非常簡(jiǎn)便。假如結(jié)構(gòu)是按部分預(yù)應(yīng)力的概念設(shè)計(jì)，則可設(shè)計(jì)為預(yù)應(yīng)力的作用是平衡了結(jié)構(gòu)上的部分荷載，而余下的部分荷載則由非預(yù)應(yīng)力鋼筋擔(dān)當(dāng)，按鋼筋混凝土構(gòu)件設(shè)計(jì)。圖1-2（c）所示的是抱負(fù)布筋方案，它在內(nèi)支座B處有尖角，而實(shí)際施工中要求預(yù)應(yīng)力筋這樣的轉(zhuǎn)折是很困難的。因此，對(duì)于連續(xù)梁的布筋實(shí)際上多采納圖1-2（d）的形式，此方案與抱負(fù)布筋方案的預(yù)應(yīng)力效應(yīng)有些差異，即實(shí)際布筋形式是會(huì)產(chǎn)生次內(nèi)力的。然而，在工程設(shè)計(jì)中，往往是依據(jù)若干掌握截面所確定的內(nèi)力包絡(luò)圖進(jìn)行設(shè)計(jì)的，連續(xù)梁的彎矩圖又與實(shí)際布筋的外形比較相像，因此，在工程設(shè)計(jì)中還是適用的。

二、荷載平衡法基本原理

在第一節(jié)中已經(jīng)敘述了當(dāng)采納曲線形或折線形預(yù)應(yīng)力鋼筋時(shí)，預(yù)加力對(duì)構(gòu)件的作用可以用一組等效荷載來(lái)代替，不同外形的預(yù)應(yīng)力筋產(chǎn)生不同的等效荷載。因此，可依據(jù)給定的外荷載的形式和大小確定相應(yīng)的預(yù)應(yīng)力筋的外形和預(yù)應(yīng)力的大小，使得等效荷載的分布形式與外荷載的分布形式相同，作用相反[3]。每一種線形布置的預(yù)應(yīng)力鋼筋，各有其相應(yīng)的等效荷載與彎矩圖形。這種豎向等效荷載和其他任何外荷載一樣可直接用以計(jì)算構(gòu)件的彎矩與撓度。假如依據(jù)外荷載的性質(zhì)和大小將預(yù)加力和預(yù)應(yīng)力鋼筋線形確定使雜在梁上的外荷載剛好被預(yù)加力產(chǎn)生的等效荷載（方向向上）所平衡，亦即抵消，則在這一荷載平衡狀態(tài)下，梁承受的豎向荷載為零，梁將猶如軸心受壓柱一樣只受有軸心壓力Np而沒(méi)有彎矩，也沒(méi)有豎向撓度。這種特定的等效荷載稱為平衡荷載。按平衡荷載確定預(yù)應(yīng)力鋼筋的線形和預(yù)加力的方法稱為荷載平衡法[4]。

三、算例分析

用后張有粘結(jié)預(yù)應(yīng)力混凝土設(shè)計(jì)一雙跨連續(xù)矩形大梁[5]。已知兩跨跨度均為18m，承受均布恒荷載為10kN/m（不包括自重），均布活荷載為30kN/m。選用φS15.2的1860低松弛鋼絞線，混凝土等級(jí)40MPa。假設(shè)預(yù)應(yīng)力的總損失為25%掌握應(yīng)力。

解：⑴選擇截面尺寸：梁高h(yuǎn)=l/18～l/12=1000～1500mm，取梁高h(yuǎn)=1200mm，梁寬b=350mm。截面面積為：A=1200×350=4.2×105mm2，截面慣性矩為：I=bh3/12=5.04×1010mm4。梁自重為：qG2=0.42×25=10.5kN/m，均布恒荷載為：qG1=10kN/m，∴總恒荷載：qG=qG1+qG2=20.5kN/m。

⑵由恒載產(chǎn)生的中間支座彎矩：M=-ql2/8=-830.3kN·m;由活載產(chǎn)生的中間支座彎矩：M=-ql2/8=-1215kN·m;由恒載產(chǎn)生的跨內(nèi)最大彎矩：M=9ql2/128=467.0kNm;由活載產(chǎn)生的跨內(nèi)最大彎矩：M=9ql2/128=683.4kNm。中間支座彎矩：M=-2035.3kN·m，跨內(nèi)最大彎矩：M=1150.4kN·m。

⑶估量預(yù)應(yīng)力的大?。杭俣ú杉{拋物線預(yù)應(yīng)力束。跨中預(yù)應(yīng)力束中心距底面100mm，中間支座處預(yù)應(yīng)力束中心距頂面100mm。等效偏心距為：e=500+500/2=750mm（如圖3-1）。

設(shè)預(yù)應(yīng)力束引起的等效荷載平衡全部的恒載和10%的活載，則要求平衡的均布荷載為：20.5+3=23.5kN/m∴Np1=ωp1×l2/（8e）=1269kN。設(shè)預(yù)應(yīng)力的總損失為25%σcon，Ncon=Np/0.75=1692kN。選用φS15.2的1860鋼絞線：σcon=0.65fptk=1209N/mm2，則所需預(yù)應(yīng)力筋面積為：Ncon=Ncon/σcon=1400mm2。所需鋼絞線根數(shù)為：n=AP/139=11，分兩束布置，一束5根，一束6根。實(shí)際預(yù)應(yīng)力筋面積和預(yù)加力大?。篈P=11×139=1529mm2，NPe=0.75×σcon×AP=1386.4kN。

⑷預(yù)應(yīng)力鋼筋的布置：按荷載平衡法設(shè)計(jì)的預(yù)應(yīng)力筋外形為抱負(fù)的拋物線，在中間支座處有尖角。但在實(shí)際施工中，中間支座處的預(yù)應(yīng)力筋采納反向拋物線，即：實(shí)際布置的預(yù)應(yīng)力筋在跨中由兩段反向拋物線相切，并有共同的水平切線;在內(nèi)支座四周，用拋物線和跨內(nèi)拋物線反向相切于反彎點(diǎn)。一般取反彎點(diǎn)距內(nèi)支座0.1l。依據(jù)它們之間的比例可求得各拋物線的垂度。如圖3-2所示：

對(duì)第一段預(yù)應(yīng)力筋，等效荷載為：q1=8Npe×el/l12=8×1.386×106×0.5/（2×0.5×18）2=17.1kN/m。對(duì)其次、三段預(yù)應(yīng)力筋，等效荷載為：e2/e3=（0.4l/0.1l），e2+e3=2e，∴e2=800mm，e3=200mm，q2=8Npe×e2/l22=8×1.386×106×0.8/（2×0.4×18）2=42.8kN/m，q3=8Npe×e3/l32=8×1.386×106×0.2/（2×0.1×18）2=171.1kN/m。

等效荷載見(jiàn)圖3-3，由等效荷載產(chǎn)生的綜合彎矩見(jiàn)圖3-4：

四、結(jié)論與展望

荷載平衡法大大簡(jiǎn)化了預(yù)應(yīng)力混凝土的設(shè)計(jì)和計(jì)算，是一