第12頁(yè)（共12頁(yè)）2022年湖南省長(zhǎng)沙市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)．本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）﹣6的相反數(shù)是（D）A．﹣ B．﹣6 C． D．62．（3分）如圖是由5個(gè)大小相同的正方體組成的幾何體，該幾何體的主視圖是（B）A． B． C． D．3．（3分）下列說(shuō)法中，正確的是（A）A．調(diào)查某班45名學(xué)生的身高情況宜采用全面調(diào)查 B．“太陽(yáng)東升西落”是不可能事件 C．為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統(tǒng)計(jì)圖是條形統(tǒng)計(jì)圖 D．任意投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣26次，出現(xiàn)正面朝上的次數(shù)一定是13次4．（3分）下列計(jì)算正確的是（A）A．a(chǎn)7÷a5＝a2 B．5a﹣4a＝1 C．3a2?2a3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（5，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（D）A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1）6．（3分）《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》首次把學(xué)生學(xué)會(huì)炒菜納入勞動(dòng)教育課程，并做出明確規(guī)定．某班有7名學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)炒的菜品的種數(shù)依次為：3，5，4，6，3，3，4．則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（A）A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，47．（3分）為落實(shí)“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開(kāi)展了主題為“書(shū)香滿(mǎn)校園”的讀書(shū)活動(dòng)．現(xiàn)需購(gòu)買(mǎi)甲，乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價(jià)為10元/本，乙種讀本的單價(jià)為8元/本，設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種讀本x本，則購(gòu)買(mǎi)乙種讀本的費(fèi)用為（C）A．8x元 B．10（100﹣x）元 C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元8．（3分）如圖，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，則∠DCF的度數(shù)為（C）A．65° B．70° C．75° D．105°9．（3分）如圖，PA，PB是⊙O的切線(xiàn)，A、B為切點(diǎn)，若∠AOB＝128°，則∠P的度數(shù)為（B）A．32° B．52° C．64° D．72°10．（3分）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)；②作直線(xiàn)PQ交AB于點(diǎn)D；③以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交PQ于點(diǎn)M，連接AM、BM．若AB＝2，則AM的長(zhǎng)為（B）A．4 B．2 C． D．【解析】由作圖可知，PQ是AB的垂直平分線(xiàn)，∴AM＝BM，∵以點(diǎn)D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交PQ于點(diǎn)M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故選：B．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）11．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≥19．12．（3分）分式方程的解為x＝2．13．（3分）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長(zhǎng)為7．14．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的值為t＝1．15．（3分）為了解某校學(xué)生對(duì)湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的知曉情況，從該校全體1000名學(xué)生中，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．結(jié)果顯示有95名學(xué)生知曉．由此，估計(jì)該校全體學(xué)生中知曉湖南省“強(qiáng)省會(huì)戰(zhàn)略”的學(xué)生有950名．16．（3分）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時(shí)代，“二維碼”具有存儲(chǔ)量大、保密性強(qiáng)、追蹤性高等特點(diǎn)，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無(wú)窮威力．看似“碼碼相同”，實(shí)則“碼碼不同”．通常，一個(gè)“二維碼”由1000個(gè)大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專(zhuān)門(mén)用做糾錯(cuò)碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個(gè)方格只有200個(gè)方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，這200個(gè)方格可以生成2200個(gè)不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對(duì)2200的理解如下：YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2200就是200個(gè)2相乘，它是一個(gè)非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（覺(jué)醒年代）：2200的個(gè)位數(shù)字是6；QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估計(jì)2200比1060大．其中對(duì)2200的理解錯(cuò)誤的網(wǎng)友是DDDD（填寫(xiě)網(wǎng)名字母代號(hào)）．【解析】（1）∵2200就是200個(gè)2相乘，∴YYDS（永遠(yuǎn)的神）的說(shuō)法正確；∵2200就是200個(gè)2相乘，2002是2個(gè)200相乘，∴2200不等于2002，∴DDDD（懂的都懂）說(shuō)法不正確；∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴2n的尾數(shù)2，4，8，6循環(huán)，∵200÷4＝50，∴2200的個(gè)位數(shù)字是6，∴JXND（覺(jué)醒年代）說(shuō)法正確；∵210＝1024，103＝1000，∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，∵1024＞1000，∴2200＞1060，∴QGYW（強(qiáng)國(guó)有我）說(shuō)法正確；故答案為：DDDD．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（6分）計(jì)算：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350．解：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350＝4+3﹣2+1＝6．18．（6分）解不等式組：．解：，解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤4，∴原不等式組的解集為：﹣2＜x≤4．19．（6分）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．（1）求該斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線(xiàn)）解：1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，∴BD＝BA＝10（m），答：該斜坡的高度BD為10m；（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，∴∠CBA＝15°，∴AB＝AC＝20（m），答：斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m．20．（8分）2022年3月22日至28日是第三十五屆“中國(guó)水周”，在此期間，某校舉行了主題為“推進(jìn)地下水超采綜合治理，復(fù)蘇河湖生態(tài)環(huán)境”的水資源保護(hù)知識(shí)競(jìng)賽．為了了解本次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的分布情況，從參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取了150名學(xué)生的初賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．成績(jī)x/分頻數(shù)頻率60≤x＜70150.170≤x＜80a0.280≤x＜9045b90≤x＜10060c（1）表中a＝30，b＝0.3，c＝0.4；（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績(jī)均為99分，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加復(fù)賽，請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率．解：1）由題意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，c＝60÷150＝0.4，故答案為：30，0.3，0.4；（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：（3）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的結(jié)果有6種，∴選出的2名學(xué)生恰好為一名男生、一名女生的概率為＝．21．（8分）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四邊形ABCD的面積是12．22．（9分）電影《劉三姐》中，有這樣一個(gè)場(chǎng)景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數(shù)要單數(shù)，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達(dá)的是一道數(shù)學(xué)題．其大意是：把300條狗分成4群，每個(gè)群里，狗的數(shù)量都是奇數(shù)，其中一個(gè)群，狗的數(shù)量少：另外三個(gè)群，狗的數(shù)量多且數(shù)量相同．問(wèn)：應(yīng)該如何分？請(qǐng)你根據(jù)題意解答下列問(wèn)題：（1）劉三姐的姐妹們以對(duì)歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來(lái)，九十九條守門(mén)口，剩下三條給財(cái)主．”請(qǐng)你根據(jù)以上信息，判斷以下三種說(shuō)法是否正確，在題后相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案．√②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案．×③該歌詞表達(dá)的數(shù)學(xué)題的正確答案有無(wú)數(shù)多種．×（2）若羅秀才再增加一個(gè)條件：“數(shù)量多且數(shù)量相同的三個(gè)群里，每個(gè)群里狗的數(shù)量比數(shù)量較少的那個(gè)群里狗的數(shù)量多40條”，求每個(gè)群里狗的數(shù)量．解：（1）設(shè)“三多“的每群狗有x條，則“一少“的狗有（300﹣3x）條，根據(jù)題意得：，解得75＜x＜100，∵x為奇數(shù)，∴x可取77，79，8199，共12個(gè)，∴①正確，②③錯(cuò)誤，故答案為：√，×，×；（2）設(shè)“三多“的每群狗有m條，“一少“的狗有n條，根據(jù)題意得：，解得，答：“三多“的每群狗有85條，“一少“的狗有45條．23．（9分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，AB＝AD．（1）求證：AC⊥BD；（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點(diǎn)，連接EF，EF＝，AO＝2，求BD的長(zhǎng)及四邊形ABCD的周長(zhǎng)．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴?ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，AO的中點(diǎn)，∴EF是△AOD的中位線(xiàn)，∴OD＝2EF＝3，由（1）可知，四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)＝4AD＝4．24．（10分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AD上，連接EF．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）當(dāng)＝，∠DFE＝2∠CDB時(shí)，則﹣＝0；+＝1；+﹣＝0．（直接將結(jié)果填寫(xiě)在相應(yīng)的橫線(xiàn)上）（3）①記四邊形ABCD，△ABE，△CDE的面積依次為S，S1，S2，若滿(mǎn)足＝+，試判斷△ABE，△CDE的形狀，并說(shuō)明理由．②當(dāng)＝，AB＝m，AD＝n，CD＝p時(shí)，試用含m，n，p的式子表示AE?CE．（1）證明：∵，∴∠ACD＝∠ABD，即∠ABE＝∠DCE，又∵∠DEC＝∠AEB，∴△ABE∽△DCE；（2）解：∵△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴AE?CE＝BE?DE，∴﹣＝＝0，∵∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝∠DAB＝2∠CDB，又∵∠DFE＝2∠CDB，∴∠DFE＝∠DAB，∴EF∥AB，∴∠FEA＝∠EAB，∵＝，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠FAE＝∠FEA，∴FA＝FE，∵EF∥AB，∴△DFE∽△DAB，∴＝，∴＝＝＝＝1，∵+＝＝1，∴+＝1，∴＝0，故答案為：0，1，0；（3）解：①△ABE，△DCE都為等腰三角形，理由：記△ADE、△EBC的面積為S3、S4，則S＝S1+S?+S3+S4，∵＝＝，∴S1S2＝S3S4①，∵，即S＝S1+S2+2，∴S3+S4＝2②，由①②可得，即（﹣）2＝0，∴S3＝S4，∴S△ABE+S△ADE＝S△ABE+S△EBC，即S△ABD＝S△ADC，∴CD∥AB，∴∠ACD＝∠BAC，∠CDB＝∠DBA，∵∠ACD＝∠ABD，∠CDB＝∠CAB，∴∠EDC＝∠ECD＝∠EBA＝∠EAB，∴△ABE，△DCE都為等腰三角形；②∵＝，∴∠DAC＝∠EAB，∵∠DCA＝∠EBA，∴△DAC∽△EAB，∴＝，∵AB＝m，AD＝n，CD＝p，∴EA?AC＝DA×AB＝mn，∵∠BDC＝∠BAC＝∠DAC，∴∠CDE＝∠CAD，又∠ECD＝∠DCA，∴△DCE∽△ACD，∴＝，∴EA?AC+CE?AC＝AC2＝mn+p2，則AC＝，．EC＝＝，∴AE＝AC﹣CE＝，∴AE?CE＝．25．（10分）若關(guān)于x的函數(shù)y，當(dāng)t﹣≤x≤t+時(shí)，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)h＝，我們不妨把函數(shù)h稱(chēng)之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”．（1）①若函數(shù)y＝4044x，當(dāng)t＝1時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值；②若函數(shù)y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的解析式；（2）若函數(shù)y＝（x≥1），求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值；（3）若函數(shù)y＝﹣x2+4x+k，是否存在實(shí)數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同